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11. 新考法 [2025扬州中考] 已知$m^{2025} + 2025m = 2025$，则一次函数$y=(1 - m)x + m$的图象不经过（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
11.D 由$m^{2025} + 2025m = 2025$,得$m^{2025} = 2025(1 - m)$.当$m ≤ 0$时,$m^{2025} ≤ 0$,$2025(1 - m) ＞ 0$,故等式不成立;当$m ≥ 1$时,$m^{2025} ＞ 0$,$2025(1 - m) ≤ 0$,故等式不成立. 综上,可知要想等式成立,则$0 ＜ m ＜ 1$,所以$1 - m ＞ 0$,所以一次函数$y = (1 - m)x + m$的图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限.
解析
【分析】
要判断一次函数图象不经过的象限，需先确定一次项系数$1-m$和常数项$m$的正负，因此核心是先根据已知等式推导$m$的取值范围。已知等式中含$m$的奇数次方（2025是奇数），奇数次方的符号与底数符号一致，因此可通过分情况讨论$m$的取值范围，对比等式左右两边的符号是否匹配，从而确定$m$的取值范围，再结合一次函数图象性质判断即可。
【解析】
已知$m^{2025} + 2025m = 2025$，移项变形得：$m^{2025}=2025(1 - m)$。
分情况讨论$m$的取值：
1. 当$m ≤ 0$时：
∵2025是奇数，
∴$m^{2025} ≤ 0$；
此时$1-m ≥1$，则$2025(1 - m) ≥2025＞0$，等式两边符号矛盾，不成立。
2. 当$m ≥1$时：
$m^{2025} ≥1^{2025}=1＞0$；
此时$1-m ≤0$，则$2025(1 - m) ≤0$，等式两边符号矛盾，不成立。
综上可得，仅当$0 ＜ m ＜1$时等式成立。
对于一次函数$y=(1 - m)x + m$：
一次项系数$k=1-m＞0$，常数项$b=m＞0$，根据一次函数图象性质，$k＞0$且$b＞0$时，函数图象经过第一、二、三象限，因此不经过第四象限。
【答案】
D
【知识点】
1. 一次函数图象与系数的关系
2. 有理数乘方的符号规律
3. 分类讨论思想
【点评】
本题将方程求解与一次函数性质结合考查，解题关键是通过分类讨论确定参数$m$的取值范围，再结合一次函数系数与图象象限的对应关系得出结论，侧重考查学生的逻辑推理能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要判断一次函数图象不经过的象限，需先确定一次项系数$1-m$和常数项$m$的正负，因此核心是先根据已知等式推导$m$的取值范围。已知等式中含$m$的奇数次方（2025是奇数），奇数次方的符号与底数符号一致，因此可通过分情况讨论$m$的取值范围，对比等式左右两边的符号是否匹配，从而确定$m$的取值范围，再结合一次函数图象性质判断即可。
【解析】
已知$m^{2025} + 2025m = 2025$，移项变形得：$m^{2025}=2025(1 - m)$。
分情况讨论$m$的取值：
1. 当$m ≤ 0$时：
∵2025是奇数，
∴$m^{2025} ≤ 0$；
此时$1-m ≥1$，则$2025(1 - m) ≥2025＞0$，等式两边符号矛盾，不成立。
2. 当$m ≥1$时：
$m^{2025} ≥1^{2025}=1＞0$；
此时$1-m ≤0$，则$2025(1 - m) ≤0$，等式两边符号矛盾，不成立。
综上可得，仅当$0 ＜ m ＜1$时等式成立。
对于一次函数$y=(1 - m)x + m$：
一次项系数$k=1-m＞0$，常数项$b=m＞0$，根据一次函数图象性质，$k＞0$且$b＞0$时，函数图象经过第一、二、三象限，因此不经过第四象限。
【答案】
D
【知识点】
1. 一次函数图象与系数的关系
2. 有理数乘方的符号规律
3. 分类讨论思想
【点评】
本题将方程求解与一次函数性质结合考查，解题关键是通过分类讨论确定参数$m$的取值范围，再结合一次函数系数与图象象限的对应关系得出结论，侧重考查学生的逻辑推理能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
12. 教材P47T8变式 [2026宣城六中期中] 一次函数$y_1 = ax + b$（$a,b$都不为0，且是常数）与$y_2 = bx + a$在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
）
）答案
12.B A项,对于$y_1 = ax + b$,$a ＞ 0$,$b ＞ 0$,此时$y_2 = bx + a$的图象应经过第一、二、三象限,所以A选项错误;B项,对于$y_1 = ax + b$,$a ＞ 0$,$b ＜ 0$,此时$y_2 = bx + a$的图象应经过第一、二、四象限,所以B选项正确;C项,对于$y_1 = ax + b$,$a ＞ 0$,$b ＞ 0$,此时$y_2 = bx + a$的图象应经过第一、二、三象限,所以C选项错误;D项,对于$y_1 = ax + b$,$a ＜ 0$,$b ＞ 0$,则$y_2 = bx + a$的图象应经过第一、三、四象限,所以D选项错误.
