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5. 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,AE平分∠BAD,E是CD的中点,连接BE.
(1)求证:AB=AD+BC;
(2)求证:AE⊥BE.
(1)求证:AB=AD+BC;
(2)求证:AE⊥BE.
答案
【证明】(1)如图,延长 $AE$ 交 $BC$ 的延长线于点 $F$.
$\because AE$ 平分$∠BAD,$
$\therefore ∠BAF=∠DAE.$
$\because E$ 是 $DC$ 的中点,$\therefore DE=CE.$
$\because AD// BC,\therefore ∠DAE=∠F.$
$\therefore ∠BAF=∠F. \therefore AB=BF.$
在$△ ADE$ 和$△ FCE$ 中,$\because \begin{cases} ∠DAE=∠F,\\ ∠DEA=∠CEF,\\ DE=CE,\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌ △ FCE. \therefore AD=CF.$
$\therefore AB=BF=BC+CF=BC+AD.$
(2)由(1)知$△ ADE≌ △ FCE,\therefore AE=FE.$
又$\because BA=BF,\therefore$ 根据等腰三角形三线合一的性质可知 $AE⊥BE.$
解析
【分析】
(1) 要证AB=AD+BC属于线段和差类证明，优先考虑“转化线段”的思路：已知AD//BC、E是CD中点，可通过延长AE交BC延长线于F，先证△ADE和△FCE全等，将AD转化为CF，此时AD+BC就变为BC+CF=BF；再结合角平分线的性质推出∠BAF=∠F，得到AB=BF，即可完成证明。
(2) 要证AE⊥BE，由(1)的全等可得AE=FE，且已证AB=BF，即△ABF为等腰三角形，BE是底边AF的中线，根据等腰三角形三线合一的性质即可推出垂直关系。
【解析】
(1) 延长 $AE$ 交 $BC$ 的延长线于点 $F$。
$\because AE$ 平分$∠ BAD$，$\therefore ∠ BAF=∠ DAE$。
$\because E$ 是 $DC$ 的中点，$\therefore DE=CE$。
$\because AD// BC$，$\therefore ∠ DAE=∠ F$，$\therefore ∠ BAF=∠ F$，$\therefore AB=BF$。
在$△ ADE$ 和$△ FCE$ 中，$\begin{cases} ∠ DAE=∠ F\\ ∠ DEA=∠ CEF\\ DE=CE\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌ △ FCE \ (\mathrm{AAS})$，$\therefore AD=CF$。
$\therefore AB=BF=BC+CF=BC+AD$，得证。
(2) 由(1)知$△ ADE≌ △ FCE$，$\therefore AE=FE$。
又$\because BA=BF$，即$△ ABF$为等腰三角形，BE是底边AF的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AE⊥ BE$，得证。
【答案】
【证明】(1)如图,延长 $AE$ 交 $BC$ 的延长线于点 $F$.
