8[2026贵州铜仁质检]如图，$\odot O$的直径$AB$与弦$CD$相交于$P$，$∠ APC=45°$，若$PC^2 + PD^2 = 6$，则$\odot O$的半径为。

（第8题图）
（第9题图）

8. $\sqrt{3}$ 【解析】如图,作$CM ⊥ AB$于M,$DN ⊥ AB$于N,连接OC,OD,
∴ $∠DNO=∠OMC=90°$,
∴ $∠NDP=∠MCP=∠APC=∠DPN=45°$,
∴ $CM=PM$,$DN=PN$. 又
∵ $OC=OD$,
∴ $∠ODP=∠OCP$.
∵ $∠COM=45°+∠OCD$, $∠ODN=45°+∠ODC$,
∴ $∠NDO=∠COM$. 在$△ODN$与$△COM$中,
$\begin{cases}∠NDO=∠MOC,\\∠DNO=∠OMC,\\OD=CO,\end{cases}$
∴ $△ODN≌△COM$(AAS),
∴ $ON=CM=PM$, $OM=ND=PN$. 又
∵ $OC^2=CM^2+OM^2$,$OD^2=DN^2+ON^2$,
∴ $OC^2=CM^2+PN^2$,$OD^2=DN^2+PM^2$,
∴ $OC^2+OD^2=CM^2+PN^2+DN^2+PM^2=PC^2+PD^2=6$,
∴ $2OC^2=6$,
∴ $OC^2=3$,
∴ $OC=\sqrt{3}$(负值已舍去),
∴ $\odot O$的半径为$\sqrt{3}$.

9[2025江西南昌期中]如图,等腰$△ AOB$中,$∠ AOB=120°$,$AO=BO=2\sqrt{2}$,点$C$为平面内一点,满足$∠ ACB=60°$,且$OC$的长度为整数,则所有满足题意的$OC$的长度的可能值为________.

9. 3,4,5 【解析】
∵ $∠AOB=120°$,$∠ACB=60°$,
∴ ①当点C在$△ABO$的外接圆上,且点C在优弧$\overset{\frown}{AB}$上,$∠OAC=90°$时,OC长度的值最大,如图(1).
∵ $OA=2\sqrt{2}$,$∠ACO=∠ABO=\frac{1}{2}(180°-∠AOB)=30°$,
∴ $OC=2OA=2×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$.
②当点C在以O为圆心、OA为半径的圆上时,OC长度的值最小,如图(2),则$OC=OA=2\sqrt{2}$,
∴ $2\sqrt{2}≤OC≤4\sqrt{2}$.
∵ OC的长度为整数,
∴ OC长度的可能值为3,4,5.

10[2026浙江杭州质检]如图,在以点O为圆心的两个圆中,大圆的半径是小圆半径的2倍,大圆的弦AB和小圆交于C,D两点,若AC=CD=4,则小圆半径是.

(第10题图)
(第11题图)

10. $\frac{4\sqrt{6}}{3}$ 【解析】过O点作$OH ⊥ AB$于H点,连接OA,OC,如图,则$AH=BH$, $CH=DH=\frac{1}{2}CD=2$. 设$OC=r$,则$OA=2r$.
∵ $AC=4$,
∴ $AH=AC+CH=6$. 在$Rt△COH$中,$OH^2=OC^2-CH^2=r^2-2^2$,在$Rt△AOH$中,$OH^2=OA^2-AH^2=4r^2-6^2$,
∴ $r^2-2^2=4r^2-6^2$,解得$r=\frac{4\sqrt{6}}{3}$或$r=-\frac{4\sqrt{6}}{3}$(舍去),即小圆半径是$\frac{4\sqrt{6}}{3}$.

11[2026江苏南京期中]如图,正方形ABCD的边长为1,E,F分别在AD,CD上,且AE=CF,EG⊥BF于点G,则CG的长的最小值为.