解析
【分析】
首先回忆一次函数$y=kx+c$的图象规律：$k$的符号决定直线倾斜方向，$k＞0$时直线从左下向右上倾斜，经过第一、三象限；$k＜0$时直线从左上向右下倾斜，经过第二、四象限；$c$的符号决定直线与$y$轴的交点位置，$c＞0$时交点在$y$轴正半轴，$c＜0$时交点在$y$轴负半轴。本题中两个一次函数的一次项系数和常数项恰好互换，解题时可先从其中一个函数的图象判断出$a$、$b$的符号，再代入另一个函数验证图象是否匹配，逐一排除错误选项即可得到答案。
【解析】
结合一次函数图象与系数的关系逐项分析：
1. 分析选项A：观察$y_1=ax+b$的图象，直线上升得$a＞0$，与$y$轴交于正半轴得$b＞0$；则$y_2=bx+a$中$b＞0$，直线应上升，且$a＞0$应与$y$轴交于正半轴，图象需经过第一、二、三象限，但A中$y_2$直线下降，不符合，故A错误。
2. 分析选项B：观察$y_1=ax+b$的图象，直线上升得$a＞0$，与$y$轴交于负半轴得$b＜0$；则$y_2=bx+a$中$b＜0$，直线应下降，且$a＞0$应与$y$轴交于正半轴，图象经过第一、二、四象限，与B中$y_2$的图象一致，故B正确。
3. 分析选项C：观察$y_1=ax+b$的图象，直线上升得$a＞0$，与$y$轴交于正半轴得$b＞0$；则$y_2=bx+a$中$b＞0$，直线应上升，但C中$y_2$直线下降，不符合，故C错误。
4. 分析选项D：观察$y_1=ax+b$的图象，直线下降得$a＜0$，与$y$轴交于正半轴得$b＞0$；则$y_2=bx+a$中$b＞0$，直线应上升，且$a＜0$应与$y$轴交于负半轴，图象需经过第一、三、四象限，但D中$y_2$直线下降，不符合，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是一次函数性质的典型应用题型，采用逐项验证的方法即可求解，解题核心是明确一次函数的一次项系数、常数项分别对应的图象特征，既考查对基础性质的掌握程度，也能锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
首先回忆一次函数$y=kx+c$的图象规律：$k$的符号决定直线倾斜方向，$k＞0$时直线从左下向右上倾斜，经过第一、三象限；$k＜0$时直线从左上向右下倾斜，经过第二、四象限；$c$的符号决定直线与$y$轴的交点位置，$c＞0$时交点在$y$轴正半轴，$c＜0$时交点在$y$轴负半轴。本题中两个一次函数的一次项系数和常数项恰好互换，解题时可先从其中一个函数的图象判断出$a$、$b$的符号，再代入另一个函数验证图象是否匹配，逐一排除错误选项即可得到答案。
【解析】
结合一次函数图象与系数的关系逐项分析：
1. 分析选项A：观察$y_1=ax+b$的图象，直线上升得$a＞0$，与$y$轴交于正半轴得$b＞0$；则$y_2=bx+a$中$b＞0$，直线应上升，且$a＞0$应与$y$轴交于正半轴，图象需经过第一、二、三象限，但A中$y_2$直线下降，不符合，故A错误。
2. 分析选项B：观察$y_1=ax+b$的图象，直线上升得$a＞0$，与$y$轴交于负半轴得$b＜0$；则$y_2=bx+a$中$b＜0$，直线应下降，且$a＞0$应与$y$轴交于正半轴，图象经过第一、二、四象限，与B中$y_2$的图象一致，故B正确。
3. 分析选项C：观察$y_1=ax+b$的图象，直线上升得$a＞0$，与$y$轴交于正半轴得$b＞0$；则$y_2=bx+a$中$b＞0$，直线应上升，但C中$y_2$直线下降，不符合，故C错误。
4. 分析选项D：观察$y_1=ax+b$的图象，直线下降得$a＜0$，与$y$轴交于正半轴得$b＞0$；则$y_2=bx+a$中$b＞0$，直线应上升，且$a＜0$应与$y$轴交于负半轴，图象需经过第一、三、四象限，但D中$y_2$直线下降，不符合，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是一次函数性质的典型应用题型，采用逐项验证的方法即可求解，解题核心是明确一次函数的一次项系数、常数项分别对应的图象特征，既考查对基础性质的掌握程度，也能锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
13. ▶新考法 [2026合肥期中]已知$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$为直线$y=-2x+3$上的三个点，且$x_1＜x_2＜x_3$，则以下判断正确的是（
A.若$x_1x_2＞0$，则$y_1y_3＞0$
B.若$x_1x_3＜0$，则$y_1y_2＞0$
C.若$x_2x_3＞0$，则$y_1y_3＞0$
D.若$x_2x_3＜0$，则$y_1y_2＞0$
D
）A.若$x_1x_2＞0$，则$y_1y_3＞0$
B.若$x_1x_3＜0$，则$y_1y_2＞0$
C.若$x_2x_3＞0$，则$y_1y_3＞0$
D.若$x_2x_3＜0$，则$y_1y_2＞0$
答案
13.D 直线$y = -2x + 3$如图所示. 当$x_1x_2 ＞ 0$时,$x_1$,$x_2$同号,但$y_1$,$y_3$的正负均无法确定. 当$x_1x_3 ＜ 0$时,$x_1 ＜ 0$,$x_3 ＞ 0$,无法确定$x_2$的位置,故$y_1 ＞ 0$,但$y_2$的正负无法确定,故$y_1y_2$的正负无法确定. 当$x_2x_3 ＞ 0$时,$x_2$,$x_3$同号,但不能确定$y_1$,$y_3$的正负. 当$x_2x_3 ＜ 0$时,可知$x_1 ＜ x_2 ＜ 0$,$x_3 ＞ 0$,由图象易知$y_1 ＞ 0$,$y_2 ＞ 0$,故$y_1y_2 ＞ 0$,故选项D中的判断正确.