$\because AE$ 平分$∠BAD,$
$\therefore ∠BAF=∠DAE.$
$\because E$ 是 $DC$ 的中点,$\therefore DE=CE.$
$\because AD// BC,\therefore ∠DAE=∠F.$
$\therefore ∠BAF=∠F. \therefore AB=BF.$
在$△ ADE$ 和$△ FCE$ 中,$\because \begin{cases} ∠DAE=∠F,\\ ∠DEA=∠CEF,\\ DE=CE,\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌ △ FCE. \therefore AD=CF.$
$\therefore AB=BF=BC+CF=BC+AD.$
(2)由(1)知$△ ADE≌ △ FCE,\therefore AE=FE.$
又$\because BA=BF,\therefore$ 根据等腰三角形三线合一的性质可知 $AE⊥BE.$
【知识点】
全等三角形判定与性质、等腰三角形三线合一、平行线的性质
【点评】
本题是几何证明的典型题型，核心是通过延长线段构造全等三角形的辅助线方法，将分散的待证线段转化到同一条直线上，再结合等腰三角形的性质完成结论推导，对辅助线构造逻辑和几何推理能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
(1) 要证AB=AD+BC属于线段和差类证明，优先考虑“转化线段”的思路：已知AD//BC、E是CD中点，可通过延长AE交BC延长线于F，先证△ADE和△FCE全等，将AD转化为CF，此时AD+BC就变为BC+CF=BF；再结合角平分线的性质推出∠BAF=∠F，得到AB=BF，即可完成证明。
(2) 要证AE⊥BE，由(1)的全等可得AE=FE，且已证AB=BF，即△ABF为等腰三角形，BE是底边AF的中线，根据等腰三角形三线合一的性质即可推出垂直关系。
【解析】
(1) 延长 $AE$ 交 $BC$ 的延长线于点 $F$。
$\because AE$ 平分$∠ BAD$，$\therefore ∠ BAF=∠ DAE$。
$\because E$ 是 $DC$ 的中点，$\therefore DE=CE$。
$\because AD// BC$，$\therefore ∠ DAE=∠ F$，$\therefore ∠ BAF=∠ F$，$\therefore AB=BF$。
在$△ ADE$ 和$△ FCE$ 中，$\begin{cases} ∠ DAE=∠ F\\ ∠ DEA=∠ CEF\\ DE=CE\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌ △ FCE \ (\mathrm{AAS})$，$\therefore AD=CF$。
$\therefore AB=BF=BC+CF=BC+AD$，得证。
(2) 由(1)知$△ ADE≌ △ FCE$，$\therefore AE=FE$。
又$\because BA=BF$，即$△ ABF$为等腰三角形，BE是底边AF的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AE⊥ BE$，得证。
【答案】
【证明】(1)如图,延长 $AE$ 交 $BC$ 的延长线于点 $F$.
$\because AE$ 平分$∠BAD,$
$\therefore ∠BAF=∠DAE.$
$\because E$ 是 $DC$ 的中点,$\therefore DE=CE.$
$\because AD// BC,\therefore ∠DAE=∠F.$
$\therefore ∠BAF=∠F. \therefore AB=BF.$
在$△ ADE$ 和$△ FCE$ 中,$\because \begin{cases} ∠DAE=∠F,\\ ∠DEA=∠CEF,\\ DE=CE,\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌ △ FCE. \therefore AD=CF.$
$\therefore AB=BF=BC+CF=BC+AD.$
(2)由(1)知$△ ADE≌ △ FCE,\therefore AE=FE.$
又$\because BA=BF,\therefore$ 根据等腰三角形三线合一的性质可知 $AE⊥BE.$
【知识点】
全等三角形判定与性质、等腰三角形三线合一、平行线的性质
【点评】
本题是几何证明的典型题型，核心是通过延长线段构造全等三角形的辅助线方法，将分散的待证线段转化到同一条直线上，再结合等腰三角形的性质完成结论推导，对辅助线构造逻辑和几何推理能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在$△ ABC$中，$AD$为$BC$边上的中线，点$E$为$AB$上一点，连接$CE$交$AD$于点$F$，且$AE=EF$。求证：$AB=CF$。
答案
【证明】如图,延长 $AD$ 至点 $G$,使 $DG=AD$,连接 $CG$.
