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1.分解因式$a^3 -9a$的结果是(
A.$a(a+3)(a-3)$
B.$a(a^2+9)$
C.$(a-3)(a+3)$
D.$a^2(a-9)$
A
).A.$a(a+3)(a-3)$
B.$a(a^2+9)$
C.$(a-3)(a+3)$
D.$a^2(a-9)$
答案
1. A
解析
【分析】
解因式分解题时需遵循“一提二套三查”的思路：首先观察多项式是否有公因式，本题中两项均含有公因式a，优先提取公因式；提取后得到a(a²-9)，再观察剩余因式a²-9，符合平方差公式的结构特征，可套用平方差公式继续分解；最后检查分解后的因式是否还能继续分解，确认分解彻底即可得到结果。
【解析】
对$a^3 -9a$进行因式分解，步骤如下：
1. 提取公因式$a$：
$a^3 -9a = a(a^2 - 9)$
2. 套用平方差公式分解$a^2-9$：
因为$a^2 - 9 = a^2 - 3^2 = (a+3)(a-3)$
所以原式$= a(a+3)(a-3)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
提取公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时牢记“先提公因式、再套公式、最后检查分解是否彻底”的原则即可快速求解，需注意避免出现漏提公因式、分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.85
解因式分解题时需遵循“一提二套三查”的思路：首先观察多项式是否有公因式，本题中两项均含有公因式a，优先提取公因式；提取后得到a(a²-9)，再观察剩余因式a²-9，符合平方差公式的结构特征，可套用平方差公式继续分解；最后检查分解后的因式是否还能继续分解，确认分解彻底即可得到结果。
【解析】
对$a^3 -9a$进行因式分解，步骤如下：
1. 提取公因式$a$：
$a^3 -9a = a(a^2 - 9)$
2. 套用平方差公式分解$a^2-9$：
因为$a^2 - 9 = a^2 - 3^2 = (a+3)(a-3)$
所以原式$= a(a+3)(a-3)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
提取公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时牢记“先提公因式、再套公式、最后检查分解是否彻底”的原则即可快速求解，需注意避免出现漏提公因式、分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.85
2. 把代数式$3x^3 -12x^2 +12x$因式分解，结果正确的是(
A.$3x(x^2 -4x +4)$
B.$3x(x-4)^2$
C.$3x(x+2)(x-2)$
D.$3x(x-2)^2$
D
).A.$3x(x^2 -4x +4)$
B.$3x(x-4)^2$
C.$3x(x+2)(x-2)$
D.$3x(x-2)^2$
答案
2. D
解析
【分析】
拿到因式分解类题目，首先遵循“一提二套三查”的思路思考：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，本题中$3x^3$、$-12x^2$、$12x$三项均含有公因式$3x$，优先提取公因式；第二步判断提取公因式后剩余的多项式是否还能继续分解，剩余的$x^2-4x+4$符合完全平方公式的结构特征，可套用公式继续分解；最后检查分解结果是否彻底，再对应选项选出答案即可。
【解析】
对代数式$3x^3 -12x^2 +12x$进行因式分解，步骤如下：
1. 提取公因式$3x$：
$3x^3 -12x^2 +12x = 3x(x^2 - 4x + 4)$
2. 对括号内的二次三项式套用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$（此处$a=x$，$b=2$）：
$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$
3. 合并得到最终分解结果：$3x(x-2)^2$
对比选项，只有D选项符合结果。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法，完全平方公式，因式分解原则
