1.「2026辽宁朝阳建平期末」如图，在矩形ABCD中，已知$AE ⊥ BD$于E，$∠ BDC = 60°$，$BE = 1$，则AD的长为（）


A.$3\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$2$
D.$\sqrt{3}$

∵ 四边形ABCD是矩形，∠BDC=60°,
∴ AB//CD，∠BAD=90°,
∴ ∠ABD=∠BDC=60°,
∵ AE⊥BD,BE=1,
∴ ∠AEB = 90°,
∴ ∠BAE = ∠ADB = 90°−∠ABD = 30°,
∴ AB = 2BE = 2,
∴ BD = 2AB = 4,
∴ AD = √(BD²−AB²)=√(4²−2²)=2√3,故选B.

【分析】
解题时首先从矩形的性质入手，矩形对边平行且四个角均为直角，结合已知∠BDC=60°，利用平行线内错角相等可推出∠ABD的度数；再根据AE⊥BD得到直角三角形ABE，结合30°角所对直角边是斜边一半的性质，由BE=1求出AB的长度；接着在直角三角形BAD中，再次利用30°角直角三角形的性质得到BD的长度，最后通过勾股定理即可计算出AD的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，∠BDC=60°,
∴ AB//CD，∠BAD=90°,
∴ ∠ABD=∠BDC=60°,
∵ AE⊥BD，BE=1,
∴ ∠AEB = 90°,
∴ ∠BAE = ∠ADB = 90°−∠ABD = 30°,
∴ AB = 2BE = 2,
∴ BD = 2AB = 4,
∴ AD = √(BD²−AB²)=√(4²−2²)=2√3,
故选B.
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于几何基础计算题，核心是通过矩形性质得到角的等量关系，结合特殊直角三角形的边长规律逐步推导边长，解题思路清晰，是矩形性质相关的常见考法。
【难度系数】
0.7

2.如图,有一个矩形的运动场ABCD,BC的长为40 m,AB的长为20 m,有一个球落到了点C处,小明要从点A走到点C去捡球,至少要走 m.

答案 $20\sqrt{5}$
解析 连接AC,如图，
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ ∠B=90°,
∴ $AC=\sqrt{BC^2+AB^2}=\sqrt{40^2+20^2}=20\sqrt{5}\ (\mathrm{m})$,
即至少要走 $20\sqrt{5}\ \mathrm{m}$.

【分析】
要计算从点A走到点C的最短距离，首先根据“两点之间线段最短”，可知最短路径为线段AC的长度。已知四边形ABCD是矩形，矩形的内角为直角，因此△ABC是直角三角形，且已知两条直角边AB、BC的长度，利用勾股定理即可求出斜边AC的长度。
【解析】
连接AC，如图
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B=90°，
在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：
$AC=\sqrt{BC^2+AB^2}=\sqrt{40^2+20^2}=\sqrt{1600+400}=\sqrt{2000}=20\sqrt{5}\ (\mathrm{m})$
即小明从点A走到点C至少要走$20\sqrt{5}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$20\sqrt{5}$
【知识点】
矩形的性质、勾股定理、最短路径判定
【点评】
本题是基础几何应用题，解题核心是先通过线段最短的性质确定最短路径，再结合矩形的直角特征用勾股定理计算，侧重考查基础几何知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.8

3.「2026 吉林省吉林市二十九中期中」如图,在矩形ABCD中,点E,F在边BC上,连接AE,DF,∠BAE=∠CDF.
(1)求证:△ABE≌△DCF.
(2)当AB=12,DF=13时,求BE的长.

解析 (1)证明:在矩形 ABCD 中,AB = CD,∠B = ∠C=90°,
在$△ ABE$ 和$△ DCF$ 中,
$\begin{cases}∠ BAE=∠ CDF,\\AB=DC,\\∠ B=∠ C,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ DCF(\mathrm{ASA}).$
(2)由(1)知$△ ABE≌△ DCF$,
$\therefore AE=DF=13$,
$\because AB=12,\therefore BE=\sqrt{AE^2-AB^2}=5.$