$\because AD$ 为 $BC$ 边上的中线,$\therefore BD=CD.$
又$\because ∠ADB=∠GDC,$
$\therefore △ ABD≌ △ GCD(SAS).$
$\therefore AB=CG,∠G=∠EAF.$
$\because AE=EF,\therefore ∠EAF=∠EFA.$
又$\because ∠EFA=∠CFG,$
$\therefore ∠G=∠CFG. \therefore CG=CF. \therefore AB=CF.$
解析
【分析】
要证明AB=CF，两条线段无直接的全等或等腰关联，已知AD是BC的中线，遇到中线时常用“倍长中线法”构造全等三角形，将AB转化为和CF处于同一个三角形的线段。首先延长AD到G，使DG=AD，构造△ABD和△GCD全等，可得AB=CG，接下来只需证明CG=CF即可，结合已知AE=EF可得等边对等角，再利用对顶角相等推导角相等，即可得到CG=CF，最终得证结论。
【解析】
证明：如图，延长 $AD$ 至点 $G$，使 $DG=AD$，连接 $CG$。
$\because AD$ 为 $BC$ 边上的中线，$\therefore BD=CD$。
又$\because ∠ADB=∠GDC$，
$\therefore △ ABD≌ △ GCD(\mathrm{SAS})$。
$\therefore AB=CG,∠G=∠EAF$。
$\because AE=EF,\therefore ∠EAF=∠EFA$。
又$\because ∠EFA=∠CFG$，
$\therefore ∠G=∠CFG$，$\therefore CG=CF$，$\therefore AB=CF$。
【答案】
【证明】如图,延长 $AD$ 至点 $G$,使 $DG=AD$,连接 $CG$.
$\because AD$ 为 $BC$ 边上的中线,$\therefore BD=CD.$
又$\because ∠ADB=∠GDC,$
$\therefore △ ABD≌ △ GCD(SAS).$
$\therefore AB=CG,∠G=∠EAF.$
$\because AE=EF,\therefore ∠EAF=∠EFA.$
又$\because ∠EFA=∠CFG,$
$\therefore ∠G=∠CFG. \therefore CG=CF. \therefore AB=CF.$
【知识点】
倍长中线辅助线作法，全等三角形判定与性质，等腰三角形性质与判定
【点评】
本题是三角形线段相等证明的典型题型，核心技巧是倍长中线法，通过倍长中线构造全等三角形实现线段转化，将待证相等的两条线段转化到同一个三角形中，再结合等腰三角形的性质完成证明，需要熟练掌握中线相关的辅助线构造思路。
【难度系数】
0.6
要证明AB=CF，两条线段无直接的全等或等腰关联，已知AD是BC的中线，遇到中线时常用“倍长中线法”构造全等三角形，将AB转化为和CF处于同一个三角形的线段。首先延长AD到G，使DG=AD，构造△ABD和△GCD全等，可得AB=CG，接下来只需证明CG=CF即可，结合已知AE=EF可得等边对等角，再利用对顶角相等推导角相等，即可得到CG=CF，最终得证结论。
【解析】
证明：如图，延长 $AD$ 至点 $G$，使 $DG=AD$，连接 $CG$。
$\because AD$ 为 $BC$ 边上的中线，$\therefore BD=CD$。
又$\because ∠ADB=∠GDC$，
$\therefore △ ABD≌ △ GCD(\mathrm{SAS})$。
$\therefore AB=CG,∠G=∠EAF$。
$\because AE=EF,\therefore ∠EAF=∠EFA$。
又$\because ∠EFA=∠CFG$，
$\therefore ∠G=∠CFG$，$\therefore CG=CF$，$\therefore AB=CF$。
【答案】
【证明】如图,延长 $AD$ 至点 $G$,使 $DG=AD$,连接 $CG$.
$\because AD$ 为 $BC$ 边上的中线,$\therefore BD=CD.$
又$\because ∠ADB=∠GDC,$
$\therefore △ ABD≌ △ GCD(SAS).$
$\therefore AB=CG,∠G=∠EAF.$
$\because AE=EF,\therefore ∠EAF=∠EFA.$
又$\because ∠EFA=∠CFG,$
$\therefore ∠G=∠CFG. \therefore CG=CF. \therefore AB=CF.$
【知识点】
倍长中线辅助线作法，全等三角形判定与性质，等腰三角形性质与判定
【点评】
本题是三角形线段相等证明的典型题型，核心技巧是倍长中线法，通过倍长中线构造全等三角形实现线段转化，将待证相等的两条线段转化到同一个三角形中，再结合等腰三角形的性质完成证明，需要熟练掌握中线相关的辅助线构造思路。
【难度系数】
0.6
7. 一题多解 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=2∠ B$，CD平分$∠ ACB$交AB于点D.求证:$AC+AD=BC$.