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时要注意分解必须彻底，提取公因式后要检查剩余的多项式是否还能继续分解，避免出现分解不完整的错误，同时要准确区分完全平方公式和平方差公式的适用场景。
【难度系数】
0.8
拿到因式分解类题目，首先遵循“一提二套三查”的思路思考：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，本题中$3x^3$、$-12x^2$、$12x$三项均含有公因式$3x$，优先提取公因式；第二步判断提取公因式后剩余的多项式是否还能继续分解，剩余的$x^2-4x+4$符合完全平方公式的结构特征，可套用公式继续分解；最后检查分解结果是否彻底，再对应选项选出答案即可。
【解析】
对代数式$3x^3 -12x^2 +12x$进行因式分解，步骤如下：
1. 提取公因式$3x$：
$3x^3 -12x^2 +12x = 3x(x^2 - 4x + 4)$
2. 对括号内的二次三项式套用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$（此处$a=x$，$b=2$）：
$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$
3. 合并得到最终分解结果：$3x(x-2)^2$
对比选项，只有D选项符合结果。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法，完全平方公式，因式分解原则
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时要注意分解必须彻底，提取公因式后要检查剩余的多项式是否还能继续分解，避免出现分解不完整的错误，同时要准确区分完全平方公式和平方差公式的适用场景。
【难度系数】
0.8
3. 下列因式分解错误的是(
A.$3ax^2 - 6ax = 3(ax^2 - 2ax)$
B.$2x^2 - 8y^2 = 2(x + 2y)(x - 2y)$
C.$x(x - y) + y(y - x) = (x - y)^2$
D.$-ax^2 + 2ax - a = -a(x - 1)^2$
A
).A.$3ax^2 - 6ax = 3(ax^2 - 2ax)$
B.$2x^2 - 8y^2 = 2(x + 2y)(x - 2y)$
C.$x(x - y) + y(y - x) = (x - y)^2$
D.$-ax^2 + 2ax - a = -a(x - 1)^2$
答案
3. A
解析
【分析】
这是一道因式分解的正误判断题，解题时首先要明确因式分解的核心要求：①最终结果必须是几个整式乘积的形式；②公因式要提取彻底，每个因式要分解到不能再分解为止。解题思路是逐个分析每个选项的分解过程，先检查是否提尽公因式，再检查后续公式应用是否正确，最终找出错误选项。
【解析】
我们逐个验证各选项：
A选项：对$3ax^2 - 6ax$提取公因式时，各项的公因式是$3ax$，正确分解应为$3ax(x-2)$，选项中仅提取了3，剩余的$ax^2-2ax$仍有公因式$ax$未提取，分解不彻底，该选项错误。
B选项：$2x^2 - 8y^2$先提取公因式2得$2(x^2-4y^2)$，再利用平方差公式分解$x^2-4y^2=(x+2y)(x-2y)$，最终结果为$2(x+2y)(x-2y)$，该选项正确。
C选项：先将$y(y-x)$变形为$-y(x-y)$，原式变为$x(x-y)-y(x-y)$，提取公因式$(x-y)$得$(x-y)(x-y)=(x-y)^2$，该选项正确。
D选项：先提取公因式$-a$得$-a(x^2-2x+1)$，再利用完全平方公式分解$x^2-2x+1=(x-1)^2$，最终结果为$-a(x-1)^2$，该选项正确。
综上，因式分解错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法；公式法因式分解；因式分解的原则
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时要注意公因式需提取完整，变形时注意符号变化，熟练掌握平方差、完全平方公式的结构特征是解题的关键。
【难度系数】
0.8