解析
【分析】
首先明确一次函数y=-2x+3的基本性质：k=-2＜0，因此y随x的增大而减小，再求出直线与坐标轴的交点，确定不同x取值范围对应的y的正负情况。解题时先根据选项中x乘积的符号判断对应x的同异号关系，再结合x₁＜x₂＜x₃的大小关系推导对应y值的正负，最终判断乘积符号，也可通过举反例快速排除错误选项。
【解析】
先分析直线y=-2x+3的性质：
∵一次函数y=-2x+3中k=-2＜0，
∴y随x的增大而减小；
令y=0，解得x=3/2；令x=0，解得y=3，即直线与x轴交于(3/2,0)，与y轴交于(0,3)，可得规律：x＜0时，y＞3＞0；0＜x＜3/2时，y＞0；x＞3/2时，y＜0。
逐个分析选项：
A选项：若x₁x₂＞0，说明x₁、x₂同号，但x₃的取值不确定，例如取x₁=1，x₂=2，x₃=3，此时x₁x₂=2＞0，y₁=1，y₃=-3，y₁y₃=-3＜0，故A错误；
B选项：若x₁x₃＜0，说明x₁＜0，x₃＞0，但x₂的位置不确定，例如取x₁=-2，x₂=2，x₃=3，此时x₁x₃=-6＜0，y₁=7，y₂=-1，y₁y₂=-7＜0，无法确定y₁y₂的正负，故B错误；
C选项：若x₂x₃＞0，说明x₂、x₃同号，但x₁的取值不确定，例如取x₁=-1，x₂=1，x₃=2，此时x₂x₃=2＞0，y₁=5，y₃=-1，y₁y₃=-5＜0，故C错误；
D选项：若x₂x₃＜0，说明x₂＜0，x₃＞0，结合x₁＜x₂＜x₃可得x₁＜x₂＜0，此时x₁、x₂均小于0，对应y₁＞0，y₂＞0，因此y₁y₂＞0，故D正确。
【答案】
13.D
【知识点】
一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，有理数乘法符号判断
【点评】
本题结合一次函数的增减性与有理数乘法的符号规律命题，既可以通过分析函数图象中自变量与函数值的对应关系求解，也可以通过举反例快速排除错误选项，考查逻辑推理能力和数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
首先明确一次函数y=-2x+3的基本性质：k=-2＜0，因此y随x的增大而减小，再求出直线与坐标轴的交点，确定不同x取值范围对应的y的正负情况。解题时先根据选项中x乘积的符号判断对应x的同异号关系，再结合x₁＜x₂＜x₃的大小关系推导对应y值的正负，最终判断乘积符号，也可通过举反例快速排除错误选项。
【解析】
先分析直线y=-2x+3的性质：
∵一次函数y=-2x+3中k=-2＜0，
∴y随x的增大而减小；
令y=0，解得x=3/2；令x=0，解得y=3，即直线与x轴交于(3/2,0)，与y轴交于(0,3)，可得规律：x＜0时，y＞3＞0；0＜x＜3/2时，y＞0；x＞3/2时，y＜0。
逐个分析选项：
A选项：若x₁x₂＞0，说明x₁、x₂同号，但x₃的取值不确定，例如取x₁=1，x₂=2，x₃=3，此时x₁x₂=2＞0，y₁=1，y₃=-3，y₁y₃=-3＜0，故A错误；
B选项：若x₁x₃＜0，说明x₁＜0，x₃＞0，但x₂的位置不确定，例如取x₁=-2，x₂=2，x₃=3，此时x₁x₃=-6＜0，y₁=7，y₂=-1，y₁y₂=-7＜0，无法确定y₁y₂的正负，故B错误；
C选项：若x₂x₃＞0，说明x₂、x₃同号，但x₁的取值不确定，例如取x₁=-1，x₂=1，x₃=2，此时x₂x₃=2＞0，y₁=5，y₃=-1，y₁y₃=-5＜0，故C错误；
D选项：若x₂x₃＜0，说明x₂＜0，x₃＞0，结合x₁＜x₂＜x₃可得x₁＜x₂＜0，此时x₁、x₂均小于0，对应y₁＞0，y₂＞0，因此y₁y₂＞0，故D正确。
【答案】
13.D
【知识点】
一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，有理数乘法符号判断
【点评】
本题结合一次函数的增减性与有理数乘法的符号规律命题，既可以通过分析函数图象中自变量与函数值的对应关系求解，也可以通过举反例快速排除错误选项，考查逻辑推理能力和数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
14. 新趋势·结论开放 [2026青岛崂山区期中] 在一次函数的学习中，我们体会了函数关系式与函数图象的对应关系，经历了“画函数的图象-根据图象研究函数的性质-运用函数的性质解决问题”的学习过程。
(1)请通过“列表-描点-连线”的过程画出$y=|x|-1$的函数图象。
①下表是$x$与$y$的几组对应值，其中$m$的值为
②在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象。
(2)结合图象，仿照一次函数的图象与性质，写出此函数两条不同类型的性质：
①
②
(3)已知$y=|x|-1$的图象与$y$轴的交点为点$A$，$y=|x|-1$的图象上有一点$B(m,4)$，在$y$轴上存在一点$C$，使三角形$ABC$面积为6，直接写出点$C$的坐标。
(1)请通过“列表-描点-连线”的过程画出$y=|x|-1$的函数图象。
①下表是$x$与$y$的几组对应值，其中$m$的值为
0
；②在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象。
(2)结合图象，仿照一次函数的图象与性质，写出此函数两条不同类型的性质：
①
当$x=0$时,函数有最小值$-1$
；②
当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而增大(答案不唯一,合理即可)
。(3)已知$y=|x|-1$的图象与$y$轴的交点为点$A$，$y=|x|-1$的图象上有一点$B(m,4)$，在$y$轴上存在一点$C$，使三角形$ABC$面积为6，直接写出点$C$的坐标。
答案
14. 解:(1)①0 当$x = -1$时,$y = |x| - 1 = 0$,所以$m = 0$.
