例1
如图，在平面直角坐标系中，$A(1,3)$，$B(6,2)$，$C(4, - 1)$，点$P$为$x$轴上一动点。
(1) 连接$PA$，$PB$，则$PA + PB$的最小值为
(2) 连接$PC$，则$\vert PB - PC\vert$的最大值为
如图，在平面直角坐标系中，$A(1,3)$，$B(6,2)$，$C(4, - 1)$，点$P$为$x$轴上一动点。
(1) 连接$PA$，$PB$，则$PA + PB$的最小值为
$5\sqrt{2}$
，此时点$P$的坐标为(4,0)
；(2) 连接$PC$，则$\vert PB - PC\vert$的最大值为
$\sqrt{5}$
，此时点$P$的坐标为(2,0)
。答案
$5\sqrt{2}；(4,0)；\sqrt{5}；(2,0)$
解析
1. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 4$，$\angle BAC = 60^{\circ}$，$D$，$E$分别为$BC$，$AB$的中点，$P$是$AD$上的一个动点，则$\triangle PBE$的周长的最小值为
2+2√3
。答案
2+2√3
解析
∵AB=AC=4，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，BC=4。D为BC中点，AD是△ABC的对称轴，B、C关于AD对称。E为AB中点，BE=2。△PBE周长=PB+PE+BE，BE固定，需使PB+PE最小。作B关于AD的对称点C，连接EC交AD于P，此时PB+PE=PC+PE=EC最小。在△AEC中，AE=2，AC=4，∠EAC=60°，由余弦定理得EC²=2²+4²-2×2×4×cos60°=4+16-8=12，EC=2√3。
∴△PBE周长最小值=2√3+2。
2. 如图，在菱形$ABCD$中，$\angle ABC = 120^{\circ}$，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$BD = 8$，$E$为$OD$的中点，$F$为$AB$上一点，且$AF = 3BF$，点$P$为$AC$上一动点，连接$PE$，$PF$，则$\vert PF - PE\vert$的最大值为
2
。答案
解$:$以$O$为原点，$AC$为$x$轴，$BD$为$y$轴建立坐标系。菱形$ABCD$中，$∠ABC=120°，$$BD=8，$
故$BO=OD=4，$$E$为$OD$中点，$E(0,-2)。$$∠ABO=60°，$
在$Rt△ABO$中，$AB=8，$$AO=4\sqrt{3}，$$A(-4\sqrt{3},0)，$$B(0,4)，$$C(4\sqrt{3},0)，$$D(0,-4)。$$F$为$AB$上$AF=3BF，$
由定比分点得$F(-\sqrt{3},3)。$$P$在$AC$上设为$(p,0)，$$|PF-PE|=|PF-PE|，$$E$关于$AC$对称点$E'(0,2)，$
则$PE=PE'，$$|PF-PE|=|PF-PE'|。$
由三角形两边之差$≤$第三边，$|PF-PE'|≤FE'，$$FE'=\sqrt{[(-\sqrt{3}-0)²+(3-2)²]}=2。$
当$P$为直线$FE'$与$AC$交点$(2\sqrt{3},0)$时，$|PF-PE|=2。$
$【$答案$】$：$2$
故$BO=OD=4，$$E$为$OD$中点，$E(0,-2)。$$∠ABO=60°，$
在$Rt△ABO$中，$AB=8，$$AO=4\sqrt{3}，$$A(-4\sqrt{3},0)，$$B(0,4)，$$C(4\sqrt{3},0)，$$D(0,-4)。$$F$为$AB$上$AF=3BF，$
由定比分点得$F(-\sqrt{3},3)。$$P$在$AC$上设为$(p,0)，$$|PF-PE|=|PF-PE|，$$E$关于$AC$对称点$E'(0,2)，$
则$PE=PE'，$$|PF-PE|=|PF-PE'|。$
由三角形两边之差$≤$第三边，$|PF-PE'|≤FE'，$$FE'=\sqrt{[(-\sqrt{3}-0)²+(3-2)²]}=2。$
当$P$为直线$FE'$与$AC$交点$(2\sqrt{3},0)$时，$|PF-PE|=2。$
$【$答案$】$：$2$
解析
例2
如图，已知$\angle AOB = 30^{\circ}$，$OC$平分$\angle AOB$，点$P$在$OC$上，且$OP = 8$，$M$，$N$分别是射线$OA$，$OB$上的动点。
(1) 连接$PN$，$MN$，$PN + MN$的最小值为
(2) 连接$PM$，$PN$，$PM + PN + MN$的最小值为
