1. 如图，在$△ ABC$中，$D$是$BC$的中点，过点$D$的直线$GF$交$AC$于点$F$，交$AC$的平行线$BG$于点$G$，作$DE ⊥ GF$，交$AB$于点$E$，连接$EG$。
（1）求证：$BG=CF$。
（2）判断$BE+CF$与$EF$的大小关系，并证明。

1.（1）利用AAS证明△BDG≌△CDF,即得BG=CF （2）可证DE是FG的垂直平分线,
∴EG=EF.
∴BE+CF=BE+BG＞EG=EF.
∴BE+CF＞EF

【分析】
（1）要证明两条线段相等，可通过证明线段所在的三角形全等求解：已知D是BC中点可得BD=CD，由BG//AC可得到一组内错角相等，再结合对顶角相等，即可用AAS判定△BDG≌△CDF，进而推出BG=CF。
（2）判断线段和的大小关系可借助三角形三边关系：首先利用（1）的结论将CF替换为BG，把问题转化为比较BE+BG和EF的大小；再结合全等得DG=DF、DE⊥GF，可知DE是FG的垂直平分线，推出EG=EF，最后在△BEG中用三边关系即可得出结论。
【解析】
（1）证明：
∵ BG//AC，
∴ ∠GBD=∠C，
∵ D是BC的中点，
∴ BD=CD，
在△BDG和△CDF中：
$\begin{cases}∠GBD=∠C \\∠BDG=∠CDF \\BD=CD\end{cases}$
∴ △BDG≌△CDF（AAS），
∴ BG=CF。
（2）BE+CF＞EF，证明如下：
由（1）的全等结论可得DG=DF，
∵ DE⊥GF，
∴ DE垂直平分FG，
∴ EG=EF，
∵ BG=CF，
∴ BE+CF=BE+BG，
在△BEG中，由三角形三边关系得BE+BG＞EG，
∴ BE+CF＞EF。
【答案】
（1）BG=CF，证明成立；
（2）$\boldsymbol{BE+CF＞EF}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是通过全等三角形实现线段的等量转化，结合线段垂直平分线的性质将待比较的线段转化到同一个三角形中，再用三边关系得出结论，能有效训练转化思想的应用能力。
【难度系数】
0.7

2. 如图，小宇在一次手工制作活动中，先把一张长方形纸片按图①的方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短 1 cm；展开后按图②的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长 1 cm，将纸片展开，此时两条折痕之间的距离是cm.

2. 1

【分析】
解决本题可以先以长方形的正中线为基准，分析两次折叠后折痕相对于中线的位置：首先第一次折叠左侧比右侧短1cm，说明第一次折痕在中线左侧，距离中线0.5cm；第二次折叠左侧比右侧长1cm，说明第二次折痕在中线右侧，距离中线0.5cm，两条折痕分别在中线两侧，间距就是两个0.5cm相加。也可以通过设长方形总宽度为参数，用代数式表示两次折痕的位置，作差即可算出间距，参数会自动抵消，不影响最终结果。
【解析】
设长方形纸片的左右总长度为$a\ \mathrm{cm}$：
1. 第一次折叠时，左侧部分比右侧短$1\ \mathrm{cm}$，则左侧部分长度为$\frac{a-1}{2}\ \mathrm{cm}$，即第一次折痕到左端的距离为$\frac{a-1}{2}\ \mathrm{cm}$；
2. 第二次折叠时，左侧部分比右侧长$1\ \mathrm{cm}$，则左侧部分长度为$\frac{a+1}{2}\ \mathrm{cm}$，即第二次折痕到左端的距离为$\frac{a+1}{2}\ \mathrm{cm}$；
3. 两条折痕之间的距离为两次折痕到左端距离的差：
$\frac{a+1}{2} - \frac{a-1}{2} = \frac{a+1 - (a-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1\ \mathrm{cm}$。
【答案】
1
【知识点】
折叠的性质；线段和差计算；代数式应用
【点评】
本题是典型的折叠类线段计算问题，解题核心是明确折痕位置与左右两部分长度的关系，通过设参数的方法可以避免对总长度的讨论，简化计算过程，也可以通过画图直观判断折痕的相对位置快速得出结果。
【难度系数】
0.7