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基础知识·预习
问题1 结合二次函数 $y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 -1$ 的图象总结：
(1)抛物线 $y=a(x-h)^2 +k(a≠0)$ 的开口方向由哪个系数决定？它的对称轴在哪里？顶点坐标是什么？什么情况下取最值？
(2)y 随 x 的变化情况是怎样的？
问题2 二次函数 $y=a(x-h)^2 +k(a≠0)$ 的图象与 $y=ax^2$ 的图象有什么关系？
问题1 结合二次函数 $y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 -1$ 的图象总结：
(1)抛物线 $y=a(x-h)^2 +k(a≠0)$ 的开口方向由哪个系数决定？它的对称轴在哪里？顶点坐标是什么？什么情况下取最值？
(2)y 随 x 的变化情况是怎样的？
问题2 二次函数 $y=a(x-h)^2 +k(a≠0)$ 的图象与 $y=ax^2$ 的图象有什么关系？
答案
解：
问题1
(1) 抛物线$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的开口方向由系数$a$决定：
当$a＞0$时，抛物线开口向上；当$a＜0$时，抛物线开口向下。
它的对称轴是直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。
若$a＞0$，当$x=h$时，函数取得最小值$k$；若$a＜0$，当$x=h$时，函数取得最大值$k$。
结合本题函数$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2-1$，$a=-\frac{1}{2}＜0$，开口向下，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-1)$，当$x=-1$时，$y$取得最大值$-1$。
(2) 对于二次函数$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2-1$：
当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小。
问题2
二次函数$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的图象与$y=ax^2$的图象形状、开口方向完全相同，仅位置不同：
将$y=ax^2$的图象进行平移即可得到$y=a(x-h)^2+k$的图象：
当$h＞0$时，向右平移$h$个单位长度；当$h＜0$时，向左平移$|h|$个单位长度；
当$k＞0$时，向上平移$k$个单位长度；当$k＜0$时，向下平移$|k|$个单位长度。
问题1
(1) 抛物线$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的开口方向由系数$a$决定：
当$a＞0$时，抛物线开口向上；当$a＜0$时，抛物线开口向下。
它的对称轴是直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。
若$a＞0$，当$x=h$时，函数取得最小值$k$；若$a＜0$，当$x=h$时，函数取得最大值$k$。
结合本题函数$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2-1$，$a=-\frac{1}{2}＜0$，开口向下，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-1)$，当$x=-1$时，$y$取得最大值$-1$。
(2) 对于二次函数$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2-1$：
当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小。
问题2
二次函数$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的图象与$y=ax^2$的图象形状、开口方向完全相同，仅位置不同：
将$y=ax^2$的图象进行平移即可得到$y=a(x-h)^2+k$的图象：
当$h＞0$时，向右平移$h$个单位长度；当$h＜0$时，向左平移$|h|$个单位长度；
当$k＞0$时，向上平移$k$个单位长度；当$k＜0$时，向下平移$|k|$个单位长度。
解析
【分析】
本题围绕二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的基础性质展开，解题思路如下：
1. 解决问题1时，可先结合题目给出的具体函数$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 -1$，明确顶点式中各参数的作用：$a$决定开口方向，$h$对应对称轴位置，$k$对应顶点纵坐标，再结合开口方向推导最值规律和$y$随$x$的增减变化规律；
2. 解决问题2时，依据二次函数图象平移的“左加右减、上加下减”规则，对比两个解析式的差异，总结二者的平移关系。
【解析】
问题1
(1) 抛物线$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的开口方向由系数$a$决定：
当$a＞0$时，抛物线开口向上；当$a＜0$时，抛物线开口向下。
它的对称轴是直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。
若$a＞0$，当$x=h$时，函数取得最小值$k$；若$a＜0$，当$x=h$时，函数取得最大值$k$。