如图，已知$\angle AOB = 30^{\circ}$，$OC$平分$\angle AOB$，点$P$在$OC$上，且$OP = 8$，$M$，$N$分别是射线$OA$，$OB$上的动点。
(1) 连接$PN$，$MN$，$PN + MN$的最小值为
4
；(2) 连接$PM$，$PN$，$PM + PN + MN$的最小值为
8
。答案
1. （1）
作点$P$关于$OB$的对称点$P'$，连接$P'M$，$P'N$，$OP'$。
根据对称性质：$PN = P'N$，$OP = OP'$，$\angle POB=\angle P'OB$。
因为$OC$平分$\angle AOB$，$\angle AOB = 30^{\circ}$，所以$\angle AOC=\angle BOC = 15^{\circ}$，则$\angle AOP'=\angle AOC+\angle P'OB=\angle AOC+\angle BOC = 30^{\circ}$。
$PN + MN=P'N + MN$，根据两点之间线段最短，当$P'$，$M$，$N$三点共线且$P'M⊥ OA$时，$P'N + MN$的值最小，即$P'M$的长为最小值。
在$Rt\triangle OP'M$中，$OP' = OP = 8$，$\angle AOP' = 30^{\circ}$，根据直角三角形中$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半，可得$P'M=\frac{1}{2}OP' = 4$。
2. （2）
作点$P$关于$OA$的对称点$P_1$，点$P$关于$OB$的对称点$P_2$，连接$P_1P_2$，分别交$OA$、$OB$于$M$、$N$。
根据对称性质：$PM = P_1M$，$PN = P_2N$，$OP = OP_1=OP_2$，$\angle AOP=\angle AOP_1$，$\angle BOP=\angle BOP_2$。
则$PM + PN+MN = P_1M + P_2N+MN = P_1P_2$。
因为$\angle AOB = 30^{\circ}$，所以$\angle P_1OP_2 = 2\angle AOB=60^{\circ}$。
又$OP_1 = OP_2$，所以$\triangle OP_1P_2$是等边三角形。
因为$OP = 8$，所以$OP_1 = OP_2 = 8$，则$P_1P_2=OP_1 = 8$。
故答案依次为：（1）$4$；（2）$8$。
作点$P$关于$OB$的对称点$P'$，连接$P'M$，$P'N$，$OP'$。
根据对称性质：$PN = P'N$，$OP = OP'$，$\angle POB=\angle P'OB$。
因为$OC$平分$\angle AOB$，$\angle AOB = 30^{\circ}$，所以$\angle AOC=\angle BOC = 15^{\circ}$，则$\angle AOP'=\angle AOC+\angle P'OB=\angle AOC+\angle BOC = 30^{\circ}$。
$PN + MN=P'N + MN$，根据两点之间线段最短，当$P'$，$M$，$N$三点共线且$P'M⊥ OA$时，$P'N + MN$的值最小，即$P'M$的长为最小值。
在$Rt\triangle OP'M$中，$OP' = OP = 8$，$\angle AOP' = 30^{\circ}$，根据直角三角形中$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半，可得$P'M=\frac{1}{2}OP' = 4$。
2. （2）
作点$P$关于$OA$的对称点$P_1$，点$P$关于$OB$的对称点$P_2$，连接$P_1P_2$，分别交$OA$、$OB$于$M$、$N$。
根据对称性质：$PM = P_1M$，$PN = P_2N$，$OP = OP_1=OP_2$，$\angle AOP=\angle AOP_1$，$\angle BOP=\angle BOP_2$。
则$PM + PN+MN = P_1M + P_2N+MN = P_1P_2$。
因为$\angle AOB = 30^{\circ}$，所以$\angle P_1OP_2 = 2\angle AOB=60^{\circ}$。
又$OP_1 = OP_2$，所以$\triangle OP_1P_2$是等边三角形。
因为$OP = 8$，所以$OP_1 = OP_2 = 8$，则$P_1P_2=OP_1 = 8$。
故答案依次为：（1）$4$；（2）$8$。