这是一道因式分解的正误判断题，解题时首先要明确因式分解的核心要求：①最终结果必须是几个整式乘积的形式；②公因式要提取彻底，每个因式要分解到不能再分解为止。解题思路是逐个分析每个选项的分解过程，先检查是否提尽公因式，再检查后续公式应用是否正确，最终找出错误选项。
【解析】
我们逐个验证各选项：
A选项：对$3ax^2 - 6ax$提取公因式时，各项的公因式是$3ax$，正确分解应为$3ax(x-2)$，选项中仅提取了3，剩余的$ax^2-2ax$仍有公因式$ax$未提取，分解不彻底，该选项错误。
B选项：$2x^2 - 8y^2$先提取公因式2得$2(x^2-4y^2)$，再利用平方差公式分解$x^2-4y^2=(x+2y)(x-2y)$，最终结果为$2(x+2y)(x-2y)$，该选项正确。
C选项：先将$y(y-x)$变形为$-y(x-y)$，原式变为$x(x-y)-y(x-y)$，提取公因式$(x-y)$得$(x-y)(x-y)=(x-y)^2$，该选项正确。
D选项：先提取公因式$-a$得$-a(x^2-2x+1)$，再利用完全平方公式分解$x^2-2x+1=(x-1)^2$，最终结果为$-a(x-1)^2$，该选项正确。
综上，因式分解错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法；公式法因式分解；因式分解的原则
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时要注意公因式需提取完整，变形时注意符号变化，熟练掌握平方差、完全平方公式的结构特征是解题的关键。
【难度系数】
0.8
4. 分解因式: $2a^3 - 8a =$
2a(a+2)(a-2)
.答案
4. 2a(a+2)(a-2)
解析
【分析】
解决因式分解类题目需遵循“一提、二套、三查”的基本思路：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，本题中$2a^3$和$-8a$的公因式为$2a$，优先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余的多项式$a^2-4$，其符合平方差公式“$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$”的形式，可套用公式继续分解；第三步检查分解后的所有因式，确认均无法再继续分解，即可得到最终结果。
【解析】
解：对原式先提取公因式，再套用平方差公式分解：
$\begin{aligned}2a^3 - 8a&=2a(a^2 - 4)\\&=2a(a^2 - 2^2)\\&=2a(a+2)(a-2)\end{aligned}$
最后检查分解后的因式$2a$、$a+2$、$a-2$均无法继续分解，分解完成。
【答案】
$2a(a+2)(a-2)$
【知识点】
1. 提公因式法因式分解
2. 平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考察因式分解的基本操作顺序，解题时需注意提取公因式要彻底，套用公式要准确，最后一定要检查是否分解到不能再分解为止，避免出现分解不完整的错误。
【难度系数】
0.9
解决因式分解类题目需遵循“一提、二套、三查”的基本思路：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，本题中$2a^3$和$-8a$的公因式为$2a$，优先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余的多项式$a^2-4$，其符合平方差公式“$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$”的形式，可套用公式继续分解；第三步检查分解后的所有因式，确认均无法再继续分解，即可得到最终结果。
【解析】
解：对原式先提取公因式，再套用平方差公式分解：
$\begin{aligned}2a^3 - 8a&=2a(a^2 - 4)\\&=2a(a^2 - 2^2)\\&=2a(a+2)(a-2)\end{aligned}$
最后检查分解后的因式$2a$、$a+2$、$a-2$均无法继续分解，分解完成。
【答案】
$2a(a+2)(a-2)$
【知识点】
1. 提公因式法因式分解
