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12. (10 分)化简:
(1) $(-4x^2+2x+1)+3(2x^2-7x)$；
(2) $4a^2b-[3ab^2-2(3a^2b-1)]$.
(1) $(-4x^2+2x+1)+3(2x^2-7x)$；
(2) $4a^2b-[3ab^2-2(3a^2b-1)]$.
答案
(1) $2x^2-19x+1$ (2) $10a^2b-3ab^2-2$
解析
【分析】
整式化简的核心是去括号和合并同类项，解题思路如下：①去括号：括号前有系数时，要将系数乘遍括号内的每一项；若括号前是负号，去括号后括号内所有项都要变号，多层括号一般按从内到外的顺序依次去括号；②合并同类项：将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，最终得到最简结果。
【解析】
(1) 先去括号，再合并同类项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-4x^2+2x+1 + 3×2x^2 + 3×(-7x)\\&=-4x^2+2x+1+6x^2-21x\\&=(-4x^2+6x^2)+(2x-21x)+1\\&=2x^2-19x+1\end{aligned}$
(2) 先去小括号，再去中括号，最后合并同类项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4a^2b-[3ab^2 - 2×3a^2b + 2×1]\\&=4a^2b-[3ab^2-6a^2b+2]\\&=4a^2b-3ab^2+6a^2b-2\\&=(4a^2b+6a^2b)-3ab^2-2\\&=10a^2b-3ab^2-2\end{aligned}$
【答案】
(1) $2x^2-19x+1$ (2) $10a^2b-3ab^2-2$
【知识点】
去括号法则，合并同类项，整式的加减
【点评】
本题是整式加减运算的基础题型，易错点在于去括号时容易出现符号错误，或者括号前有系数时漏乘括号内的项，熟练掌握去括号和合并同类项的规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
整式化简的核心是去括号和合并同类项，解题思路如下：①去括号：括号前有系数时，要将系数乘遍括号内的每一项；若括号前是负号，去括号后括号内所有项都要变号，多层括号一般按从内到外的顺序依次去括号；②合并同类项：将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，最终得到最简结果。
【解析】
(1) 先去括号，再合并同类项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-4x^2+2x+1 + 3×2x^2 + 3×(-7x)\\&=-4x^2+2x+1+6x^2-21x\\&=(-4x^2+6x^2)+(2x-21x)+1\\&=2x^2-19x+1\end{aligned}$
(2) 先去小括号，再去中括号，最后合并同类项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4a^2b-[3ab^2 - 2×3a^2b + 2×1]\\&=4a^2b-[3ab^2-6a^2b+2]\\&=4a^2b-3ab^2+6a^2b-2\\&=(4a^2b+6a^2b)-3ab^2-2\\&=10a^2b-3ab^2-2\end{aligned}$
【答案】
(1) $2x^2-19x+1$ (2) $10a^2b-3ab^2-2$
【知识点】
去括号法则，合并同类项，整式的加减
【点评】
本题是整式加减运算的基础题型，易错点在于去括号时容易出现符号错误，或者括号前有系数时漏乘括号内的项，熟练掌握去括号和合并同类项的规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
13. (10分)先化简,再求值:$2(\dfrac{1}{2}a-\dfrac{3}{10}ab^{2})-3(\dfrac{4}{3}b-3a)+\dfrac{1}{5}(3ab^{2}-55b)$,其中$2a-3b=6$.