【分析】
(1)要证明△ABE≌△DCF，首先结合矩形性质可得对边相等、四个角为直角，即能得到AB=DC，∠B=∠C=90°，再结合题目给出的∠BAE=∠CDF，刚好符合ASA全等判定的条件，即可完成证明。
(2)求BE的长度时，先利用全等三角形对应边相等的性质，得到AE与DF长度相等，再观察△ABE是直角三角形，已知AB和AE的长度，运用勾股定理即可计算出BE的长度。
【解析】
(1)证明：在矩形ABCD中，AB = CD，∠B = ∠C=90°，
在$△ ABE$ 和$△ DCF$ 中，
$\begin{cases}∠ BAE=∠ CDF,\\AB=DC,\\∠ B=∠ C,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ DCF(\mathrm{ASA}).$
(2)由(1)知$△ ABE≌△ DCF$，
$\therefore AE=DF=13$，
$\because$在$Rt△ ABE$中，$AB=12$，
$\therefore BE=\sqrt{AE^2-AB^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5.$
【答案】
(1)△ABE≌△DCF得证；
(2)BE的长为5。
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是基础几何综合题，核心考查基础几何定理的应用，解题时需先从矩形特性中提取全等证明需要的边角条件，再通过全等转化线段长度，结合勾股定理完成计算，对逻辑推理能力和基础计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.8

4.「2026辽宁锦州期末」如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OB=4，则AC的长为（）


A.4
B.8
C.$4\sqrt{5}$
D.$8\sqrt{5}$

∵ 四边形ABCD是矩形,OB=4,
∴ AC=BD=2OB=2×4=8,故选 B.

【分析】
解题时先从题干的“矩形ABCD”入手，回忆矩形的性质：矩形的两条对角线相等，且对角线互相平分。由此可知对角线AC与BD长度相等，交点O是两条对角线的中点，因此OB是BD的一半，也就是AC的一半，已知OB=4，将OB的长度乘2即可得到AC的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴矩形的对角线相等且互相平分，即AC=BD，BD=2OB，
又
∵OB=4，
∴AC=BD=2×4=8，
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查矩形对角线的相关性质，解题的关键是牢记矩形对角线相等且互相平分的特点，代入数据即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9

5.「2025黑龙江绥化中考」一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为$60°$，则这个矩形的面积是（）

A.25
B.$25\sqrt{3}$
C.$25\sqrt{5}$
D.$50\sqrt{3}$

如图，
∵ 矩形对角线相等且互相平分,
∴ $OA=OB=10÷2=5$.
∵ 两条对角线的一个交角为 $60°$,即 $∠ AOB = 60°$,
∴ $△ AOB$ 是等边三角形,
∴ $AB=5$.设 $AD$ 的长为 $a$,根据矩形性质得 $a^2+5^2=10^2=100$,解得 $a=5\sqrt{3}$(舍负).
∴ 矩形面积为 $5×5\sqrt{3}=25\sqrt{3}$.故选 B.

【分析】
解决本题需从矩形的性质入手思考：首先回忆矩形对角线相等且互相平分的性质，可推出对角线交点分成的4条小线段长度都等于对角线长度的一半；结合已知的60°交角，可判定对应的三角形是等边三角形，进而得到矩形的短边长；再利用勾股定理求出矩形的长边长，最后代入矩形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
如图，
∵ 矩形的对角线相等且互相平分，
∴ $OA=OB=10÷2=5$，
∵ 两条对角线的一个交角为$60°$，即$∠ AOB=60°$，
∴ $△ AOB$是等边三角形，
∴ $AB=5$。
设$AD$的长为$a$，根据矩形的性质可知$△ ABD$为直角三角形，由勾股定理得：
$a^2+AB^2=BD^2$，代入数据得$a^2+5^2=10^2$，
解得$a=5\sqrt{3}$（边长为正数，舍去负根），
∴ 矩形的面积为$AB× AD=5×5\sqrt{3}=25\sqrt{3}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的判定；勾股定理
【点评】
本题是矩形性质应用的基础常考题，解题的关键是利用矩形对角线的性质结合60°夹角推导出等边三角形，得到矩形短边的长度，再结合勾股定理求出长边即可计算面积，考察的是基础知识点的综合应用，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7

6.「2026陕西西安六中期中」如图,在矩形OABC中,点B的坐标是(1,3),则AC的长是.

答案 $\sqrt{10}$
解析 如图,连接 $OB$,过 $B$ 作 $BM⊥ x$ 轴于 $M$,
∵ 点 $B$ 的坐标是 $(1,3),\therefore OM=1,BM=3$,由勾股定理得 $OB=\sqrt{OM^2+BM^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$,
∵ 四边形 $OABC$ 是矩形,
∴ $AC=OB=\sqrt{10}$.