②描点,连线画出函数图象如图所示.
(2)①当$x = 0$时,函数有最小值$-1$ ②当$x ＞ 0$时,$y$随$x$的增大而增大(答案不唯一,合理即可)
(3)点$C$的坐标是$(0, -\frac{17}{5})$或$(0, \frac{7}{5})$.
解法提示:因为点$B(m,4)$在$y = |x| - 1$的图象上,所以$4 = |m| - 1$,所以$|m| = 5$. 设点$C$的坐标为$(0, y_c)$,由图象可知点$A(0, -1)$,则$AC = | y_c + 1|$. 因为三角形$ABC$面积为6,所以$\frac{1}{2}AC · |m| = 6$,所以$AC = | y_c + 1| = \frac{12}{5}$,所以$y_c = -\frac{17}{5}$或$\frac{7}{5}$,所以点$C$的坐标是$(0, -\frac{17}{5})$或$(0, \frac{7}{5})$.
解析
【分析】
(1)①求m的值只需将对应x值代入函数解析式$y=|x|-1$直接计算即可；②根据列表得到的坐标点，在坐标系中逐一描点，再顺次用平滑线连接就能得到函数图象。
(2)观察函数图象，可以从最值、增减性、对称性、取值范围等不同角度归纳函数性质，注意选取不同类型的结论即可。
(3)先将点B的纵坐标代入函数解析式，求出$|m|$即点B到y轴的水平距离；再求出函数与y轴交点A的坐标，设出y轴上点C的坐标，用纵坐标差的绝对值表示AC的长度，结合三角形面积公式列方程求解，注意绝对值方程有两个解，避免漏解。
【解析】
(1)①把$x=-1$代入$y=|x|-1$，得$y=|-1|-1=0$，因此$m=0$。
②按照表中对应坐标在坐标系中描点，顺次连接各点，得到函数图象如图所示：
(2)可从多个角度总结性质，示例如下：
①函数图象关于y轴对称；
②当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大（或当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；或函数最小值为-1，在$x=0$时取得等，合理即可）。
(3)第一步：求点B横坐标的绝对值
将$B(m,4)$代入$y=|x|-1$，得$4=|m|-1$，解得$|m|=5$，即点B到y轴的距离为5。
第二步：确定点A坐标
令$x=0$，代入$y=|x|-1$得$y=-1$，因此$A(0,-1)$。
第三步：设点C坐标并列方程求解
设点C坐标为$(0,y_C)$，A、C均在y轴上，因此$AC=|y_C-(-1)|=|y_C+1|$。
根据三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC × |m|=6$，代入得：
$\frac{1}{2}× |y_C+1| ×5=6$，整理得$|y_C+1|=\frac{12}{5}$
因此$y_C+1=\frac{12}{5}$或$y_C+1=-\frac{12}{5}$
解得$y_C=\frac{7}{5}$或$y_C=-\frac{17}{5}$，即点C坐标为$(0,\frac{7}{5})$或$(0,-\frac{17}{5})$。
【答案】
(1)①$0$；②函数图象见
(2)①当$x = 0$时，函数有最小值$-1$；②当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而增大（答案不唯一，合理即可）
(3)点$C$的坐标是$(0, -\frac{17}{5})$或$(0, \frac{7}{5})$
【知识点】
绝对值函数的图象与性质，一次函数的性质，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题以绝对值函数为探究载体，考查了函数图象绘制、性质归纳和结合几何的计算，注重对函数通用探究方法的考查，开放性较强，能够锻炼知识迁移能力和分类讨论意识。
【难度系数】
0.6
(1)①求m的值只需将对应x值代入函数解析式$y=|x|-1$直接计算即可；②根据列表得到的坐标点，在坐标系中逐一描点，再顺次用平滑线连接就能得到函数图象。
(2)观察函数图象，可以从最值、增减性、对称性、取值范围等不同角度归纳函数性质，注意选取不同类型的结论即可。
(3)先将点B的纵坐标代入函数解析式，求出$|m|$即点B到y轴的水平距离；再求出函数与y轴交点A的坐标，设出y轴上点C的坐标，用纵坐标差的绝对值表示AC的长度，结合三角形面积公式列方程求解，注意绝对值方程有两个解，避免漏解。
【解析】
(1)①把$x=-1$代入$y=|x|-1$，得$y=|-1|-1=0$，因此$m=0$。
②按照表中对应坐标在坐标系中描点，顺次连接各点，得到函数图象如图所示：
(2)可从多个角度总结性质，示例如下：
①函数图象关于y轴对称；
②当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大（或当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；或函数最小值为-1，在$x=0$时取得等，合理即可）。
(3)第一步：求点B横坐标的绝对值
将$B(m,4)$代入$y=|x|-1$，得$4=|m|-1$，解得$|m|=5$，即点B到y轴的距离为5。
第二步：确定点A坐标
令$x=0$，代入$y=|x|-1$得$y=-1$，因此$A(0,-1)$。
第三步：设点C坐标并列方程求解
设点C坐标为$(0,y_C)$，A、C均在y轴上，因此$AC=|y_C-(-1)|=|y_C+1|$。
根据三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC × |m|=6$，代入得：
$\frac{1}{2}× |y_C+1| ×5=6$，整理得$|y_C+1|=\frac{12}{5}$
因此$y_C+1=\frac{12}{5}$或$y_C+1=-\frac{12}{5}$
解得$y_C=\frac{7}{5}$或$y_C=-\frac{17}{5}$，即点C坐标为$(0,\frac{7}{5})$或$(0,-\frac{17}{5})$。
【答案】
(1)①$0$；②函数图象见
(2)①当$x = 0$时，函数有最小值$-1$；②当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而增大（答案不唯一，合理即可）
(3)点$C$的坐标是$(0, -\frac{17}{5})$或$(0, \frac{7}{5})$
【知识点】
绝对值函数的图象与性质，一次函数的性质，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题以绝对值函数为探究载体，考查了函数图象绘制、性质归纳和结合几何的计算，注重对函数通用探究方法的考查，开放性较强，能够锻炼知识迁移能力和分类讨论意识。
【难度系数】
0.6
15. 几何直观 [2026安庆期中] 在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫作整点. 直线$y = kx - 2k + 2(k ＜ 0)$与坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中只有四个整点，则k的取值范围是
$-2≤k≤-\frac{1}{2}且k≠-1$
.答案
15. $-2≤k≤-\frac{1}{2}$且$k≠-1$ 解题思路:由$y = kx - 2k + 2 = k(x - 2) + 2$,得出直线一定经过点$(2,2)$. 当直线经过$(3,0)$或$(6,0)$时,直线$y = kx - 2k + 2(k ＜ 0)$与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有四个整点,当直线经过$(4,0)$时,直线$y = kx - 2k + 2(k ＜ 0)$与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有三个整点,分别求得这三种情况下的$k$的值,结合图象即可得到结论.
因为$y = kx - 2k + 2 = k(x - 2) + 2$,所以该直线一定经过点$(2,2)$. 又因为$k ＜ 0$,所以该直线经过第一、二、四象限. 如图,当直线经过$(3,0)$时,直线与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有四个整点,则$0 = k + 2$,解得$k = -2$. 当直线经过$(6,0)$时,直线与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有四个整点,则$0 = 4k + 2$,解得$k = -\frac{1}{2}$. 当直线经过$(4,0)$时,直线与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有三个整点,则$0 = 2k + 2$,解得$k = -1$. 结合图象可知,为使直线与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有四个整点,需满足$-2 ≤ k ≤ -\frac{1}{2}$且$k ≠ -1$.