2. 平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考察因式分解的基本操作顺序，解题时需注意提取公因式要彻底，套用公式要准确，最后一定要检查是否分解到不能再分解为止，避免出现分解不完整的错误。
【难度系数】
0.9
5. 分解因式：
(1) $9a^2(x-y)+4b^2(y-x)$；
(2) $64x^2y^2-(x^2+16y^2)^2$；
(3) $(x^2-x)(x^2-x-8)+12$。
(1) $9a^2(x-y)+4b^2(y-x)$；
(2) $64x^2y^2-(x^2+16y^2)^2$；
(3) $(x^2-x)(x^2-x-8)+12$。
答案
解 (1)原式=$9a^2(x - y) - 4b^2(x - y)$
$=(x - y)(9a^2 - 4b^2)$
$=(x - y)(3a + 2b)(3a - 2b)$。
(2)原式=$(8xy + x^2 + 16y^2)(8xy - x^2 - 16y^2)=-(x + 4y)^2(x - 4y)^2$。
(3)原式=$(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12$
$=(x^2 - x - 2)(x^2 - x - 6)$
$=(x - 2)(x + 1)(x - 3)(x + 2)$。
$=(x - y)(9a^2 - 4b^2)$
$=(x - y)(3a + 2b)(3a - 2b)$。
(2)原式=$(8xy + x^2 + 16y^2)(8xy - x^2 - 16y^2)=-(x + 4y)^2(x - 4y)^2$。
(3)原式=$(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12$
$=(x^2 - x - 2)(x^2 - x - 6)$
$=(x - 2)(x + 1)(x - 3)(x + 2)$。
解析
【分析】
因式分解遵循“一提、二套、三查”的基本思路：
1. 第(1)题：先观察到式子中含$(x-y)$和$(y-x)$，二者互为相反数，先变形统一公因式$(x-y)$，提取公因式后剩余的部分符合平方差公式结构，继续用平方差公式分解即可。
2. 第(2)题：式子是两个整式平方的差的形式，直接套用平方差公式分解，分解后得到的两个多项式分别符合完全平方公式结构，整理符号后继续用完全平方公式分解，注意最终结果符号的处理。
3. 第(3)题：式子中多次出现整式$x^2-x$，可将其看作一个整体，展开后得到关于这个整体的二次三项式，用十字相乘法分解，再将代回后的两个二次三项式继续用十字相乘法分解，直到每一个因式都不能再分解为止。
【解析】
(1) 先将$y-x$变形为$-(x-y)$，再提取公因式，最后用平方差公式分解：
原式=$9a^2(x - y) - 4b^2(x - y)$
$=(x - y)(9a^2 - 4b^2)$
$=(x - y)(3a + 2b)(3a - 2b)$
(2) 先套用平方差公式，再用完全平方公式分解，注意符号整理：
原式=$(8xy)^2-(x^2+16y^2)^2$
$=(8xy + x^2 + 16y^2)(8xy - x^2 - 16y^2)$
$=(x^2+8xy+16y^2)·[-(x^2-8xy+16y^2)]$
$=-(x + 4y)^2(x - 4y)^2$
(3) 将$x^2-x$看作整体展开，再连续用十字相乘法分解：
原式=$(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12$
$=(x^2 - x - 2)(x^2 - x - 6)$
$=(x - 2)(x + 1)(x - 3)(x + 2)$
【答案】
(1) $(x - y)(3a + 2b)(3a - 2b)$
(2) $-(x + 4y)^2(x - 4y)^2$
(3) $(x - 2)(x + 1)(x - 3)(x + 2)$
【知识点】
提公因式法，公式法因式分解，十字相乘法因式分解
【点评】
本题考查因式分解的综合运用，解题时要严格按照“先提公因式、再套公式/十字相乘、最后检查分解是否彻底”的步骤进行，注意互为相反数的因式的变形、符号处理，合理运用整体思想可大幅简化计算过程，避免出错。
【难度系数】
0.6
因式分解遵循“一提、二套、三查”的基本思路：
1. 第(1)题：先观察到式子中含$(x-y)$和$(y-x)$，二者互为相反数，先变形统一公因式$(x-y)$，提取公因式后剩余的部分符合平方差公式结构，继续用平方差公式分解即可。