11. $\sqrt{2}-1$ 【解析】
∵ 正方形ABCD,
∴ $BC=AB=1$, $∠BCD=∠ABC=∠BAD=90°$.
∵ $EG ⊥ BF$,
∴ $∠BGE=90°$,
∴ $∠EAB+∠BGE=180°$,
∴ A,B,G,E四点共圆,如图,连接EB,AG.
∵ $AE=CF$,$BC=AB$,$∠BCF=∠BAE=90°$,
∴ $△BAE≌△BCF$(SAS),
∴ $∠EBA=∠CBF$.
∵ A,B,G,E四点共圆,
∴ $∠EGA=∠EBA$,
∴ $∠EGA=∠CBF$.
∵ $∠BGA=90°-∠EGA$,$∠GBA=90°-∠CBF$,
∴ $∠AGB=∠GBA$,
∴ $AG=AB=1$. 连接AC,则$CG≥AC-AG$,
∴ 当A,G,C三点共线时,CG的长取得最小值,为$AC-AG$. 在$Rt△ABC$中,$AB=BC=1$,
∴ $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2}$,
∴ CG的长的最小值为$\sqrt{2}-1$.
思路分析
先证明A,B,G,E四点共圆,再证明$△BAE≌△BCF$,从而可推出$∠AGB=∠GBA$,得到$AG=AB=1$,最后由$CG≥AC-AG$即可求出CG的长的最小值.

三、解答题(本大题共3小题,共45分)
12 在数学实验课上,小莹将含$30°$角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周,得到甲、乙两个圆锥,并用作图软件GeoGebra画出如下示意图.

小亮观察后说:“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边AB旋转得到的,所以它们的侧面积相等.”
你认同小亮的说法吗?请说明理由.

12. 【解】不认同. 理由如下:
设$BC=a$,则$AB=2a$,$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{3}a$,
∴ 甲圆锥的侧面积$S_甲=π·BC·AB=π×a×2a=2π a^2$;乙圆锥的侧面积$S_乙=π·AC·AB=π×\sqrt{3}a×2a=2\sqrt{3}π a^2$.
∵ $S_甲≠S_乙$,
∴ 不认同小亮的说法.

13(1)如图(1),请只用无刻度直尺找出△ABC的外中心点O,并直接写出其外接圆半径的长度为(每个小正方形的边长为1);
(2)如图(2),请用直尺和圆规将图中的弧补成圆,并标记圆心P.(保留作图痕迹,不写作法)

13. (1)如图(1)所示,点O即为所求. 外接圆半径$OB=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$.
(2)如图(2)所示,$\odot P$即为所求.

14[2026浙江杭州期中]研究发现:当四边形的对角线互相垂直时,该四边形的面积等于对角线乘积的一半.如图(1),已知四边形ABCD内接于$\odot O$,对角线$AC=BD$,且$AC ⊥ BD$.
(1)求证:$AB=CD$;
(2)若$\odot O$的半径为8,$\overset{\frown}{BD}$的度数为$120°$,求四边形ABCD的面积;
(3)如图(2),在图(1)的基础上,作$OM ⊥ BC$于M,请猜测OM与AD的数量关系,并证明你的结论.

14. (1)【证明】
∵ $AC=BD$,
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$,
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DC}$,
∴ $AB=CD$.
(2)【解】连接OB,OD,作$OH ⊥ BD$于H,如图(1).
∵ $\overset{\frown}{BD}$的度数为$120°$,
∴ $∠BOD=120°$.
∵ $OB=OD$,$OH ⊥ BD$,
∴ $∠BOH=\frac{1}{2}∠BOD=60°$,$BH=HD$,
∴ $∠HBO=30°$,
∴ $OH=\frac{1}{2}OB=4$,
∴ $BH=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$,
∴ $BD=2BH=8\sqrt{3}$,
∴ $AC=8\sqrt{3}$,则四边形ABCD的面积为$\frac{1}{2}×AC×BD=96$.
(3)$AD=2OM$. 证明:连接OB,OC,OA,OD,作$OE ⊥ AD$于E,如图(2).
∵ $OE ⊥ AD$,
∴ $AE=DE$.
∵ $∠BOC=2∠BAC$,而易知$∠BOC=2∠BOM$,
∴ $∠BOM=∠BAC$,同理可得$∠AOE=∠ABD$.
∵ $BD ⊥ AC$,
∴ $∠BAC+∠ABD=90°$,
∴ $∠BOM+∠AOE=90°$.
∵ $∠BOM+∠OBM=90°$,
∴ $∠OBM=∠AOE$. 在$△BOM$和$△OAE$中,
$\begin{cases}∠OMB=∠AEO=90°,\\∠OBM=∠AOE,\\OB=AO,\end{cases}$
∴ $△BOM≌△OAE$,
∴ $OM=AE$,
∴ $AD=2OM$.