答案
【证明】(只选择一种方法即可)方法一:如图①,延长 $CA$ 至点 $E$,使 $EA=AD$,连接 $ED$,则$∠E=∠ADE.$
$\therefore ∠BAC=∠E+∠ADE=2∠E.$
又$\because ∠BAC=2∠B,\therefore ∠E=∠B.$
$\because CD$ 平分 $∠ACB,\therefore ∠ECD=∠BCD.$ 又$\because CD=CD,$
$\therefore △ CDE≌ △ CDB(AAS). \therefore CE=CB.$
$\because CE=AC+AE=AC+AD,\therefore AC+AD=BC.$
方法二:如图②,延长 $DA$ 到点 $F$,使$AF=AC$,连接 $CF$,
则$∠F=∠ACF.$
$\therefore ∠BAC=∠F+∠ACF=2∠F.$
又$\because ∠BAC=2∠B,\therefore ∠B=∠F. \therefore BC=FC.$
$\because CD$ 平分$∠ACB,\therefore ∠ACD=∠BCD.$
$\therefore ∠ADC=∠B+∠BCD=∠B+∠ACD.$
又$\because ∠DCF=∠ACF+∠ACD=∠F+∠ACD=∠B+∠ACD,$
$\therefore ∠ADC=∠DCF. \therefore DF=CF.$
$\therefore AC+AD=AF+AD=DF=CF=BC.$
方法三:如图③,在 $BC$ 上截取 $CG=CA$,连接 $DG$.
$\because CD$ 平分$∠ACB,$
$\therefore ∠ACD=∠GCD.$ 又$\because CD=CD,$
$\therefore △ ACD≌ △ GCD(SAS).$
$\therefore AD=DG,∠BAC=∠DGC.$
$\because ∠BAC=2∠B,∠DGC=∠B+∠BDG,$
$\therefore ∠BDG=∠B. \therefore DG=BG.$
$\therefore AC+AD=CG+DG=CG+BG=BC.$
解析
【分析】
要证明$AC+AD=BC$这类线段和的等式，常用“截长补短法”构造辅助线：要么将两条短线段拼接为一条长线段，证明其与$BC$相等；要么将长线段$BC$截为两段，分别证明两段与$AC$、$AD$相等。本题已知$∠ BAC=2∠ B$、$CD$是$∠ ACB$的角平分线，可结合角的倍数关系、等腰三角形等角对等边、全等三角形对应边相等的性质推导结论。
【解析】
以方法一为例：
1. 构造辅助线：延长$CA$至点$E$，使$EA=AD$，连接$ED$。
2. 推导角的关系：因为$EA=AD$，所以$∠ E=∠ ADE$，根据三角形外角性质可得$∠ BAC=∠ E+∠ ADE=2∠ E$。
3. 结合已知等量代换：已知$∠ BAC=2∠ B$，因此$∠ E=∠ B$。
4. 证明三角形全等：因为$CD$平分$∠ ACB$，所以$∠ ECD=∠ BCD$，又$CD$是公共边，根据AAS判定可得$△ CDE≌△ CDB$。
5. 推导边的关系：由全等得$CE=CB$，而$CE=AC+AE=AC+AD$，因此$AC+AD=BC$。
另外两种方法逻辑类似：方法二延长$DA$构造等腰$△ ACF$，方法三在$BC$上截取$CG=AC$构造全等三角形，均可推导得出结论。
【答案】
【证明】(只选择一种方法即可)方法一:如图①,延长 $CA$ 至点 $E$,使 $EA=AD$,连接 $ED$,则$∠E=∠ADE.$
$\therefore ∠BAC=∠E+∠ADE=2∠E.$
又$\because ∠BAC=2∠B,\therefore ∠E=∠B.$
$\because CD$ 平分 $∠ACB,\therefore ∠ECD=∠BCD.$ 又$\because CD=CD,$
$\therefore △ CDE≌ △ CDB(AAS). \therefore CE=CB.$
$\because CE=AC+AE=AC+AD,\therefore AC+AD=BC.$
方法二:如图②,延长 $DA$ 到点 $F$,使$AF=AC$,连接 $CF$,
则$∠F=∠ACF.$
$\therefore ∠BAC=∠F+∠ACF=2∠F.$
又$\because ∠BAC=2∠B,\therefore ∠B=∠F. \therefore BC=FC.$
$\because CD$ 平分$∠ACB,\therefore ∠ACD=∠BCD.$
$\therefore ∠ADC=∠B+∠BCD=∠B+∠ACD.$
又$\because ∠DCF=∠ACF+∠ACD=∠F+∠ACD=∠B+∠ACD,$
$\therefore ∠ADC=∠DCF. \therefore DF=CF.$
$\therefore AC+AD=AF+AD=DF=CF=BC.$
方法三:如图③,在 $BC$ 上截取 $CG=CA$,连接 $DG$.