【分析】
要求矩形中AC的长，首先回忆矩形的性质：矩形的对角线相等，因此AC与另一条对角线OB长度相等，可将求AC的问题转化为求OB的长度。已知点B的坐标为(1,3)，过B向x轴作垂线可得到直角三角形OMB，利用勾股定理求出OB的长度，即可得到AC的长。
【解析】
解：如图，连接$OB$，过$B$作$BM⊥x$轴于$M$，
∵点$B$的坐标是$(1,3)$，
∴$OM=1$，$BM=3$，
在$Rt△ OMB$中，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{OM^2+BM^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$，
∵四边形$OABC$是矩形，矩形的对角线相等，
∴$AC=OB=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，坐标与线段长度
【点评】
本题通过矩形对角线相等的性质将未知线段转化为易求的线段，结合平面直角坐标系中点的坐标的几何意义和勾股定理即可求解，巧用性质转化可简化计算。
【难度系数】
0.8

7.「2025四川德阳中考」如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，将$△ ABC$沿$CB$方向平移至$△ EGF$处，使$EF$恰好过边$AB$的中点$D$，连接$CD$，若$CD=1$，则$GE=$（）

A.3
B.2
C.1
D.$\frac{1}{2}$

在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°$,$D$ 是边 $AB$ 的中点，
∴ $CD$ 是 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 斜边上的中线,
∴ $AB=2CD$,
∵ $CD=1,\therefore AB=2$,由平移得 $GE=AB=2$,故选 B.

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先题目给出直角三角形ABC，D是斜边AB的中点且CD=1，先联想直角三角形斜边中线的性质，可先求出AB的长度；再结合平移的性质，平移前后图形的对应边相等，可知GE与AB是对应边，二者相等，即可求出GE的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$D$是边$AB$的中点，
∴ $CD$是$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边上的中线，根据直角三角形斜边中线的性质可得$AB=2CD$。
∵ $CD=1$，
∴ $AB=2×1=2$。
∵ $△ ABC$沿$CB$方向平移至$△ EGF$处，根据平移的性质，平移前后对应边相等，
∴ $GE=AB=2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；平移的性质
【点评】
本题属于基础题，结合直角三角形性质和平移的性质考查，熟练掌握相关基础性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

8.「2025陕西中考」如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=20°$，$CD$为$AB$边上的中线，$DE⊥ AC$，则图中与$∠ A$互余的角共有（）

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

∵ $∠ ACB=90°$,$CD$ 为 $AB$ 边上的中线,
∴ $CD=\frac{1}{2}AB,\therefore CD=AD=BD,\therefore ∠ B = ∠ BCD,\because AD = CD$,
$DE⊥ AC,\therefore ∠ ADE=∠ CDE,\because ∠ A+∠ ADE=90°,∠ A+∠ B=90°,\therefore$ 题图中与 $∠ A$ 互余的角共有 4 个.故选 C.

【分析】
首先明确互余的定义：两个角的和为90°则两角互余。解题思路如下：第一步，先从Rt△ABC的两锐角关系，找到第一个与∠A互余的角∠B；第二步，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到AD=CD=BD，推出△ADC、△BCD均为等腰三角形；第三步，结合DE⊥AC的条件，利用等腰三角形三线合一的性质得到∠ADE=∠CDE，同时由等腰△BCD得∠BCD=∠B，进而推导其余与∠A互余的角，最后统计总数即可。
【解析】
∵ 在△ABC中，∠ACB=90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°，即∠B与∠A互余。
∵ CD为AB边上的中线，
∴ CD = $\frac{1}{2}$AB = AD = BD，
∴ △BCD为等腰三角形，得∠BCD=∠B，故∠A + ∠BCD = 90°，∠BCD与∠A互余。
又
∵ AD=CD，DE⊥AC，
∴ 等腰△ADC中，DE平分∠ADC（等腰三角形三线合一），即∠ADE=∠CDE。
在Rt△ADE中，∠A + ∠ADE = 90°，故∠ADE、∠CDE均与∠A互余。
综上，与∠A互余的角有∠B、∠BCD、∠ADE、∠CDE，共4个。
【答案】
C
【知识点】
余角的定义，直角三角形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础题，将直角三角形、等腰三角形的性质与余角的概念结合考查，解题时要注意梳理图形中角的等量关系，避免漏算推导得出的互余角。
【难度系数】
0.7