优化问题
求的问题常常被称为优化问题.

最大(小)值

典例【项目主题】监控器如何布设才最优.
【项目背景】监控器有效监测距离为500 m,最大旋转角度为 90°;村落、河流如图1(示意图)所示,河流南岸长5 000 m;监控布设线l距离河流南岸 300 m,l上任意两个监控(M₁,M₂,…)之间的距离相等.
【项目方案】
(1)方案1:如图1(示意图),从河流南岸边缘点A处起,使AM₁=500 m,BM₁⊥AB,即AB为监控器M₁的监测范围;以此类推,继续设置监控器,至少需要布设多少个监控器?

(2)方案2:如图2(示意图),AB为监控器M₁的监测范围,BC为监控器M₂的监测范围.AM₁⊥BM₁,BM₂⊥CM₂,此时BM₁=CM₂=375 m,至少需要布设多少个监控器?

(3)【项目总结】我认为方案是最优方案.
举一反三【提出问题】有两个相同的长方体纸盒,它们的长、宽、高分别是16 cm,6 cm,2 cm,现要用这两个纸盒搭成一个大长方体,怎样搭可使长方体的表面积最小?
【实践操作】我们发现,无论怎样放置这两个长方体纸盒,搭成的大长方体的体积都不变,但是由于摆放位置的不同,它们的表面积会发生变化,经过操作,发现共有3种不同的摆放方式,如图1、图2、图3所示.


典例解析

(1) 在 $Rt △ ABM_1$ 中，$BM_1 = 300\ \mathrm{m}, AM_1=500\ \mathrm{m},$
$\therefore AB=\sqrt{AM_1^2 - BM_1^2}=\sqrt{500^2 - 300^2}=400(\mathrm{m}).$
$\frac{5000}{400}\approx13(\mathrm{个})$，故至少需要布设13个监控器.
(2) 过点 $M_1$ 作 $M_1N⊥ AB$ 于点 $N$，依题意可知，$M_1N=300\ \mathrm{m}.$
在 $Rt △ M_1NB$ 中，$BM_1=375\ \mathrm{m},$
$\therefore BN=\sqrt{M_1B^2 - M_1N^2}=\sqrt{375^2 - 300^2}=225(\mathrm{m}).$
设$AN = x\ \mathrm{m}$，则$AB = AN + BN = (225 + x)\ \mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ AM_1N$中，$AM_1^2 = AN^2 + M_1N^2 = x^2 + 300^2$，在$\mathrm{Rt}△ ABM_1$中，$AM_1^2 = AB^2 - BM_1^2 = (225 + x)^2 - 375^2$，$\therefore x^2 + 300^2 = (225 + x)^2 - 375^2$，解得$x = 400$，$\therefore AN = 400\ \mathrm{m}.$
在$\mathrm{Rt}△ AM_1N$中，$AM_1 = \sqrt{AN^2 + NM_1^2} = 500(\mathrm{m}).$
$\because$监控器有效监测距离为$500\ \mathrm{m}$，$\therefore$符合题意，$\therefore AB = AN + NB = 400 + 225 = 625(\mathrm{m}).$
$\dfrac{5000}{625} = 8(\mathrm{个})$，故至少需要布设8个监控器.
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