$\because CD$ 平分$∠ACB,$
$\therefore ∠ACD=∠GCD.$ 又$\because CD=CD,$
$\therefore △ ACD≌ △ GCD(SAS).$
$\therefore AD=DG,∠BAC=∠DGC.$
$\because ∠BAC=2∠B,∠DGC=∠B+∠BDG,$
$\therefore ∠BDG=∠B. \therefore DG=BG.$
$\therefore AC+AD=CG+DG=CG+BG=BC.$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是线段和差证明的经典题型，核心考查截长补短的辅助线构造方法，结合角的倍数关系、角平分线性质、全等及等腰三角形的相关知识求解，有助于提升几何逻辑推理和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
要证明$AC+AD=BC$这类线段和的等式，常用“截长补短法”构造辅助线：要么将两条短线段拼接为一条长线段，证明其与$BC$相等；要么将长线段$BC$截为两段，分别证明两段与$AC$、$AD$相等。本题已知$∠ BAC=2∠ B$、$CD$是$∠ ACB$的角平分线，可结合角的倍数关系、等腰三角形等角对等边、全等三角形对应边相等的性质推导结论。
【解析】
以方法一为例：
1. 构造辅助线：延长$CA$至点$E$，使$EA=AD$，连接$ED$。
2. 推导角的关系：因为$EA=AD$，所以$∠ E=∠ ADE$，根据三角形外角性质可得$∠ BAC=∠ E+∠ ADE=2∠ E$。
3. 结合已知等量代换：已知$∠ BAC=2∠ B$，因此$∠ E=∠ B$。
4. 证明三角形全等：因为$CD$平分$∠ ACB$，所以$∠ ECD=∠ BCD$，又$CD$是公共边，根据AAS判定可得$△ CDE≌△ CDB$。
5. 推导边的关系：由全等得$CE=CB$，而$CE=AC+AE=AC+AD$，因此$AC+AD=BC$。
另外两种方法逻辑类似：方法二延长$DA$构造等腰$△ ACF$，方法三在$BC$上截取$CG=AC$构造全等三角形，均可推导得出结论。
【答案】
【证明】(只选择一种方法即可)方法一:如图①,延长 $CA$ 至点 $E$,使 $EA=AD$,连接 $ED$,则$∠E=∠ADE.$
$\therefore ∠BAC=∠E+∠ADE=2∠E.$
又$\because ∠BAC=2∠B,\therefore ∠E=∠B.$
$\because CD$ 平分 $∠ACB,\therefore ∠ECD=∠BCD.$ 又$\because CD=CD,$
$\therefore △ CDE≌ △ CDB(AAS). \therefore CE=CB.$
$\because CE=AC+AE=AC+AD,\therefore AC+AD=BC.$
方法二:如图②,延长 $DA$ 到点 $F$,使$AF=AC$,连接 $CF$,
则$∠F=∠ACF.$
$\therefore ∠BAC=∠F+∠ACF=2∠F.$
又$\because ∠BAC=2∠B,\therefore ∠B=∠F. \therefore BC=FC.$
$\because CD$ 平分$∠ACB,\therefore ∠ACD=∠BCD.$
$\therefore ∠ADC=∠B+∠BCD=∠B+∠ACD.$
又$\because ∠DCF=∠ACF+∠ACD=∠F+∠ACD=∠B+∠ACD,$
$\therefore ∠ADC=∠DCF. \therefore DF=CF.$
$\therefore AC+AD=AF+AD=DF=CF=BC.$
方法三:如图③,在 $BC$ 上截取 $CG=CA$,连接 $DG$.