2. 第(2)题：式子是两个整式平方的差的形式，直接套用平方差公式分解，分解后得到的两个多项式分别符合完全平方公式结构，整理符号后继续用完全平方公式分解，注意最终结果符号的处理。
3. 第(3)题：式子中多次出现整式$x^2-x$，可将其看作一个整体，展开后得到关于这个整体的二次三项式，用十字相乘法分解，再将代回后的两个二次三项式继续用十字相乘法分解，直到每一个因式都不能再分解为止。
【解析】
(1) 先将$y-x$变形为$-(x-y)$，再提取公因式，最后用平方差公式分解：
原式=$9a^2(x - y) - 4b^2(x - y)$
$=(x - y)(9a^2 - 4b^2)$
$=(x - y)(3a + 2b)(3a - 2b)$
(2) 先套用平方差公式，再用完全平方公式分解，注意符号整理：
原式=$(8xy)^2-(x^2+16y^2)^2$
$=(8xy + x^2 + 16y^2)(8xy - x^2 - 16y^2)$
$=(x^2+8xy+16y^2)·[-(x^2-8xy+16y^2)]$
$=-(x + 4y)^2(x - 4y)^2$
(3) 将$x^2-x$看作整体展开，再连续用十字相乘法分解：
原式=$(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12$
$=(x^2 - x - 2)(x^2 - x - 6)$
$=(x - 2)(x + 1)(x - 3)(x + 2)$
【答案】
(1) $(x - y)(3a + 2b)(3a - 2b)$
(2) $-(x + 4y)^2(x - 4y)^2$
(3) $(x - 2)(x + 1)(x - 3)(x + 2)$
【知识点】
提公因式法，公式法因式分解，十字相乘法因式分解
【点评】
本题考查因式分解的综合运用，解题时要严格按照“先提公因式、再套公式/十字相乘、最后检查分解是否彻底”的步骤进行，注意互为相反数的因式的变形、符号处理，合理运用整体思想可大幅简化计算过程，避免出错。
【难度系数】
0.6
6.若k为任意整数，且$99^3 -99$能被k整除，则k的值不可能是（
A.50
B.100
C.98
D.97
D
）.A.50
B.100
C.98
D.97
答案
6. D
解析
【分析】
若一个数能被k整除，则k是该数的因数，因此本题的核心是将$99^3-99$因式分解为多个整数乘积的形式，再逐一判断选项是否为其因数。解题时先观察到原式有公因式99，先提取公因式，再对剩余的平方差结构套用平方差公式继续分解，最终得到所有因式后匹配选项即可。
【解析】
对$99^3 - 99$进行因式分解：
1. 提取公因式99：
$99^3 - 99 = 99×(99^2 - 1)$
2. 利用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$分解$99^2-1$：
$99^2 - 1=(99-1)(99+1)=98×100$
因此原式可化简为：$99^3 - 99=99×98×100$
逐一分析选项：
A. $100÷50=2$，50是原式的因数，可整除；
B. 100是原式的直接因数，可整除；
C. 98是原式的直接因数，可整除；
D. 97不是99、98、100的因数，也无法由三者的因数相乘得到，不可整除。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解应用
【点评】
本题考查因式分解在整除问题中的应用，解题关键是熟练掌握因式分解的基本步骤，先提公因式再套用对应公式，将原式转化为整数乘积形式即可快速判断，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
若一个数能被k整除，则k是该数的因数，因此本题的核心是将$99^3-99$因式分解为多个整数乘积的形式，再逐一判断选项是否为其因数。解题时先观察到原式有公因式99，先提取公因式，再对剩余的平方差结构套用平方差公式继续分解，最终得到所有因式后匹配选项即可。
【解析】
对$99^3 - 99$进行因式分解：
1. 提取公因式99：
$99^3 - 99 = 99×(99^2 - 1)$
2. 利用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$分解$99^2-1$：