解析
【分析】
首先对一次函数解析式变形，可得出直线恒过定点$(2,2)$，结合$k＜0$可知直线经过第一、二、四象限，与x轴、y轴正半轴围成三角形区域。要求区域内（不含边界）只有4个整点，我们需要找到边界情况：即直线经过x轴上的特殊整点时对应的$k$值，分别是直线过$(3,0)$、$(4,0)$、$(6,0)$三个点，计算出这三种情况的$k$值后，结合函数图象分析$k$的取值范围，同时要排除整点个数不符合要求的特殊$k$值。
【解析】
1. 确定直线定点：
对解析式变形得$y = kx - 2k + 2 = k(x-2) + 2$，当$x=2$时，$y=2$，因此该直线恒过定点$(2,2)$。
因为$k＜0$，直线斜率为负，经过第一、二、四象限，与x轴、y轴正半轴相交，围成的三角形区域在第一象限附近。
2. 计算边界情况的$k$值：
当直线经过点$(3,0)$时，代入解析式得$0 = 3k - 2k + 2$，解得$k=-2$，此时区域内（不含边界）恰好有4个整点。
当直线经过点$(6,0)$时，代入解析式得$0 = 6k - 2k + 2$，即$4k+2=0$，解得$k=-\frac{1}{2}$，此时区域内（不含边界）恰好有4个整点。
当直线经过点$(4,0)$时，代入解析式得$0 = 4k - 2k + 2$，即$2k+2=0$，解得$k=-1$，此时区域内（不含边界）只有3个整点，不符合要求，需排除。
3. 结合图象确定范围：
观察图象可知，当$-2 ≤ k ≤ -\frac{1}{2}$且$k≠-1$时，直线与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中只有四个整点。
【答案】
$-2≤k≤-\frac{1}{2}$且$k≠-1$
【知识点】
一次函数的图象性质，一次函数图象上点的坐标特征，整点的定义
【点评】
本题侧重考查数形结合思想的应用，解题关键是先确定直线恒过的定点，再通过边界整点对应的直线斜率确定参数的取值范围，解题时需注意排除整点个数不符合要求的特殊值，对学生的几何直观分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
首先对一次函数解析式变形，可得出直线恒过定点$(2,2)$，结合$k＜0$可知直线经过第一、二、四象限，与x轴、y轴正半轴围成三角形区域。要求区域内（不含边界）只有4个整点，我们需要找到边界情况：即直线经过x轴上的特殊整点时对应的$k$值，分别是直线过$(3,0)$、$(4,0)$、$(6,0)$三个点，计算出这三种情况的$k$值后，结合函数图象分析$k$的取值范围，同时要排除整点个数不符合要求的特殊$k$值。
【解析】
1. 确定直线定点：
对解析式变形得$y = kx - 2k + 2 = k(x-2) + 2$，当$x=2$时，$y=2$，因此该直线恒过定点$(2,2)$。
因为$k＜0$，直线斜率为负，经过第一、二、四象限，与x轴、y轴正半轴相交，围成的三角形区域在第一象限附近。
2. 计算边界情况的$k$值：
当直线经过点$(3,0)$时，代入解析式得$0 = 3k - 2k + 2$，解得$k=-2$，此时区域内（不含边界）恰好有4个整点。
当直线经过点$(6,0)$时，代入解析式得$0 = 6k - 2k + 2$，即$4k+2=0$，解得$k=-\frac{1}{2}$，此时区域内（不含边界）恰好有4个整点。
当直线经过点$(4,0)$时，代入解析式得$0 = 4k - 2k + 2$，即$2k+2=0$，解得$k=-1$，此时区域内（不含边界）只有3个整点，不符合要求，需排除。
3. 结合图象确定范围：
观察图象可知，当$-2 ≤ k ≤ -\frac{1}{2}$且$k≠-1$时，直线与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中只有四个整点。
【答案】
$-2≤k≤-\frac{1}{2}$且$k≠-1$
【知识点】
一次函数的图象性质，一次函数图象上点的坐标特征，整点的定义
【点评】
本题侧重考查数形结合思想的应用，解题关键是先确定直线恒过的定点，再通过边界整点对应的直线斜率确定参数的取值范围，解题时需注意排除整点个数不符合要求的特殊值，对学生的几何直观分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
1. [2026济南高新区期中]若一次函数$y=kx+1$的图象与坐标轴围成的三角形的面积为2，则k的值为
$\frac{1}{4}或-\frac{1}{4}$
.答案
1. $\frac{1}{4}$或$-\frac{1}{4}$ 令$x = 0$,得$y = 1$,故该直线与$y$轴的截距为1. 当$k ＞ 0$时,该直线与$x$轴的负半轴相交,因为其与坐标轴围成的三角形的面积为2,所以该直线与$x$轴的交点坐标为$(-4,0)$,即$-4k + 1 = 0$,解得$k = \frac{1}{4}$;当$k ＜ 0$时,该直线与$x$轴的正半轴相交,同理,可得此时该直线与$x$轴的交点坐标为$(4,0)$,所以$4k + 1 = 0$,解得$k = -\frac{1}{4}$. 综上,$k$的值为$\frac{1}{4}$或$-\frac{1}{4}$.