$\because CD$ 平分$∠ACB,$
$\therefore ∠ACD=∠GCD.$ 又$\because CD=CD,$
$\therefore △ ACD≌ △ GCD(SAS).$
$\therefore AD=DG,∠BAC=∠DGC.$
$\because ∠BAC=2∠B,∠DGC=∠B+∠BDG,$
$\therefore ∠BDG=∠B. \therefore DG=BG.$
$\therefore AC+AD=CG+DG=CG+BG=BC.$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是线段和差证明的经典题型，核心考查截长补短的辅助线构造方法，结合角的倍数关系、角平分线性质、全等及等腰三角形的相关知识求解，有助于提升几何逻辑推理和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
8. 如图，CD是$△ ABC$的角平分线，点E是边AC上的点，连接DE，则$DE=DB$.
(1)求证:$∠ B$与$∠ DEC$互补；
(2)点F是BC边上一点，满足$∠ B+2∠ DFC=180°$,请写出线段CF与线段CE,ED之间满足的等量关系,并证明.
(1)求证:$∠ B$与$∠ DEC$互补；
(2)点F是BC边上一点，满足$∠ B+2∠ DFC=180°$,请写出线段CF与线段CE,ED之间满足的等量关系,并证明.
答案
(1)【证明】如图,在 $BC$ 上截取 $CM=CE$,连接 $DM$.
$\because CD$ 是$△ ABC$ 的角平分线,$\therefore ∠DCE=∠DCM.$
在$△ CDE$ 和$△ CDM$ 中,$\because \begin{cases} CD=CD,\\ ∠DCE=∠DCM,\\ CE=CM,\end{cases}$
$\therefore △ CDE≌ △ CDM(SAS).$
$\therefore ∠DEC=∠DMC,DE=DM.$
$\because DB=DE,\therefore DB=DM. \therefore ∠B=∠DMB.$
又$\because ∠DMC+∠DMB=180^{\circ },\therefore ∠B+∠DEC=180^{\circ },$
即$∠B$ 与$∠DEC$ 互补.
(2)【解】$CF=CE+DE.$
证明:如图, 由 (1) 得 $DE = DM$, $∠B=∠DMB.$
$\because ∠B+2∠DFC=180^{\circ },∠DFC+∠DMB+∠FDM=180^{\circ },$
$\therefore ∠DFC=∠FDM. \therefore MF=DM=DE.$
$\therefore CF=CM+MF=CE+DE.$
解析
【分析】
(1)要证明∠B与∠DEC互补，即证∠B+∠DEC=180°。已知CD是△ABC的角平分线，可利用角平分线的对称性构造全等三角形转化边角：在BC上截取CM=CE，通过SAS证明△CDE≌△CDM，可得∠DEC=∠DMC、DE=DM；结合已知DE=DB，可推出DB=DM，即∠B=∠DMB，最后利用邻补角和为180°即可完成证明。
(2)要推导CF与CE、ED的等量关系，结合(1)的全等结论可得CE=CM、DE=DM，只需证明剩余线段MF=DE即可。根据已知∠B+2∠DFC=180°，结合三角形内角和定理可推导得∠DFC=∠FDM，根据等角对等边得MF=DM=DE，最后通过线段和的关系即可得出结论。
【解析】
(1)证明：如图，在 $BC$ 上截取 $CM=CE$，连接 $DM$。
$\because CD$ 是$△ ABC$ 的角平分线，$\therefore ∠DCE=∠DCM$。
在$△ CDE$ 和$△ CDM$ 中，$\because \begin{cases} CD=CD,\\ ∠DCE=∠DCM,\\ CE=CM,\end{cases}$