结合本题函数$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2-1$，$a=-\frac{1}{2}＜0$，开口向下，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-1)$，当$x=-1$时，$y$取得最大值$-1$。
(2) 对于二次函数$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2-1$：
当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小。
问题2
二次函数$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的图象与$y=ax^2$的图象形状、开口方向完全相同，仅位置不同：
将$y=ax^2$的图象进行平移即可得到$y=a(x-h)^2+k$的图象：
当$h＞0$时，向右平移$h$个单位长度；当$h＜0$时，向左平移$|h|$个单位长度；
当$k＞0$时，向上平移$k$个单位长度；当$k＜0$时，向下平移$|k|$个单位长度。
【答案】
问题1
(1) 开口方向由$a$决定：$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；对称轴是直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$；$a＞0$时$x=h$取最小值$k$，$a＜0$时$x=h$取最大值$k$；本题对应函数开口向下，对称轴为直线$x=-1$，顶点$(-1,-1)$，$x=-1$时$y$取最大值$-1$。
(2) $x＜-1$时$y$随$x$增大而增大，$x＞-1$时$y$随$x$增大而减小。
问题2
二者形状、开口方向完全相同，仅位置不同；将$y=ax^2$图象：$h＞0$右移$h$个单位，$h＜0$左移$|h|$个单位，$k＞0$上移$k$个单位，$k＜0$下移$|k|$个单位，即可得到$y=a(x-h)^2+k$的图象。
【知识点】
1. 顶点式二次函数的性质
2. 二次函数的增减性
3. 二次函数图象平移规律
【点评】
本题是二次函数顶点式的基础练习题，重点考查对顶点式各参数意义的理解，以及二次函数图象平移规律的掌握，是后续学习二次函数其他内容的核心基础，相关结论需熟练记忆。
【难度系数】
0.8
本题围绕二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的基础性质展开，解题思路如下：
1. 解决问题1时，可先结合题目给出的具体函数$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 -1$，明确顶点式中各参数的作用：$a$决定开口方向，$h$对应对称轴位置，$k$对应顶点纵坐标，再结合开口方向推导最值规律和$y$随$x$的增减变化规律；
2. 解决问题2时，依据二次函数图象平移的“左加右减、上加下减”规则，对比两个解析式的差异，总结二者的平移关系。
【解析】
问题1
(1) 抛物线$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的开口方向由系数$a$决定：
当$a＞0$时，抛物线开口向上；当$a＜0$时，抛物线开口向下。
它的对称轴是直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。
若$a＞0$，当$x=h$时，函数取得最小值$k$；若$a＜0$，当$x=h$时，函数取得最大值$k$。
结合本题函数$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2-1$，$a=-\frac{1}{2}＜0$，开口向下，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-1)$，当$x=-1$时，$y$取得最大值$-1$。
(2) 对于二次函数$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2-1$：
当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小。
问题2
二次函数$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的图象与$y=ax^2$的图象形状、开口方向完全相同，仅位置不同：
将$y=ax^2$的图象进行平移即可得到$y=a(x-h)^2+k$的图象：
当$h＞0$时，向右平移$h$个单位长度；当$h＜0$时，向左平移$|h|$个单位长度；
当$k＞0$时，向上平移$k$个单位长度；当$k＜0$时，向下平移$|k|$个单位长度。
【答案】
问题1
(1) 开口方向由$a$决定：$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；对称轴是直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$；$a＞0$时$x=h$取最小值$k$，$a＜0$时$x=h$取最大值$k$；本题对应函数开口向下，对称轴为直线$x=-1$，顶点$(-1,-1)$，$x=-1$时$y$取最大值$-1$。
(2) $x＜-1$时$y$随$x$增大而增大，$x＞-1$时$y$随$x$增大而减小。
问题2
二者形状、开口方向完全相同，仅位置不同；将$y=ax^2$图象：$h＞0$右移$h$个单位，$h＜0$左移$|h|$个单位，$k＞0$上移$k$个单位，$k＜0$下移$|k|$个单位，即可得到$y=a(x-h)^2+k$的图象。
【知识点】
1. 顶点式二次函数的性质
2. 二次函数的增减性
3. 二次函数图象平移规律
【点评】
本题是二次函数顶点式的基础练习题，重点考查对顶点式各参数意义的理解，以及二次函数图象平移规律的掌握，是后续学习二次函数其他内容的核心基础，相关结论需熟练记忆。
【难度系数】
0.8
【典型例题 1】画出二次函数 $y=(x-1)^2 -4$ 的图象.