答案
原式 = 10a - 15b. 因为 2a - 3b = 6, 所以原式=5(2a-3b)=5×6=30
解析
【分析】
本题属于整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先对原式进行化简，按照“去括号→合并同类项”的顺序运算，去括号时要注意括号前的符号，同时括号外的系数要乘遍括号内的每一项，避免漏乘；第二步观察化简后的式子，发现其可以变形为含已知式$2a-3b$的形式，不需要单独求解$a$、$b$的值，直接整体代入已知条件计算即可。
【解析】
解：先对原式去括号：
$\begin{aligned}原式&=2×\frac{1}{2}a - 2×\frac{3}{10}ab^2 - 3×\frac{4}{3}b + 3×3a + \frac{1}{5}×3ab^2 - \frac{1}{5}×55b\\&=a - \frac{3}{5}ab^2 - 4b + 9a + \frac{3}{5}ab^2 - 11b\end{aligned}$
再合并同类项：
含$a$的项：$a + 9a = 10a$
含$ab^2$的项：$-\frac{3}{5}ab^2 + \frac{3}{5}ab^2 = 0$
含$b$的项：$-4b -11b = -15b$
因此化简后得：$原式=10a - 15b$
对化简结果变形提取公因数：$10a -15b = 5(2a - 3b)$
已知$2a - 3b = 6$，整体代入得：
$原式=5×6=30$
【答案】
$30$
【知识点】
整式的加减运算；去括号与合并同类项；整体代入求值
【点评】
本题是整式化简求值的基础题型，重点考查运算的准确性，解题时需注意去括号的符号变化，避免出现系数漏乘的错误，运用整体代入的思想可大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.7
本题属于整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先对原式进行化简，按照“去括号→合并同类项”的顺序运算，去括号时要注意括号前的符号，同时括号外的系数要乘遍括号内的每一项，避免漏乘；第二步观察化简后的式子，发现其可以变形为含已知式$2a-3b$的形式，不需要单独求解$a$、$b$的值，直接整体代入已知条件计算即可。
【解析】
解：先对原式去括号：
$\begin{aligned}原式&=2×\frac{1}{2}a - 2×\frac{3}{10}ab^2 - 3×\frac{4}{3}b + 3×3a + \frac{1}{5}×3ab^2 - \frac{1}{5}×55b\\&=a - \frac{3}{5}ab^2 - 4b + 9a + \frac{3}{5}ab^2 - 11b\end{aligned}$
再合并同类项：
含$a$的项：$a + 9a = 10a$
含$ab^2$的项：$-\frac{3}{5}ab^2 + \frac{3}{5}ab^2 = 0$
含$b$的项：$-4b -11b = -15b$
因此化简后得：$原式=10a - 15b$
对化简结果变形提取公因数：$10a -15b = 5(2a - 3b)$
已知$2a - 3b = 6$，整体代入得：
$原式=5×6=30$
【答案】
$30$
【知识点】
整式的加减运算；去括号与合并同类项；整体代入求值
【点评】
本题是整式化简求值的基础题型，重点考查运算的准确性，解题时需注意去括号的符号变化，避免出现系数漏乘的错误，运用整体代入的思想可大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.7
14. (10分)观察下列各式：
$1^2=\dfrac{1×2×3}{6}$；$1^2+2^2=\dfrac{2×3×5}{6}$；$1^2+2^2+3^2=\dfrac{3×4×7}{6}$；$1^2+2^2+3^2+4^2=\dfrac{4×5×9}{6}$……
（1）根据你发现的规律，计算：$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=$
（2）根据发现的规律，求$51^2+52^2+\dots+99^2+100^2$的值（写出必要的解题过程）。
$1^2=\dfrac{1×2×3}{6}$；$1^2+2^2=\dfrac{2×3×5}{6}$；$1^2+2^2+3^2=\dfrac{3×4×7}{6}$；$1^2+2^2+3^2+4^2=\dfrac{4×5×9}{6}$……
（1）根据你发现的规律，计算：$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=$
55
；（2）根据发现的规律，求$51^2+52^2+\dots+99^2+100^2$的值（写出必要的解题过程）。
答案
(1) 55 （2）$51^2+52^2+\dots+99^2+100^2=(1^2+2^2+\dots+99^2+100^2)-(1^2+2^2+\dots+49^2+50^2)=\dfrac{100×101×201}{6}-\dfrac{50×51×101}{6}=338350-42925=295425$
解析
【分析】