$99^2 - 1=(99-1)(99+1)=98×100$
因此原式可化简为：$99^3 - 99=99×98×100$
逐一分析选项：
A. $100÷50=2$，50是原式的因数，可整除；
B. 100是原式的直接因数，可整除；
C. 98是原式的直接因数，可整除；
D. 97不是99、98、100的因数，也无法由三者的因数相乘得到，不可整除。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解应用
【点评】
本题考查因式分解在整除问题中的应用，解题关键是熟练掌握因式分解的基本步骤，先提公因式再套用对应公式，将原式转化为整数乘积形式即可快速判断，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
7.已知$2m - n = 3$，那么$4m^2 - n^2 - 6n + 7$的值为
16
。答案
7. 16
解析
【分析】
已知条件给出$2m-n=3$，所求代数式中$4m^2-n^2$符合平方差公式的结构特征，因此先利用平方差公式对$4m^2-n^2$因式分解，再将已知的$2m-n=3$整体代入，逐步化简代数式，最终凑出含$2m-n$的形式后再次整体代入即可求出结果，无需单独求解$m$、$n$的值，可大幅简化计算。
【解析】
解：已知$2m - n = 3$，对所求代数式变形计算如下：
$\begin{aligned}&\phantom{=}4m^2 - n^2 - 6n + 7\\&=(2m - n)(2m + n) - 6n + 7 \quad \mathrm{（利用平方差公式因式分解）}\\&=3(2m + n) - 6n + 7 \quad \mathrm{（将$2m-n=3$整体代入）}\\&=6m + 3n - 6n + 7\\&=6m - 3n + 7\\&=3(2m - n) + 7 \quad \mathrm{（提取公因式，凑出$2m-n$结构）}\\&=3×3 + 7 \quad \mathrm{（再次整体代入$2m-n=3$）}\\&=9 + 7\\&=16\end{aligned}$
【答案】
16
【知识点】
平方差公式，整体代入求值，代数式化简
【点评】
本题是因式分解在代数式求值中的典型应用，解题核心是通过因式分解将所求代数式变形，结合整体代入思想简化计算，避开了求解单个未知数的复杂过程，是代数求值类的常见题型。
【难度系数】
0.7
已知条件给出$2m-n=3$，所求代数式中$4m^2-n^2$符合平方差公式的结构特征，因此先利用平方差公式对$4m^2-n^2$因式分解，再将已知的$2m-n=3$整体代入，逐步化简代数式，最终凑出含$2m-n$的形式后再次整体代入即可求出结果，无需单独求解$m$、$n$的值，可大幅简化计算。
【解析】
解：已知$2m - n = 3$，对所求代数式变形计算如下：
$\begin{aligned}&\phantom{=}4m^2 - n^2 - 6n + 7\\&=(2m - n)(2m + n) - 6n + 7 \quad \mathrm{（利用平方差公式因式分解）}\\&=3(2m + n) - 6n + 7 \quad \mathrm{（将$2m-n=3$整体代入）}\\&=6m + 3n - 6n + 7\\&=6m - 3n + 7\\&=3(2m - n) + 7 \quad \mathrm{（提取公因式，凑出$2m-n$结构）}\\&=3×3 + 7 \quad \mathrm{（再次整体代入$2m-n=3$）}\\&=9 + 7\\&=16\end{aligned}$
【答案】
16
【知识点】
平方差公式，整体代入求值，代数式化简
【点评】
本题是因式分解在代数式求值中的典型应用，解题核心是通过因式分解将所求代数式变形，结合整体代入思想简化计算，避开了求解单个未知数的复杂过程，是代数求值类的常见题型。
【难度系数】
0.7
8. 观察下列式子：
$2×4+1=9=3^2$；
$6×8+1=49=7^2$；
$14×16+1=225=15^2$；
……
你发现了什么结论？你能证明这个结论吗？
$2×4+1=9=3^2$；
$6×8+1=49=7^2$；
$14×16+1=225=15^2$；
……
你发现了什么结论？你能证明这个结论吗？
答案
解 结论为$(2^{n+1}-2) · 2^{n+1} + 1=(2^{n+1}-1)^2$（n 为正整数）。
