1. (2024 河南,23 节选)定义:至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形. 如图,四边形 ABCD 是邻等对补四边形,$ AB = AD $,AC 是它的一条对角线.
(1)写出图中相等的角,并说明理由;
(2)若 $ BC = m $,$ DC = n $,$ \angle BCD = 2\theta $,求 AC 的长(用含 $ m $,$ n $,$ \theta $ 的式子表示).

(1)∠ACB=∠ACD；(2)(m+n)/(2cosθ)

(1)∠ACB=∠ACD。理由：四边形ABCD是邻等对补四边形，AB=AD，故∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180°。将△ADC绕点A顺时针旋转使AD与AB重合，得△ABE，则AE=AC，BE=DC，∠ABE=∠ADC。因∠ABC+∠ADC=180°，故∠ABC+∠ABE=180°，E、B、C共线。∠EAC=∠BAD=180°-∠BCD，又AE=AC，△AEC中∠AEC=∠ACE，∠EAC+2∠ACE=180°，即180°-∠BCD+2∠ACE=180°，得∠BCD=2∠ACE，故∠ACE=∠BCD/2，即∠ACB=∠ACD。
(2)过A作AF⊥EC于F，EC=EB+BC=DC+BC=m+n，FC=EC/2=(m+n)/2。∠ACB=θ，Rt△AFC中，cosθ=FC/AC，故AC=(m+n)/(2cosθ)。

2. (2025 驻马店三模)在学习三角形相似后,数学兴趣小组的同学们又进一步对图形中因动点变化引起的线段之间以及角之间的关系进行了探究.
(1)如图 1,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90° $,$ AC = BC $,P 为 AB 的中点,$ \angle MPN = 90° $,则 $ \frac{PM}{PN} = $.
(2)如图 2,在 $ \mathrm{Rt}\triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90° $,$ \angle A = 30° $,P 为 AB 上一点,$ BP = 2AP = 2 $,M 为 AC 上一点,连接 MP,作 $ \angle MPN = 90° $,交 BC 于点 N. 请探究 $ \frac{PM}{PN} $ 的值,并说明理由.
(3)在(2)的条件下,请继续思考,$ \triangle MPN $ 面积的最小值为,最大值为.

(1)1；(2)√3/6；(3)√3/4，√3/3

(1)连接CP，∵△ABC为等腰直角三角形，P为AB中点，∴CP=AP=BP，∠ACP=∠B=45°，∠APC=90°。∵∠MPN=90°，∴∠MPC=∠NPB。∴△PCM≌△PBN(ASA)，∴PM=PN，故PM/PN=1。
(2)过P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E。∵∠C=90°，∴四边形PDCE为矩形，∠DPE=90°。∵∠MPN=90°，∴∠DPM=∠EPN。又∠PDM=∠PEN=90°，∴△PDM∽△PEN。由BP=2，AP=1，AB=3，∠A=30°，得AC=(3√3)/2，BC=3/2。P坐标(√3,1/2)，PD=1/2，PE=√3。∴PM/PN=PD/PE=(1/2)/√3=√3/6。
(3)S△MPN=(1/2)PM·PN，由PM/PN=√3/6，设PM=√3k，PN=6k，S=3√3k²。PM²=(m-√3)²+1/4，m∈[5√3/6,13√3/12]，当m=√3时PM最小=1/2，S最小=√3/4；当m=5√3/6时PM最大=√3/3，S最大=√3/3。