(1)指出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴.
(2)当 $x$ 取哪些值时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小? 当 $x$ 取哪些值时, $y$ 随 $x$ 的增大而增大?
(3)写出该函数图象上的最高点或最低点的坐标及函数的最大值或最小值.
思路导引 首先根据二次函数的解析式确定二次函数图象的对称轴,然后利用图象的对称性选取 $x$ 值,从而列表、描点、连线,画出函数图象. 通过观察函数图象,可以得出它的性质,进而解决相关问题.
【解】列表、描点、连线,画出的函数图象如图所示.
(1)函数 $y=(x-1)^2 -4$ 的图象开口向上,顶点坐标为 $(1,-4)$,对称轴是直线 $x=1$.
(2)当 $x＜1$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小;
当 $x＞1$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而增大.
(3)函数 $y=(x-1)^2 -4$ 图象上的最低点(即顶点)的坐标是 $(1,-4)$,函数有最小值,当 $x=1$ 时,最小值为 $-4$.
(1)指出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴.
(2)当 $x$ 取哪些值时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小? 当 $x$ 取哪些值时, $y$ 随 $x$ 的增大而增大?
(3)写出该函数图象上的最高点或最低点的坐标及函数的最大值或最小值.
思路导引 首先根据二次函数的解析式确定二次函数图象的对称轴,然后利用图象的对称性选取 $x$ 值,从而列表、描点、连线,画出函数图象. 通过观察函数图象,可以得出它的性质,进而解决相关问题.
【解】列表、描点、连线,画出的函数图象如图所示.
(1)函数 $y=(x-1)^2 -4$ 的图象开口向上,顶点坐标为 $(1,-4)$,对称轴是直线 $x=1$.
(2)当 $x＜1$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小;
当 $x＞1$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而增大.
(3)函数 $y=(x-1)^2 -4$ 图象上的最低点(即顶点)的坐标是 $(1,-4)$,函数有最小值,当 $x=1$ 时,最小值为 $-4$.
答案
解：
列表：
| $x$ | $\dots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=(x-1)^2-4$ | $\dots$ | $5$ | $0$ | $-3$ | $-4$ | $-3$ | $0$ | $5$ | $\dots$ |
在平面直角坐标系中描出表中对应点，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到二次函数$y=(x-1)^2-4$的图象。
(1) 函数图象开口向上，顶点坐标为$(1,-4)$，对称轴是直线$x=1$。
(2) 当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；
当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大。
(3) 该函数图象没有最高点，最低点坐标为$(1,-4)$；函数不存在最大值，有最小值，当$x=1$时，函数的最小值为$-4$。
列表：
| $x$ | $\dots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=(x-1)^2-4$ | $\dots$ | $5$ | $0$ | $-3$ | $-4$ | $-3$ | $0$ | $5$ | $\dots$ |
在平面直角坐标系中描出表中对应点，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到二次函数$y=(x-1)^2-4$的图象。
(1) 函数图象开口向上，顶点坐标为$(1,-4)$，对称轴是直线$x=1$。
(2) 当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；
当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大。
(3) 该函数图象没有最高点，最低点坐标为$(1,-4)$；函数不存在最大值，有最小值，当$x=1$时，函数的最小值为$-4$。
解析
【分析】
本题给出的是二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，解题时可直接结合顶点式的性质推导结论：首先观察二次项系数$a=1＞0$，可直接判断开口方向；再根据顶点式的结构特征，直接得到顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$。画图象时，利用抛物线的轴对称性，以对称轴为中心左右对称选取$x$的取值，计算对应$y$值后列表，再描点、用平滑曲线连线即可。后续增减性、最值问题可结合开口方向、对称轴推导：开口向上的抛物线，对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，右侧$y$随$x$增大而增大，顶点为图象最低点，对应函数的最小值。
【解析】
画图步骤：
1. 列表：以对称轴$x=1$为中心，左右对称选取$x$值，计算对应$y$值如下：
| $x$ | $\dots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=(x-1)^2-4$ | $\dots$ | $5$ | $0$ | $-3$ | $-4$ | $-3$ | $0$ | $5$ | $\dots$ |