证明如下：$(2^{n+1}-2) · 2^{n+1} + 1=(2^{n+1})^2 - 2 × 2^{n+1} + 1=(2^{n+1}-1)^2$。
证明如下：$(2^{n+1}-2) · 2^{n+1} + 1=(2^{n+1})^2 - 2 × 2^{n+1} + 1=(2^{n+1}-1)^2$。
解析
【分析】
首先观察给出的3个等式的结构，分别分析等式左右两边各数的规律：
1. 左边第一个乘数：第1个式子是$2=2^2-2$，第2个是$6=2^3-2$，第3个是$14=2^4-2$，可得第n个式子的第一个乘数为$2^{n+1}-2$（n为正整数）；
2. 左边第二个乘数：第1个是$4=2^2$，第2个是$8=2^3$，第3个是$16=2^4$，可得第n个式子的第二个乘数为$2^{n+1}$；
3. 等式右边的底数：第1个是$3=2^2-1$，第2个是$7=2^3-1$，第3个是$15=2^4-1$，可得右边为$(2^{n+1}-1)^2$。
归纳出一般结论后，利用整式乘法和完全平方公式对左边展开运算，验证和右边相等即可完成证明。
【解析】
我们先归纳得到结论：对于任意正整数n，都有$(2^{n+1}-2) · 2^{n+1} + 1=(2^{n+1}-1)^2$。
证明过程如下：
左边=$(2^{n+1}-2) · 2^{n+1} + 1$
$=(2^{n+1})^2 - 2 × 2^{n+1} + 1$（根据多项式乘单项式的运算法则展开）
对比完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，此处$a=2^{n+1}$，$b=1$，因此上式可变形为：
$=(2^{n+1}-1)^2$=右边
故结论成立。
【答案】
结论为$(2^{n+1}-2) · 2^{n+1} + 1=(2^{n+1}-1)^2$（n 为正整数）。
证明如下：$(2^{n+1}-2) · 2^{n+1} + 1=(2^{n+1})^2 - 2 × 2^{n+1} + 1=(2^{n+1}-1)^2$。
【知识点】
数字规律探究、整式乘法运算、完全平方公式
【点评】
本题是规律探究类的典型题型，既考查学生从特殊实例中归纳一般规律的观察、推理能力，又考查对整式运算公式的掌握程度，解题的关键是准确找到式子中各部分随序号变化的规律，再通过代数运算验证规律的普适性。
【难度系数】
0.6
首先观察给出的3个等式的结构，分别分析等式左右两边各数的规律：
1. 左边第一个乘数：第1个式子是$2=2^2-2$，第2个是$6=2^3-2$，第3个是$14=2^4-2$，可得第n个式子的第一个乘数为$2^{n+1}-2$（n为正整数）；
2. 左边第二个乘数：第1个是$4=2^2$，第2个是$8=2^3$，第3个是$16=2^4$，可得第n个式子的第二个乘数为$2^{n+1}$；
3. 等式右边的底数：第1个是$3=2^2-1$，第2个是$7=2^3-1$，第3个是$15=2^4-1$，可得右边为$(2^{n+1}-1)^2$。
归纳出一般结论后，利用整式乘法和完全平方公式对左边展开运算，验证和右边相等即可完成证明。
【解析】
我们先归纳得到结论：对于任意正整数n，都有$(2^{n+1}-2) · 2^{n+1} + 1=(2^{n+1}-1)^2$。
证明过程如下：
左边=$(2^{n+1}-2) · 2^{n+1} + 1$
$=(2^{n+1})^2 - 2 × 2^{n+1} + 1$（根据多项式乘单项式的运算法则展开）
对比完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，此处$a=2^{n+1}$，$b=1$，因此上式可变形为：
$=(2^{n+1}-1)^2$=右边
故结论成立。
【答案】
结论为$(2^{n+1}-2) · 2^{n+1} + 1=(2^{n+1}-1)^2$（n 为正整数）。
证明如下：$(2^{n+1}-2) · 2^{n+1} + 1=(2^{n+1})^2 - 2 × 2^{n+1} + 1=(2^{n+1}-1)^2$。
【知识点】
数字规律探究、整式乘法运算、完全平方公式
【点评】
本题是规律探究类的典型题型，既考查学生从特殊实例中归纳一般规律的观察、推理能力，又考查对整式运算公式的掌握程度，解题的关键是准确找到式子中各部分随序号变化的规律，再通过代数运算验证规律的普适性。
【难度系数】
0.6
