4. 甲、乙两家专卖店的一月份销售额分别为10万元和15万元，甲店三月份销售额比乙店多10万元.已知甲店二、三月份销售额的月平均增长率是乙店二、三月份月平均增长率的2倍.甲店、乙店这两个月销售额的月平均增长率分别是多少？

设乙店这两个月销售额的月平均增长率是x.根据题意,得10(1+2x)²−15(1+x)²=10.解得x₁=60%,x₂=−1(舍去). 2x=120%.甲店、乙店这两个月销售额的月平均增长率分别是120%、60%

【分析】
首先，设乙店二、三月份销售额的月平均增长率为x，根据题意可知甲店的月平均增长率为2x；接着利用“增长后的销售额=初始销售额×(1+月平均增长率)²”，分别表示出甲、乙两店三月份的销售额；最后根据“甲店三月份销售额比乙店多10万元”的等量关系列方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，再计算甲店的增长率即可。
【解析】
设乙店二、三月份销售额的月平均增长率为x，则甲店的月平均增长率为2x。
甲店一月份销售额为10万元，因此三月份销售额为：10(1+2x)²万元；
乙店一月份销售额为15万元，因此三月份销售额为：15(1+x)²万元。
根据甲店三月份销售额比乙店多10万元，列方程：
10(1+2x)² - 15(1+x)² = 10
展开并整理方程：
10(1+4x+4x²) -15(1+2x+x²) =10
10 +40x +40x² -15 -30x -15x² =10
25x² +10x -5 =10
25x² +10x -15 =0
两边同除以5得：5x² +2x -3 =0
因式分解得：(5x-3)(x+1)=0
解得：x₁=0.6=60%，x₂=-1（增长率不能为负，舍去）
则甲店的月平均增长率为2x=2×60%=120%。
【答案】
甲店、乙店这两个月销售额的月平均增长率分别是120%、60%
【知识点】
一元二次方程的应用（增长率问题）
【点评】
本题是典型的增长率应用题，核心是掌握“增长后的量=初始量×(1+增长率)^增长次数”的公式，解题关键是找准等量关系列方程，需注意舍去不符合实际的负根，属于一元二次方程应用中的常见基础题型。
【难度系数】
0.6

5. 某军舰以每小时 20 n mile(海里，1 n mile=1 852 m)的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以每小时 30 n mile 的速度由南向北航行，它能侦察出周围 50 n mile(包括 50 n mile)范围内的目标. 如图，当该军舰行至 A 处时，电子侦察船位于 A 处正南方向的 B 处，且 AB=90 n mile. 如果电子侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中电子侦察船能否侦察到这艘军舰？如果能，最早何时能侦察到？如果不能，请说明理由.

设从A处开始经过x h,电子侦察船最早能侦察到这艘军舰.根据题意,得(20x)²+(90−30x)²=50².解得x₁=2,x₂=28/13.所以最早2 h后,能侦察到这艘军舰

【分析】要判断侦察船能否侦察到军舰，需先明确x小时后两者的位置关系：军舰向东航行的距离为20x n mile，侦察船向北航行的距离为30x n mile，此时军舰与侦察船的位置构成直角三角形，直角边分别为20x和(90-30x)。当两者距离≤50n mile时可被侦察到，因此根据勾股定理列方程，求解方程后取较小的正根，即为最早侦察到的时间。
【解析】设从A处开始经过x小时，电子侦察船能侦察到这艘军舰。
根据勾股定理，两者距离满足：
$(20x)^2 + (90 - 30x)^2 = 50^2$
展开并整理方程：
$400x^2 + 8100 - 5400x + 900x^2 = 2500$
$1300x^2 - 5400x + 5600 = 0$
两边同除以100化简：
$13x^2 - 54x + 56 = 0$
用求根公式解得：
$x = \frac{54 \pm \sqrt{54^2 - 4 × 13 × 56}}{2 × 13} = \frac{54 \pm 2}{26}$
得到两个根：$x_1=2$，$x_2=\frac{28}{13}$。
取较小的正根，即最早侦察到的时间为2小时。
【答案】最早2 h后，电子侦察船能侦察到这艘军舰
【知识点】勾股定理应用；一元二次方程的应用
【点评】本题是行程问题与勾股定理结合的典型应用题，核心是建立两者距离的直角三角形模型，利用勾股定理列方程求解，需结合实际意义选取合理的时间解，难度适中。
【难度系数】0.6