2. 描点：在平面直角坐标系中描出表中所有对应点；
3. 连线：用平滑曲线顺次连接各点，即可得到二次函数$y=(x-1)^2-4$的图象。
问题解答：
(1) 二次项系数$a=1＞0$，因此函数图象开口向上；由顶点式结构得顶点坐标为$(1,-4)$，对称轴是直线$x=1$。
(2) 开口向上的抛物线，在对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，对称轴右侧$y$随$x$增大而增大，因此：当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大。
(3) 开口向上的抛物线只有最低点，没有最高点，最低点即顶点，坐标为$(1,-4)$，因此函数不存在最大值，有最小值，当$x=1$时，最小值为$-4$。
【答案】
列表：
| $x$ | $\dots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=(x-1)^2-4$ | $\dots$ | $5$ | $0$ | $-3$ | $-4$ | $-3$ | $0$ | $5$ | $\dots$ |
在平面直角坐标系中描出表中对应点，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到二次函数$y=(x-1)^2-4$的图象。
(1) 函数图象开口向上，顶点坐标为$(1,-4)$，对称轴是直线$x=1$。
(2) 当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；
当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大。
(3) 该函数图象没有最高点，最低点坐标为$(1,-4)$；函数不存在最大值，有最小值，当$x=1$时，函数的最小值为$-4$。
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数图象画法
3. 二次函数增减性与最值
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考察顶点式$y=a(x-h)^2+k$与图象性质的对应关系，熟练掌握开口方向、顶点、对称轴、增减性、最值和顶点式参数的对应规律即可快速解题，画图时利用抛物线的对称性能提升作图的效率和准确率。
【难度系数】
0.85
本题给出的是二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，解题时可直接结合顶点式的性质推导结论：首先观察二次项系数$a=1＞0$，可直接判断开口方向；再根据顶点式的结构特征，直接得到顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$。画图象时，利用抛物线的轴对称性，以对称轴为中心左右对称选取$x$的取值，计算对应$y$值后列表，再描点、用平滑曲线连线即可。后续增减性、最值问题可结合开口方向、对称轴推导：开口向上的抛物线，对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，右侧$y$随$x$增大而增大，顶点为图象最低点，对应函数的最小值。
【解析】
画图步骤：
1. 列表：以对称轴$x=1$为中心，左右对称选取$x$值，计算对应$y$值如下：
| $x$ | $\dots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=(x-1)^2-4$ | $\dots$ | $5$ | $0$ | $-3$ | $-4$ | $-3$ | $0$ | $5$ | $\dots$ |
2. 描点：在平面直角坐标系中描出表中所有对应点；
3. 连线：用平滑曲线顺次连接各点，即可得到二次函数$y=(x-1)^2-4$的图象。
问题解答：
(1) 二次项系数$a=1＞0$，因此函数图象开口向上；由顶点式结构得顶点坐标为$(1,-4)$，对称轴是直线$x=1$。
(2) 开口向上的抛物线，在对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，对称轴右侧$y$随$x$增大而增大，因此：当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大。
(3) 开口向上的抛物线只有最低点，没有最高点，最低点即顶点，坐标为$(1,-4)$，因此函数不存在最大值，有最小值，当$x=1$时，最小值为$-4$。
【答案】
列表：
| $x$ | $\dots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=(x-1)^2-4$ | $\dots$ | $5$ | $0$ | $-3$ | $-4$ | $-3$ | $0$ | $5$ | $\dots$ |
在平面直角坐标系中描出表中对应点，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到二次函数$y=(x-1)^2-4$的图象。
(1) 函数图象开口向上，顶点坐标为$(1,-4)$，对称轴是直线$x=1$。
(2) 当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；
当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大。
(3) 该函数图象没有最高点，最低点坐标为$(1,-4)$；函数不存在最大值，有最小值，当$x=1$时，函数的最小值为$-4$。
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数图象画法
3. 二次函数增减性与最值
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考察顶点式$y=a(x-h)^2+k$与图象性质的对应关系，熟练掌握开口方向、顶点、对称轴、增减性、最值和顶点式参数的对应规律即可快速解题，画图时利用抛物线的对称性能提升作图的效率和准确率。
【难度系数】
0.85