$\therefore △ CDE≌ △ CDM(SAS)$。
$\therefore ∠DEC=∠DMC,DE=DM$。
$\because DB=DE,\therefore DB=DM。 \therefore ∠B=∠DMB$。
又$\because ∠DMC+∠DMB=180^{\circ },\therefore ∠B+∠DEC=180^{\circ },$
即$∠B$ 与$∠DEC$ 互补。
(2)线段关系为$CF=CE+DE$，证明如下：
由 (1) 得 $DE = DM$, $∠B=∠DMB$。
$\because ∠B+2∠DFC=180^{\circ },∠DFC+∠DMB+∠FDM=180^{\circ },$
$\therefore ∠DFC=∠FDM。 \therefore MF=DM=DE$。
$\therefore CF=CM+MF=CE+DE$。
【答案】
(1) 已证∠B与∠DEC互补；
(2) $CF=CE+DE$
【知识点】
全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合类典型题型，核心考查截长补短法构造全等三角形的应用，解题时需结合角平分线的特征构造对称全等，实现边角的等量转化，再结合角度关系推导等腰三角形，进而求解线段和差问题，对辅助线构造能力和逻辑推理能力有一定锻炼价值。
【难度系数】
0.6
(1)要证明∠B与∠DEC互补，即证∠B+∠DEC=180°。已知CD是△ABC的角平分线，可利用角平分线的对称性构造全等三角形转化边角：在BC上截取CM=CE，通过SAS证明△CDE≌△CDM，可得∠DEC=∠DMC、DE=DM；结合已知DE=DB，可推出DB=DM，即∠B=∠DMB，最后利用邻补角和为180°即可完成证明。
(2)要推导CF与CE、ED的等量关系，结合(1)的全等结论可得CE=CM、DE=DM，只需证明剩余线段MF=DE即可。根据已知∠B+2∠DFC=180°，结合三角形内角和定理可推导得∠DFC=∠FDM，根据等角对等边得MF=DM=DE，最后通过线段和的关系即可得出结论。
【解析】
(1)证明：如图，在 $BC$ 上截取 $CM=CE$，连接 $DM$。
$\because CD$ 是$△ ABC$ 的角平分线，$\therefore ∠DCE=∠DCM$。
在$△ CDE$ 和$△ CDM$ 中，$\because \begin{cases} CD=CD,\\ ∠DCE=∠DCM,\\ CE=CM,\end{cases}$
$\therefore △ CDE≌ △ CDM(SAS)$。
$\therefore ∠DEC=∠DMC,DE=DM$。
$\because DB=DE,\therefore DB=DM。 \therefore ∠B=∠DMB$。
又$\because ∠DMC+∠DMB=180^{\circ },\therefore ∠B+∠DEC=180^{\circ },$
即$∠B$ 与$∠DEC$ 互补。
(2)线段关系为$CF=CE+DE$，证明如下：
由 (1) 得 $DE = DM$, $∠B=∠DMB$。
$\because ∠B+2∠DFC=180^{\circ },∠DFC+∠DMB+∠FDM=180^{\circ },$
$\therefore ∠DFC=∠FDM。 \therefore MF=DM=DE$。
$\therefore CF=CM+MF=CE+DE$。
【答案】
(1) 已证∠B与∠DEC互补；
(2) $CF=CE+DE$
【知识点】
全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合类典型题型，核心考查截长补短法构造全等三角形的应用，解题时需结合角平分线的特征构造对称全等，实现边角的等量转化，再结合角度关系推导等腰三角形，进而求解线段和差问题，对辅助线构造能力和逻辑推理能力有一定锻炼价值。
【难度系数】
0.6
