学的数学学习笔记,请仔细阅读并完成相应的任务.
六等分圆原理,也称为圆周六等分问题,是一个古老而经典的几何问题,旨在解决使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题.这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述.
例:如图,在平面直角坐标系中,点 C 与原点 O 重合,点 D 在 x 轴的正半轴上且坐标为(2,0).
操作步骤:
①分别以点 C,D 为圆心,CD 的长为半径作弧,两弧(x 轴上方部分)交于点 P;
②以点 P 为圆心,PC 的长为半径作圆;
③以 CD 的长为半径,在$\odot P$上顺次截取$DE=EF=FA=AB$;
④顺次连接 DE,EF,FA,AB,BC,得到正六边形 ABCDEF.
任务:
(1)根据材料,请你用无刻度的直尺和圆规,在图中完成作图过程(保留作图痕迹,不写作法);
(2)将正六边形 ABCDEF 绕点 D 顺时针旋转$60°$,求此时点 A 所在位置的坐标.

(1)如图①,正六边形 ABCDEF 即为所求.
(2)设正六边形 ABCDEF 绕点 D 顺时针旋转 60°后点 A 对应的点为 A',其位置如图②所示,连接 OP,AD,A'A,A'D,过A'作AG⊥x轴,垂足为G.由作图可知OP=PD=OD=2,则△OPD 为等边三角形,AD=2PD=2×2=4,
∴ ∠ADO=60°.
∵ ∠ADA'=60°, AD = A' D,
∴ △AA' D 为等边三角形,
∴ ∠AA'D=∠A'AD=∠ADO=60°,
∴ AA' // OD,AA' = AD = 4,
∴ ∠AA'G=90°,
∴ ∠DA'G=30°,则 DG = $\frac{1}{2}$A'D = 2, A' G = $\sqrt{A'D^2-DG^2}=2\sqrt{3}$, OG = OD + DG = 4,
∴ 正六边形 ABCDEF 绕点 D 顺时针旋转 60°,此时点 A 的坐标为$(4,2\sqrt{3})$.

2. 某课题学习小组在探讨一团周长为4a的线圈时,发现了如下两个命题:
命题1:如图①,当线圈做成正三角形ABC时,能被半径为a的圆形纸片完全盖住.
命题2:如图②,当线圈做成正方形ABCD时,能被半径为a的圆形纸片完全盖住.
请你继续探究下列几个问题:
(1)如图③,当线圈做成正五边形ABCDE时,请说明它能被半径为a的圆形纸片完全盖住.
(2)如图④,当线圈做成平行四边形ABCD时,能否被半径为a的圆形纸片完全盖住?请说明理由.
(3)如图⑤,当线圈做成任意形状的图形时,是否还能被半径为a的圆形纸片完全盖住?请说明理由.

(1)如图①,设正五边形 ABCDE 的外接圆圆心为 O,
∵ 五边形 ABCDE 是正五边形,
∴ ∠AOB=72°, ∠OAB = ∠OBA = 54°,
∴ ∠OBA＜∠AOB,
∴ OA＜AB = $\frac{4}{5}a ＜ a$. 同理,OB = OC = OD = OE ＜ a.
∴ 正五边形 ABCDE 能被以点 O 为圆心,半径为 a 的圆形纸片完全盖住.
(2)能被半径为 a 的圆形纸片完全盖住.理由如下:连接 AC,BD 交于点 O,
∵ OB+OD＜AB+AD=2a,
∴ OB=OD＜a. 同理,OA=OC＜a,
∴ 平行四边形 ABCD 能被以点 O 为圆心,半径为 a 的圆形纸片完全盖住.
(3)能被半径为 a 的圆形纸片完全盖住.理由如下:如图②,取曲线上两点 A,B,使曲线分成相等的两部分,连接 AB,在其中一部分上任取一点 C,连接 AC,BC,CO(O 为 AB 的中点),则有 OC ＜ $\frac{1}{2}(AC+BC) ＜ a$,
∴ 当线圈做成任意形状的图形时,都可以被半径为 a 的圆形纸片完全盖住.