首先观察给出的等式，归纳总结出通用规律：从1开始连续n个正整数的平方和满足公式$1^2+2^2+\dots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。（1）问中n=5，直接代入规律公式计算即可；（2）问所求的是51到100的平方和，无法直接套用公式，因此转化为“从1到100的平方和减去从1到50的平方和”，再分别代入公式计算差值即可得到结果。
【解析】
先根据已知等式总结通用规律：
观察可得$1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$（n为正整数）。
（1）当n=5时，代入公式计算：
$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=\dfrac{5×(5+1)×(2×5+1)}{6}=\dfrac{5×6×11}{6}=55$
（2）将所求式子变形为可套用公式的形式：
$51^2+52^2+\dots+99^2+100^2=(1^2+2^2+\dots+99^2+100^2)-(1^2+2^2+\dots+49^2+50^2)$
分别代入公式计算两个部分：
$1^2+2^2+\dots+100^2=\dfrac{100×101×(2×100+1)}{6}=\dfrac{100×101×201}{6}=338350$
$1^2+2^2+\dots+50^2=\dfrac{50×51×(2×50+1)}{6}=\dfrac{50×51×101}{6}=42925$
计算差值：$338350-42925=295425$
【答案】
（1）$\boxed{55}$；（2）$\boxed{295425}$
【知识点】
数字规律探究；平方和公式应用；有理数混合运算
【点评】
本题重点考查观察归纳能力与规律的灵活应用能力，解题关键是准确总结出连续正整数平方和的计算公式，第二问通过转化为两个整体平方和的差简化计算，易错点为代入公式时数值对应错误或计算失误。
【难度系数】
0.7
首先观察给出的等式，归纳总结出通用规律：从1开始连续n个正整数的平方和满足公式$1^2+2^2+\dots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。（1）问中n=5，直接代入规律公式计算即可；（2）问所求的是51到100的平方和，无法直接套用公式，因此转化为“从1到100的平方和减去从1到50的平方和”，再分别代入公式计算差值即可得到结果。
【解析】
先根据已知等式总结通用规律：
观察可得$1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$（n为正整数）。
（1）当n=5时，代入公式计算：
$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=\dfrac{5×(5+1)×(2×5+1)}{6}=\dfrac{5×6×11}{6}=55$
（2）将所求式子变形为可套用公式的形式：
$51^2+52^2+\dots+99^2+100^2=(1^2+2^2+\dots+99^2+100^2)-(1^2+2^2+\dots+49^2+50^2)$
分别代入公式计算两个部分：
$1^2+2^2+\dots+100^2=\dfrac{100×101×(2×100+1)}{6}=\dfrac{100×101×201}{6}=338350$
$1^2+2^2+\dots+50^2=\dfrac{50×51×(2×50+1)}{6}=\dfrac{50×51×101}{6}=42925$
计算差值：$338350-42925=295425$
【答案】
（1）$\boxed{55}$；（2）$\boxed{295425}$
【知识点】
数字规律探究；平方和公式应用；有理数混合运算
【点评】
本题重点考查观察归纳能力与规律的灵活应用能力，解题关键是准确总结出连续正整数平方和的计算公式，第二问通过转化为两个整体平方和的差简化计算，易错点为代入公式时数值对应错误或计算失误。
【难度系数】
0.7
15. (12分)已知$A=2x^2+3xy-2x-1$，$B=-x^2+\frac{1}{2}xy+\frac{2}{3}$。
(1) 当有理数$x,y$满足$(x+1)^2+|y+2|=0$时，求$4A-(3A-2B)$的值；
(2) 若$4A-(3A-2B)$的值与有理数$x$的取值无关，求有理数$y$的值。
(1) 当有理数$x,y$满足$(x+1)^2+|y+2|=0$时，求$4A-(3A-2B)$的值；
(2) 若$4A-(3A-2B)$的值与有理数$x$的取值无关，求有理数$y$的值。
答案
(1) $4A-(3A-2B)=4A-3A+2B=A+2B$. 当$A=2x^2+3xy-2x-1,B=-x^2+\dfrac{1}{2}xy+\dfrac{2}{3}$时,$A+2B=2x^2+3xy-2x-1+2(-x^2+\dfrac{1}{2}xy+\dfrac{2}{3})=2x^2+3xy-2x-1-2x^2+xy+\dfrac{4}{3}=4xy-2x+\dfrac{1}{3}$. 因为$(x+1)^2+|y+2|=0$,所以$x+1=0,y+2=0$,解得$x=-1,y=-2$. 当$x=-1,y=-2$时,原式$=4×(-1)×(-2)-2×(-1)+\dfrac{1}{3}=\dfrac{31}{3}$
