一题多问 例2 如图,在$\triangle ABC$中,$AB=8$,$AC=6$,$D$为边$BC$上一点,连接$AD$.
(1)如图1,$AD$为$\triangle ABC$的边$BC$上的高,$BE$为$\triangle ABC$的边$AC$上的高,两条高线相交于点$F$.

①若$\angle ABC=50°$,则$\angle BAD=$°;
②若$\triangle ABC$的面积为21,则$BE=$,$AE=$;
拓展 ③若$CD=2$,则$AD=$,$CE=$.
(提示:$\triangle BEC$与$\triangle ADC$有什么关系?)
(2)如图2,$AD,BE$分别是$\triangle ABC$的边$BC$和$AC$上的中线,连接$DE$.

①$\triangle ABD$与$\triangle ACD$的周长之差为;
②$DE$的长为;
③若$S_{\triangle ABC}=a$,则$S_{\triangle ABD}=$,$S_{\triangle CDE}=$;(用含$a$的代数式表示)
拓展 ④猜想:$\frac{AG}{DG}=$.
(提示:$\triangle ABG$与$\triangle DEG$有什么关系?)
模型总结 三角形三条中线的交点是中线的三等分点,这三条中线将三角形分成了6个面积相等的小三角形.
如图,在$\triangle ABC$中,$AD,BE,CF$分别是三条中线,则$\frac{AG}{DG}=\frac{BG}{EG}=\frac{CG}{FG}=2$,$S_{\triangle AFG}=\frac{1}{2}S_{\triangle AGC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ACF}=\frac{1}{6}S_{\triangle ABC}$.

(3)如图3,$AD$为$\triangle ABC$的角平分线,过点$D$作$DE ⊥ AB$于点$E$,已知$DE=b$.

①若$\angle B=50°$,$\angle BAD=30°$,则$\angle C=$°;
②点$D$到边$AC$的距离为;(用含$b$的代数式表示)
③$S_{\triangle ABD}=$,$S_{\triangle ACD}=$;(用含$b$的代数式表示)
拓展 ④由③可知,$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}=$,则$\frac{BD}{CD}=$.
(思考:$\frac{BD}{CD}$的值与$\frac{AB}{AC}$的值有什么关系?)

(1)①40；②7，√15；③4√2，(2+4√2)/3
(2)①2；②4；③a/2，a/4；④2
(3)①70；②b；③4b，3b；④4/3，4/3

(1)①在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABD=50°，则∠BAD=90°-50°=40°。
②S△ABC=1/2×AC×BE=21，AC=6，得1/2×6×BE=21，BE=7；在Rt△ABE中，AE=√(AB²-BE²)=√(8²-7²)=√15。
③在Rt△ADC中，AD=√(AC²-CD²)=√(6²-2²)=4√2；△BEC∽△ADC，EC/DC=BC/AC，BC=BD+CD=√(AB²-AD²)+2=4√2+2，EC=2×(4√2+2)/6=(2+4√2)/3。
(2)①△ABD周长-△ACD周长=AB-AC=8-6=2。
②DE是中位线，DE=1/2AB=4。
③AD是中线，S△ABD=1/2S△ABC=a/2；DE是中位线，S△CDE=1/4S△ABC=a/4。
④G是重心，AG/DG=2。
(3)①∠BAC=2∠BAD=60°，∠C=180°-∠B-∠BAC=70°。
②角平分线性质，D到AC距离=DE=b。
③S△ABD=1/2×AB×DE=4b，S△ACD=1/2×AC×b=3b。
④S△ABD/S△ACD=4b/3b=4/3，BD/CD=AB/AC=4/3。

1. (2025 连云港)下列长度(单位:cm)的3根小木棒能搭成三角形的是()

A.1,2,3
B.2,3,4
C.3,5,8
D.4,5,10

B

根据三角形三边关系定理，三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，对各选项逐一分析：
选项A：因为$1 + 2 = 3$，不满足“任意两边之和大于第三边”，所以不能构成三角形。
选项B：$2 + 3\gt 4$，$2 + 4\gt 3$，$3 + 4\gt 2$；$4 - 2\lt 3$，$4 - 3\lt 2$，$3 - 2\lt 4$，满足三边关系定理，能构成三角形。
选项C：由于$3 + 5 = 8$，不满足“任意两边之和大于第三边”，不能构成三角形。
选项D：因为$4 + 5＜10$（实际是$4 + 5 = 9\lt10$），不满足“任意两边之和大于第三边”，不能构成三角形。

2. (2025 商丘一模)在$\triangle ABC$中,$AB=3$,$BC=5$,$AC$的长可以是.

4（答案不唯一）

在△ABC中，AB=3，BC=5，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得5-3＜AC＜5+3，即2＜AC＜8，AC的长可以是4（答案不唯一，只要是2到8之间的数即可）。

3. (人教八上 P16 改编)如图,在$\triangle ABC$中,$AD ⊥ BC$,$\angle 1=\angle 2$,$\angle C=65°$,则$\angle BAC$的度数为.

70°