【学以致用3】下列所给的各组$p,q$中,$p是q$的充分条件的是____.(填序号)
①$p:x= 2,q:x^{2}-x-2= 0$;
②$p$:四边形的对角线相等,$q$:四边形是正方形.

① 对于①，当$x=2$时，$2^{2}-2-2=0$，故$p\Rightarrow q$，所以p是q的充分条件。对于②，对角线相等的四边形可以是等腰梯形，故$p\nRightarrow q$，所以p不是q的充分条件。
【反思总结】判断p是否是q的充分条件，只需判断$p\Rightarrow q$是否成立即可；判断p是否是q的必要条件，只需判断$q\Rightarrow p$是否成立即可。

【学以致用4】“$x\geqslant 1$”是“$x＞1$”的____条件.(填“充分”或“必要”)

必要 $\because$集合$\{ x|x＞1\} \subseteq \{ x|x≥1\}$，即$x＞1\Rightarrow x≥1$，$\therefore$“$x≥1$”是“$x＞1$”的必要条件。
【反思总结】若小集合推出大集合，则小集合是大集合的充分条件，大集合是小集合的必要条件。

【典例1】下列“若$p$,则$q$”形式的命题中,哪些命题中的$p是q$的充分条件? 哪些命题中的$p是q$的必要条件?
(1)$p$:数$a$能被6整除,$q$:数$a$能被3整除;
(2)$p:x＞1,q:x^{2}＞1$;
(3)$p:b^{2}= ac,q:\frac{a}{b}= \frac{b}{c}$.

解题指导 逐个判断$p\Rightarrow q和q\Rightarrow p$是否成立即可.
答案 解:(1)若数$a$能被6整除,则一定能被3整除,反之不一定成立,即$p\Rightarrow q,q\nRightarrow p$,所以$p是q$的充分条件,但$p不是q$的必要条件.
(2)解$x^{2}＞1$,得$x＞1或x＜-1$,所以$p\Rightarrow q,q\nRightarrow p$,所以$p是q$的充分条件,但$p不是q$的必要条件.
(3)当$b= 0,c= 0$时,$b^{2}= ac\nRightarrow \frac{a}{b}= \frac{b}{c}$;但$\frac{a}{b}= \frac{b}{c}\Rightarrow b^{2}= ac$,即$p\nRightarrow q,q\Rightarrow p$,所以$p不是q$的充分条件,但$p是q$的必要条件.
综上所述,$p是q$的充分条件的命题有(1)(2),$p是q$的必要条件的命题有(3).

【变式1】(一题多解)“$|x|＞1$”是“$-2＜x＜-1$”的 ()
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 充分条件和必要条件
D. 既不充分也不必要条件

B 方法1（统一化为$|x|$的范围）：当$-2\lt x＜-1$时，$1＜|x|＜2$。因为$|x|＞1\nRightarrow 1＜|x|＜2$，$1＜|x|＜2\Rightarrow |x|＞1$，所以“$|x|＞1$”是“$-2\lt x＜-1$”的必要条件。
方法2（统一化为x的范围）：解$|x|＞1$，得$x＞1$或$x＜-1$。如图，由数轴，知$\{ x|x＞1$或$x＜-1\} \supseteq \{ x|-2\lt x＜-1\}$，所以“$|x|＞1$”是“$-2\lt x＜-1$”的必要条件。
![img alt=变式1]
方法3（举反例）：由“$|x|＞1$”，取$x=2$，此时“$-2\lt x＜-1$”不成立，故充分性不成立，排除A，C；再根据方法1或2验证其必要性成立。