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基础知识·预习
问题1 画二次函数图象的基本步骤有哪些？
问题2 二次函数的图象形状像什么？它是轴对称图形吗？你能找到它的对称轴和顶点吗？
问题3 二次函数 $ y=ax^2(a≠0) $ 图象的开口方向、大小是由什么决定的？
问题4 通过观察二次函数 $ y=ax^2(a≠0) $ 的图象，你能总结 $ y $ 随 $ x $ 的变化情况吗？
问题1 画二次函数图象的基本步骤有哪些？
问题2 二次函数的图象形状像什么？它是轴对称图形吗？你能找到它的对称轴和顶点吗？
问题3 二次函数 $ y=ax^2(a≠0) $ 图象的开口方向、大小是由什么决定的？
问题4 通过观察二次函数 $ y=ax^2(a≠0) $ 的图象，你能总结 $ y $ 随 $ x $ 的变化情况吗？
答案
解：
问题1
画二次函数图象的基本步骤为：
① 列表：在自变量$x$的允许取值范围内选取若干个值，计算对应的函数值$y$，列出对应值表格；
② 描点：以表格中$x$的取值为横坐标，对应的$y$值为纵坐标，在平面直角坐标系内描出对应的点；
③ 连线：用平滑的曲线，按照横坐标由小到大的顺序将描出的所有点依次连接起来。
问题2
二次函数的图象形状是抛物线，它是轴对称图形；
对于二次函数$y=ax^2(a≠0)$，它的对称轴是$y$轴（即直线$x=0$），顶点是坐标原点$(0,0)$。
问题3
二次函数$y=ax^2(a≠0)$图象的开口方向、大小都由系数$a$决定：
$a$的正负决定开口方向：当$a＞0$时抛物线开口向上，当$a＜0$时抛物线开口向下；
$|a|$的大小决定开口的大小：$|a|$越大，抛物线的开口越小，$|a|$越小，抛物线的开口越大。
问题4
分两种情况总结$y$随$x$的变化规律：
1. 当$a＞0$时：
在对称轴左侧，也就是$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；
在对称轴右侧，也就是$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，$x=0$时函数取得最小值$0$。
2. 当$a＜0$时：
在对称轴左侧，也就是$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；
在对称轴右侧，也就是$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，$x=0$时函数取得最大值$0$。
问题1
画二次函数图象的基本步骤为：
① 列表：在自变量$x$的允许取值范围内选取若干个值，计算对应的函数值$y$，列出对应值表格；
② 描点：以表格中$x$的取值为横坐标，对应的$y$值为纵坐标，在平面直角坐标系内描出对应的点；
③ 连线：用平滑的曲线，按照横坐标由小到大的顺序将描出的所有点依次连接起来。
问题2
二次函数的图象形状是抛物线，它是轴对称图形；
对于二次函数$y=ax^2(a≠0)$，它的对称轴是$y$轴（即直线$x=0$），顶点是坐标原点$(0,0)$。
问题3
二次函数$y=ax^2(a≠0)$图象的开口方向、大小都由系数$a$决定：
$a$的正负决定开口方向：当$a＞0$时抛物线开口向上，当$a＜0$时抛物线开口向下；
$|a|$的大小决定开口的大小：$|a|$越大，抛物线的开口越小，$|a|$越小，抛物线的开口越大。
问题4
分两种情况总结$y$随$x$的变化规律：
1. 当$a＞0$时：
在对称轴左侧，也就是$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；
在对称轴右侧，也就是$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，$x=0$时函数取得最小值$0$。
2. 当$a＜0$时：
在对称轴左侧，也就是$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；
在对称轴右侧，也就是$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，$x=0$时函数取得最大值$0$。
解析
【分析】
这是一组二次函数入门的基础问题，思考逻辑如下：
1. 问题1可迁移此前学习的一次函数、反比例函数的画图通用步骤，二次函数图象绘制同样遵循“列表-描点-连线”的步骤，注意连线需用平滑曲线；
2. 问题2可通过观察绘制好的二次函数图象直观判断：图象形状为抛物线，沿y轴对折后两侧完全重合，因此是轴对称图形，对称轴为y轴，图象的最高/最低点为原点即顶点；
3. 问题3可通过对比不同a值下的图象差异总结规律：a的正负决定开口朝向，|a|的大小决定开口宽窄；
4. 问题4需分a＞0和a＜0两种情况，分别观察对称轴左右两侧y随x的变化趋势，即可总结出增减性和最值规律。
【解析】
我们按问题逐一解答：
1. 解答问题1：沿用函数图象绘制的通用步骤，结合二次函数的特征调整细节，得到二次函数画图的三个步骤；
2. 解答问题2：通过直观观察二次函数图象的形状，结合轴对称图形的定义判断对称性，再通过对称点坐标推导对称轴和顶点坐标；
3. 解答问题3：控制变量对比不同a取值时的图象差异，分别归纳a的正负、|a|的大小对图象的影响；
4. 解答问题4：分a＞0、a＜0两类情况，分别统计对称轴左右两侧x增大时y的变化规律，同时确定顶点处的最值。
【答案】
问题1