解析
【分析】
解决这道题首先要明确一次函数与坐标轴交点的求法：与y轴交点令x=0计算y值，与x轴交点令y=0计算x值。一次函数和两条坐标轴围成的是直角三角形，两条直角边长度分别是两个交点到原点的距离（即截距的绝对值），再结合三角形面积公式列方程求解即可，要注意k的正负会影响x轴交点的位置，需考虑绝对值避免漏解。
【解析】
解：对于一次函数$y=kx+1$：
1. 求与y轴的交点：令$x=0$，代入得$y=1$，即与y轴交点为$(0,1)$，该点到原点的距离为1。
2. 求与x轴的交点：令$y=0$，代入得$0=kx+1$，解得$x=-\frac{1}{k}$，即与x轴交点为$(-\frac{1}{k},0)$，该点到原点的距离为$\left| -\frac{1}{k} \right|=\frac{1}{\left| k \right|}$。
3. 根据三角形面积为2列方程：
直角三角形面积=$\frac{1}{2} ×$两条直角边长的乘积，即：
$\frac{1}{2} × 1 × \frac{1}{\left| k \right|} = 2$
化简得$\frac{1}{2\left| k \right|}=2$，解得$\left| k \right|=\frac{1}{4}$，因此$k=\frac{1}{4}$或$k=-\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$或$-\frac{1}{4}$
【知识点】
一次函数的图象性质；一次函数与坐标轴交点；三角形面积计算
【点评】
本题核心考查一次函数和坐标轴交点的求解方法，解题时容易遗漏k为负数的情况，借助绝对值计算距离可以简化分类讨论过程，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解决这道题首先要明确一次函数与坐标轴交点的求法：与y轴交点令x=0计算y值，与x轴交点令y=0计算x值。一次函数和两条坐标轴围成的是直角三角形，两条直角边长度分别是两个交点到原点的距离（即截距的绝对值），再结合三角形面积公式列方程求解即可，要注意k的正负会影响x轴交点的位置，需考虑绝对值避免漏解。
【解析】
解：对于一次函数$y=kx+1$：
1. 求与y轴的交点：令$x=0$，代入得$y=1$，即与y轴交点为$(0,1)$，该点到原点的距离为1。
2. 求与x轴的交点：令$y=0$，代入得$0=kx+1$，解得$x=-\frac{1}{k}$，即与x轴交点为$(-\frac{1}{k},0)$，该点到原点的距离为$\left| -\frac{1}{k} \right|=\frac{1}{\left| k \right|}$。
3. 根据三角形面积为2列方程：
直角三角形面积=$\frac{1}{2} ×$两条直角边长的乘积，即：
$\frac{1}{2} × 1 × \frac{1}{\left| k \right|} = 2$
化简得$\frac{1}{2\left| k \right|}=2$，解得$\left| k \right|=\frac{1}{4}$，因此$k=\frac{1}{4}$或$k=-\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$或$-\frac{1}{4}$
【知识点】
一次函数的图象性质；一次函数与坐标轴交点；三角形面积计算
【点评】
本题核心考查一次函数和坐标轴交点的求解方法，解题时容易遗漏k为负数的情况，借助绝对值计算距离可以简化分类讨论过程，避免漏解。
【难度系数】
0.6
2. [2026宣城段考]已知一次函数$y=ax - 2a + 3$（$a$为常数，且$a≠0$），若$-2≤x≤3$，$y$有最小值$-5$，则$a$的值为
2或-8
.答案
2. 2或-8 分情况讨论如下:当$a ＞ 0$时,$y$随$x$的增大而增大,当$x = -2$时,$y$有最小值,所以$y = -2a - 2a + 3 = -5$,所以$a = 2$,符合题意;当$a ＜ 0$时,$y$随$x$的增大而减小,当$x = 3$时,$y$有最小值,所以$y = 3a - 2a + 3 = -5$,所以$a = -8$,符合题意. 综上,$a = 2$或$a = -8$.
解析
【分析】
