训练 6. (2025 商丘模拟)综合与实践课上,老师让同学们用“木工尺”探究三等分任意角∠MON 的方法. 图 1 为“木工尺”示意图,它是由两条宽度相同且互相垂直的直尺组成的,其中∠CAB = ∠DAB = 90°,下面是同学们的探究过程,请仔细阅读,并完成相应的任务.
【操作实践】如图 2,小明画 OM 的平行线 l₁,使得 l₁ 与 OM 的距离等于尺宽 AD,在 AC 上取点 E,使 AE 等于尺宽 AD,调整“木工尺”的位置,使得 AB 经过点 O,点 D 落在 l₁ 上,点 E 落在 ON 上,则 OA,OD 三等分∠MON.
理由:过点 D 作 DF⊥OM,垂足为 F. 由题意,得 DF = AD,DA⊥OA,
∴ ∠AOD = ∠FOD( ).
∵ AE = AD,OA⊥DE,∴ OA 垂直平分 DE. ∴ OE = OD.
∴ OA 平分∠EOD( ). ∴ ∠EOA = ∠AOD.
∴ ∠EOA = ∠AOD = ∠FOD. ∴ OA,OD 三等分∠MON.
任务:(1)请在括号内填写推理的依据.
【类比迁移】爱动脑筋的小华受到上述方法的启发,想到了通过折叠矩形纸片三等分一个已知角的方法,他的前两个操作步骤如下(如图 3):
步骤 1:在矩形纸片 ABCD 上折出任意角∠CBE. 将矩形 ABCD 对折,折痕记为 MN,再将矩形 BCNM 对折,折痕记为 PQ,展开矩形;
步骤 2:将矩形 ABCD 沿着 FG 折叠,使得点 B 的对应点 B'落在 PQ 上,点 M 的对应点 M'落在 BE 上.
任务:(2)连接 BB',试证明 BB'是∠EBC 的一条三等分线.
【拓展应用】(3)在上述小华折叠的条件下,若∠BM'B' = 75°,AB = 4,且 G,B',D 三点共线,请直接写出 BC 的长.

(1) 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上；等腰三角形三线合一；(2) 见解析；(3) 2√3

(1) 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上；等腰三角形三线合一。
(2) 连接BB'，由折叠性质知FG垂直平分BB'，则BB'=2B'O。两次对折后，B'到BC距离为AB/4，到AB距离为BC/2。设∠CBB'=α，tanα=(AB/4)/(BC/2)=AB/(2BC)。由M'在BE上及折叠对称，可证∠EBB'=2α，故∠EBC=3α，BB'是∠EBC的三等分线。
(3) 由∠BM'B'=75°，AB=4，G、B'、D共线，得B'(c/2,1)，G(c/3,0)。FG斜率为-6/c，BB'斜率为2/c，由垂直得-6/c=-c/2，解得c=2√3。