(2) $4A-(3A-2B)=A+2B=2x^2+3xy-2x-1+2(-x^2+\dfrac{1}{2}xy+\dfrac{2}{3})=4xy-2x+\dfrac{1}{3}=(4y-2)x+\dfrac{1}{3}$. 由题意,可知$4y-2=0$,所以$y=\dfrac{1}{2}$
(2) $4A-(3A-2B)=A+2B=2x^2+3xy-2x-1+2(-x^2+\dfrac{1}{2}xy+\dfrac{2}{3})=4xy-2x+\dfrac{1}{3}=(4y-2)x+\dfrac{1}{3}$. 由题意,可知$4y-2=0$,所以$y=\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
（1）解题时先对所求代数式$4A-(3A-2B)$去括号、合并同类项化简，可得到更简单的$A+2B$，再将$A$、$B$的表达式代入，合并同类项得到最简整式；再根据非负数的性质：平方和绝对值均为非负数，若两者和为0，则每一项都为0，求出$x$、$y$的值，代入最简整式计算即可得到结果。
（2）将第一问化简得到的整式整理为关于$x$的一次式，若代数式的值与$x$的取值无关，说明含$x$的项的系数为0，据此列方程求解即可得到$y$的值。
【解析】
(1) 先化简所求式子：
$4A-(3A-2B)=4A-3A+2B=A+2B$
将$A=2x^2+3xy-2x-1$，$B=-x^2+\frac{1}{2}xy+\frac{2}{3}$代入：
$\begin{aligned}A+2B&=2x^2+3xy-2x-1+2(-x^2+\frac{1}{2}xy+\frac{2}{3})\\&=2x^2+3xy-2x-1-2x^2+xy+\frac{4}{3}\\&=4xy-2x+\frac{1}{3}\end{aligned}$
因为$(x+1)^2≥0$，$|y+2|≥0$，且$(x+1)^2+|y+2|=0$，所以：
$x+1=0$，$y+2=0$，解得$x=-1$，$y=-2$
将$x=-1$，$y=-2$代入$4xy-2x+\frac{1}{3}$：
$\begin{aligned}原式&=4×(-1)×(-2)-2×(-1)+\frac{1}{3}\\&=8+2+\frac{1}{3}\\&=\frac{31}{3}\end{aligned}$
(2) 由(1)可得$4A-(3A-2B)=4xy-2x+\frac{1}{3}=(4y-2)x+\frac{1}{3}$
因为代数式的值与$x$的取值无关，所以含$x$项的系数为0，即：
$4y-2=0$
解得$y=\frac{1}{2}$
【答案】
(1) $\dfrac{31}{3}$；(2) $\dfrac{1}{2}$
【知识点】
整式的化简求值，非负数的性质，多项式与字母取值无关的条件
【点评】
本题是整式运算的典型题型，解题的关键是先对所求式子化简再计算，可大幅减少运算量；其中与字母取值无关的问题，核心是掌握该字母对应项的系数为0的规律，侧重考查基础运算能力和对性质的理解应用。
【难度系数】
0.7
（1）解题时先对所求代数式$4A-(3A-2B)$去括号、合并同类项化简，可得到更简单的$A+2B$，再将$A$、$B$的表达式代入，合并同类项得到最简整式；再根据非负数的性质：平方和绝对值均为非负数，若两者和为0，则每一项都为0，求出$x$、$y$的值，代入最简整式计算即可得到结果。
（2）将第一问化简得到的整式整理为关于$x$的一次式，若代数式的值与$x$的取值无关，说明含$x$的项的系数为0，据此列方程求解即可得到$y$的值。
【解析】
(1) 先化简所求式子：
$4A-(3A-2B)=4A-3A+2B=A+2B$
将$A=2x^2+3xy-2x-1$，$B=-x^2+\frac{1}{2}xy+\frac{2}{3}$代入：
$\begin{aligned}A+2B&=2x^2+3xy-2x-1+2(-x^2+\frac{1}{2}xy+\frac{2}{3})\\&=2x^2+3xy-2x-1-2x^2+xy+\frac{4}{3}\\&=4xy-2x+\frac{1}{3}\end{aligned}$
因为$(x+1)^2≥0$，$|y+2|≥0$，且$(x+1)^2+|y+2|=0$，所以：
$x+1=0$，$y+2=0$，解得$x=-1$，$y=-2$
将$x=-1$，$y=-2$代入$4xy-2x+\frac{1}{3}$：
$\begin{aligned}原式&=4×(-1)×(-2)-2×(-1)+\frac{1}{3}\\&=8+2+\frac{1}{3}\\&=\frac{31}{3}\end{aligned}$
(2) 由(1)可得$4A-(3A-2B)=4xy-2x+\frac{1}{3}=(4y-2)x+\frac{1}{3}$
因为代数式的值与$x$的取值无关，所以含$x$项的系数为0，即：
$4y-2=0$
解得$y=\frac{1}{2}$
【答案】
(1) $\dfrac{31}{3}$；(2) $\dfrac{1}{2}$
【知识点】
整式的化简求值，非负数的性质，多项式与字母取值无关的条件
【点评】
本题是整式运算的典型题型，解题的关键是先对所求式子化简再计算，可大幅减少运算量；其中与字母取值无关的问题，核心是掌握该字母对应项的系数为0的规律，侧重考查基础运算能力和对性质的理解应用。
【难度系数】
0.7