本题需结合一次函数的增减性求解参数a。一次函数的增减性由一次项系数a的符号决定，且题目限定了x的取值范围，因此y的最小值对应的x值随a的正负发生变化，解题时需分a＞0和a＜0两种情况讨论，分别代入对应x值列方程求解，最后检验解是否符合分类的前提条件即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当$a＞0$时，一次函数$y=ax - 2a + 3$中$y$随$x$的增大而增大，
已知$-2≤x≤3$，因此当$x=-2$时，$y$取得最小值$-5$，
将$x=-2$，$y=-5$代入函数得：
$-2a - 2a + 3 = -5$
合并同类项得：$-4a = -8$
解得：$a=2$，符合$a＞0$的前提，成立；
② 当$a＜0$时，一次函数$y=ax - 2a + 3$中$y$随$x$的增大而减小，
已知$-2≤x≤3$，因此当$x=3$时，$y$取得最小值$-5$，
将$x=3$，$y=-5$代入函数得：
$3a - 2a + 3 = -5$
合并同类项得：$a + 3 = -5$
解得：$a=-8$，符合$a＜0$的前提，成立。
综上，$a$的值为2或-8。
【答案】
2或-8
【知识点】
一次函数的性质；分类讨论思想；一次函数求值
【点评】
本题核心考查一次函数增减性的应用，易错点是忽略a的符号对函数增减性的影响，漏分类讨论的情况。解题时要注意结合自变量的取值范围，确定最值对应的自变量取值，求解后需验证结果是否符合分类的前提条件，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
本题需结合一次函数的增减性求解参数a。一次函数的增减性由一次项系数a的符号决定，且题目限定了x的取值范围，因此y的最小值对应的x值随a的正负发生变化，解题时需分a＞0和a＜0两种情况讨论，分别代入对应x值列方程求解，最后检验解是否符合分类的前提条件即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当$a＞0$时，一次函数$y=ax - 2a + 3$中$y$随$x$的增大而增大，
已知$-2≤x≤3$，因此当$x=-2$时，$y$取得最小值$-5$，
将$x=-2$，$y=-5$代入函数得：
$-2a - 2a + 3 = -5$
合并同类项得：$-4a = -8$
解得：$a=2$，符合$a＞0$的前提，成立；
② 当$a＜0$时，一次函数$y=ax - 2a + 3$中$y$随$x$的增大而减小，
已知$-2≤x≤3$，因此当$x=3$时，$y$取得最小值$-5$，
将$x=3$，$y=-5$代入函数得：
$3a - 2a + 3 = -5$
合并同类项得：$a + 3 = -5$
解得：$a=-8$，符合$a＜0$的前提，成立。
综上，$a$的值为2或-8。
【答案】
2或-8
【知识点】
一次函数的性质；分类讨论思想；一次函数求值
【点评】
本题核心考查一次函数增减性的应用，易错点是忽略a的符号对函数增减性的影响，漏分类讨论的情况。解题时要注意结合自变量的取值范围，确定最值对应的自变量取值，求解后需验证结果是否符合分类的前提条件，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
3. 定义:在平面直角坐标系中,函数图象上到两坐标轴的距离之和等于$n(n＞0)$的点,叫作该函数图象的“$n$阶和点”.例如,$(2,1)$为一次函数$y=x-1$的“$3$阶和点”.若$y$关于$x$的一次函数$y=kx-2$的图象经过一次函数$y=x+1$图象的“$7$阶和点”,则$k$的值为
$\frac{1}{4}或2$
.答案
3. $\frac{1}{4}$或2 由题中定义,可得$|x| + |x + 1| = 7$,解得$x = -4$或$x = 3$,所以一次函数$y = x + 1$图象的“7阶和点”是$(-4, -3)$或$(3,4)$. 当一次函数$y = kx - 2$的图象经过点$(-4, -3)$时,$-3 = -4k - 2$,解得$k = \frac{1}{4}$. 当一次函数$y = kx - 2$的图象经过点$(3,4)$时,$4 = 3k - 2$,解得$k = 2$. 综上,$k$的值为$\frac{1}{4}$或2.