画二次函数图象的基本步骤为：
① 列表：在自变量$x$的允许取值范围内选取若干个值，计算对应的函数值$y$，列出对应值表格；
② 描点：以表格中$x$的取值为横坐标，对应的$y$值为纵坐标，在平面直角坐标系内描出对应的点；
③ 连线：用平滑的曲线，按照横坐标由小到大的顺序将描出的所有点依次连接起来。
问题2
二次函数的图象形状是抛物线，它是轴对称图形；
对于二次函数$y=ax^2(a≠0)$，它的对称轴是$y$轴（即直线$x=0$），顶点是坐标原点$(0,0)$。
问题3
二次函数$y=ax^2(a≠0)$图象的开口方向、大小都由系数$a$决定：
$a$的正负决定开口方向：当$a＞0$时抛物线开口向上，当$a＜0$时抛物线开口向下；
$|a|$的大小决定开口的大小：$|a|$越大，抛物线的开口越小，$|a|$越小，抛物线的开口越大。
问题4
分两种情况总结$y$随$x$的变化规律：
1. 当$a＞0$时：
在对称轴左侧，也就是$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；
在对称轴右侧，也就是$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，$x=0$时函数取得最小值$0$。
2. 当$a＜0$时：
在对称轴左侧，也就是$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；
在对称轴右侧，也就是$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，$x=0$时函数取得最大值$0$。
【知识点】
1. 二次函数图象绘制
2. 二次函数y=ax²的图象特征
3. 二次函数y=ax²的性质
【点评】
本组题目属于二次函数的基础认知题，重点考察对二次函数$y=ax^2$相关基础概念、图象和性质的理解与识记，是后续学习更复杂二次函数的核心基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
这是一组二次函数入门的基础问题，思考逻辑如下：
1. 问题1可迁移此前学习的一次函数、反比例函数的画图通用步骤，二次函数图象绘制同样遵循“列表-描点-连线”的步骤，注意连线需用平滑曲线；
2. 问题2可通过观察绘制好的二次函数图象直观判断：图象形状为抛物线，沿y轴对折后两侧完全重合，因此是轴对称图形，对称轴为y轴，图象的最高/最低点为原点即顶点；
3. 问题3可通过对比不同a值下的图象差异总结规律：a的正负决定开口朝向，|a|的大小决定开口宽窄；
4. 问题4需分a＞0和a＜0两种情况，分别观察对称轴左右两侧y随x的变化趋势，即可总结出增减性和最值规律。
【解析】
我们按问题逐一解答：
1. 解答问题1：沿用函数图象绘制的通用步骤，结合二次函数的特征调整细节，得到二次函数画图的三个步骤；
2. 解答问题2：通过直观观察二次函数图象的形状，结合轴对称图形的定义判断对称性，再通过对称点坐标推导对称轴和顶点坐标；
3. 解答问题3：控制变量对比不同a取值时的图象差异，分别归纳a的正负、|a|的大小对图象的影响；
4. 解答问题4：分a＞0、a＜0两类情况，分别统计对称轴左右两侧x增大时y的变化规律，同时确定顶点处的最值。
【答案】
问题1
画二次函数图象的基本步骤为：
① 列表：在自变量$x$的允许取值范围内选取若干个值，计算对应的函数值$y$，列出对应值表格；
② 描点：以表格中$x$的取值为横坐标，对应的$y$值为纵坐标，在平面直角坐标系内描出对应的点；
③ 连线：用平滑的曲线，按照横坐标由小到大的顺序将描出的所有点依次连接起来。
问题2
二次函数的图象形状是抛物线，它是轴对称图形；
对于二次函数$y=ax^2(a≠0)$，它的对称轴是$y$轴（即直线$x=0$），顶点是坐标原点$(0,0)$。
问题3
二次函数$y=ax^2(a≠0)$图象的开口方向、大小都由系数$a$决定：
$a$的正负决定开口方向：当$a＞0$时抛物线开口向上，当$a＜0$时抛物线开口向下；
$|a|$的大小决定开口的大小：$|a|$越大，抛物线的开口越小，$|a|$越小，抛物线的开口越大。
问题4
分两种情况总结$y$随$x$的变化规律：
1. 当$a＞0$时：
在对称轴左侧，也就是$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；
在对称轴右侧，也就是$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，$x=0$时函数取得最小值$0$。
2. 当$a＜0$时：
在对称轴左侧，也就是$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；
在对称轴右侧，也就是$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，$x=0$时函数取得最大值$0$。
【知识点】
1. 二次函数图象绘制
2. 二次函数y=ax²的图象特征
3. 二次函数y=ax²的性质
【点评】
本组题目属于二次函数的基础认知题，重点考察对二次函数$y=ax^2$相关基础概念、图象和性质的理解与识记，是后续学习更复杂二次函数的核心基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
【典型例题1】在同一平面直角坐标系中画出函数$y=-\dfrac{1}{3}x^2$和$y=3x^2$的图象.
思路导引 在这两个二次函数中，当$x=0$时，$y$的值都等于0，所以在列表取$x$的值时应在$y$轴的左、右两侧对称取值，先列表，再描点、连线.
【解】列表如下：
描点、连线，画图如下：
规律方法 1. 画二次函数图象的基本步骤：列表、描点、连线(平滑曲线).
2. 在列表取值时，一般取5～10组数据为点的坐标，描的点越多，图象就越精确.
【即学即练】
思路导引 在这两个二次函数中，当$x=0$时，$y$的值都等于0，所以在列表取$x$的值时应在$y$轴的左、右两侧对称取值，先列表，再描点、连线.
【解】列表如下：
描点、连线，画图如下：
规律方法 1. 画二次函数图象的基本步骤：列表、描点、连线(平滑曲线).
2. 在列表取值时，一般取5～10组数据为点的坐标，描的点越多，图象就越精确.
【即学即练】
答案
解：列表如下：
描点、连线，画图如下：
规律方法 1. 画二次函数图象的基本步骤：列表、描点、连线(平滑曲线).
2. 在列表取值时，一般取5～10组数据为点的坐标，描的点越多，图象就越精确.
解析
【分析】
要绘制两个二次函数的图象，我们遵循描点法画函数图象的通用步骤：首先观察两个函数均为$y=ax^2$的形式，对称轴是y轴，因此列表时在$x=0$的左右两侧对称取值，能简化计算也符合函数的对称性；接着将取好的x值分别代入两个函数解析式，算出对应的y值完成列表；之后在平面直角坐标系中对应位置描出所有的点；最后用平滑的曲线按照x从小到大的顺序把点依次连接，就能得到正确的函数图象。
【解析】
1. 列表：根据$y=ax^2$关于y轴对称的性质，在y轴左右两侧对称选取x的值，分别代入$y=-\dfrac{1}{3}x^2$和$y=3x^2$计算对应的y值，得到两组坐标。
2. 描点：将列表中得到的每一组$(x,y)$作为坐标，在平面直角坐标系中标记出对应的点。
3. 连线：使用平滑的曲线，按照x从左到右（从小到大）的顺序，将同个函数的所有描出的点依次连接，最终得到两个二次函数的图象。
【答案】
解：列表如下：
描点、连线，画图如下：
规律方法 1. 画二次函数图象的基本步骤：列表、描点、连线(平滑曲线).
2. 在列表取值时，一般取5～10组数据为点的坐标，描的点越多，图象就越精确.
【知识点】
1. 描点法作图 2. 二次函数图象
【点评】
本题是二次函数图象绘制的基础题型，重点考查描点法画函数图象的步骤掌握情况，解题时要注意列表时自变量对称取值的技巧，连线时必须使用平滑曲线，掌握该内容是后续学习复杂二次函数图象的基础。
【难度系数】
0.9
要绘制两个二次函数的图象，我们遵循描点法画函数图象的通用步骤：首先观察两个函数均为$y=ax^2$的形式，对称轴是y轴，因此列表时在$x=0$的左右两侧对称取值，能简化计算也符合函数的对称性；接着将取好的x值分别代入两个函数解析式，算出对应的y值完成列表；之后在平面直角坐标系中对应位置描出所有的点；最后用平滑的曲线按照x从小到大的顺序把点依次连接，就能得到正确的函数图象。
【解析】
1. 列表：根据$y=ax^2$关于y轴对称的性质，在y轴左右两侧对称选取x的值，分别代入$y=-\dfrac{1}{3}x^2$和$y=3x^2$计算对应的y值，得到两组坐标。
2. 描点：将列表中得到的每一组$(x,y)$作为坐标，在平面直角坐标系中标记出对应的点。
3. 连线：使用平滑的曲线，按照x从左到右（从小到大）的顺序，将同个函数的所有描出的点依次连接，最终得到两个二次函数的图象。
【答案】
解：列表如下：
描点、连线，画图如下：
规律方法 1. 画二次函数图象的基本步骤：列表、描点、连线(平滑曲线).
2. 在列表取值时，一般取5～10组数据为点的坐标，描的点越多，图象就越精确.
【知识点】
1. 描点法作图 2. 二次函数图象
【点评】
本题是二次函数图象绘制的基础题型，重点考查描点法画函数图象的步骤掌握情况，解题时要注意列表时自变量对称取值的技巧，连线时必须使用平滑曲线，掌握该内容是后续学习复杂二次函数图象的基础。
【难度系数】
0.9