解析
【分析】
解题首先要准确理解新定义“n阶和点”：函数图象上的点到两坐标轴的距离之和等于n，也就是点的横坐标绝对值与纵坐标绝对值之和为n。第一步先求一次函数$y=x+1$的“7阶和点”：设该点坐标为$(x,y)$，它既满足$y=x+1$，又满足$|x|+|y|=7$，将函数式代入绝对值方程，分情况解出x的值，就能得到两个符合要求的点。第二步将得到的两个点分别代入$y=kx-2$，解关于k的一元一次方程，即可求出k的取值，注意不要漏解。
【解析】
设一次函数$y=x+1$图象的“7阶和点”坐标为$(x,y)$，根据定义可得：
$\begin{cases}y=x+1\\|x|+|y|=7\end{cases}$
将$y=x+1$代入$|x|+|y|=7$，得$|x|+|x+1|=7$，分情况解方程：
1. 当$x≥0$时，方程化简为$x+x+1=7$，解得$x=3$，此时$y=3+1=4$，对应点为$(3,4)$；
2. 当$-1＜x＜0$时，方程化简为$-x+x+1=7$，即$1=7$，等式不成立，无解；
3. 当$x≤-1$时，方程化简为$-x-(x+1)=7$，解得$x=-4$，此时$y=-4+1=-3$，对应点为$(-4,-3)$。
将两个点分别代入$y=kx-2$求k：
① 把$(-4,-3)$代入得：$-3=-4k-2$，解得$k=\frac{1}{4}$；
② 把$(3,4)$代入得：$4=3k-2$，解得$k=2$。
【答案】
$\frac{1}{4}$或2
【知识点】
一次函数点的坐标特征，解绝对值方程，新定义运算
【点评】
本题结合新定义考查一次函数的相关应用，解题关键是正确理解新定义的含义，先求出符合条件的点坐标，再代入参数式求解，解绝对值方程时注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题首先要准确理解新定义“n阶和点”：函数图象上的点到两坐标轴的距离之和等于n，也就是点的横坐标绝对值与纵坐标绝对值之和为n。第一步先求一次函数$y=x+1$的“7阶和点”：设该点坐标为$(x,y)$，它既满足$y=x+1$，又满足$|x|+|y|=7$，将函数式代入绝对值方程，分情况解出x的值，就能得到两个符合要求的点。第二步将得到的两个点分别代入$y=kx-2$，解关于k的一元一次方程，即可求出k的取值，注意不要漏解。
【解析】
设一次函数$y=x+1$图象的“7阶和点”坐标为$(x,y)$，根据定义可得：
$\begin{cases}y=x+1\\|x|+|y|=7\end{cases}$
将$y=x+1$代入$|x|+|y|=7$，得$|x|+|x+1|=7$，分情况解方程：
1. 当$x≥0$时，方程化简为$x+x+1=7$，解得$x=3$，此时$y=3+1=4$，对应点为$(3,4)$；
2. 当$-1＜x＜0$时，方程化简为$-x+x+1=7$，即$1=7$，等式不成立，无解；
3. 当$x≤-1$时，方程化简为$-x-(x+1)=7$，解得$x=-4$，此时$y=-4+1=-3$，对应点为$(-4,-3)$。
将两个点分别代入$y=kx-2$求k：
① 把$(-4,-3)$代入得：$-3=-4k-2$，解得$k=\frac{1}{4}$；
② 把$(3,4)$代入得：$4=3k-2$，解得$k=2$。
【答案】
$\frac{1}{4}$或2
【知识点】
一次函数点的坐标特征，解绝对值方程，新定义运算
【点评】
本题结合新定义考查一次函数的相关应用，解题关键是正确理解新定义的含义，先求出符合条件的点坐标，再代入参数式求解，解绝对值方程时注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
