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1.如图,图中BC所对的圆周角有
1
个；$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角有2
个,分别是$∠ CBD,∠ CAD$
.答案
1. BC所对的圆周角有1个，$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角有2个，分别是$∠ CBD,∠ CAD$
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确圆周角的定义：顶点在圆上，且两边都和圆相交的角叫做圆周角。找某段弧所对的圆周角时，要满足两个条件：①角的顶点在圆上，且不位于这段弧上；②角的两条边分别经过这段弧的两个端点，我们按照这个规则分别对$\overset{\frown}{BC}$和$\overset{\frown}{CD}$对应的圆周角逐个排查即可。
【解析】
1. 找$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角：
圆上共有A、B、C、D四个点，排除在$\overset{\frown}{BC}$上的点B、C，剩余点A、D，观察可得只有1个符合条件的圆周角。
2. 找$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角：
排除在$\overset{\frown}{CD}$上的点C、D，剩余点A、B，符合条件的有2个，分别是顶点在B处的$∠CBD$，顶点在A处的$∠CAD$。
【答案】
1；2；$∠CBD,∠CAD$
【知识点】
圆周角的定义
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是牢记圆周角的定义，按照规则逐个排查，避免漏数或多数。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确圆周角的定义：顶点在圆上，且两边都和圆相交的角叫做圆周角。找某段弧所对的圆周角时，要满足两个条件：①角的顶点在圆上，且不位于这段弧上；②角的两条边分别经过这段弧的两个端点，我们按照这个规则分别对$\overset{\frown}{BC}$和$\overset{\frown}{CD}$对应的圆周角逐个排查即可。
【解析】
1. 找$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角：
圆上共有A、B、C、D四个点，排除在$\overset{\frown}{BC}$上的点B、C，剩余点A、D，观察可得只有1个符合条件的圆周角。
2. 找$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角：
排除在$\overset{\frown}{CD}$上的点C、D，剩余点A、B，符合条件的有2个，分别是顶点在B处的$∠CBD$，顶点在A处的$∠CAD$。
【答案】
1；2；$∠CBD,∠CAD$
【知识点】
圆周角的定义
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是牢记圆周角的定义，按照规则逐个排查，避免漏数或多数。
【难度系数】
0.8
2.（重庆中考）如图，点A，B，C在$\odot O$上，$∠ AOB=100°$，$∠ C$的度数是 （
A.$40°$
B.$50°$
C.$80°$
D.$100°$
B
）A.$40°$
B.$50°$
C.$80°$
D.$100°$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时先观察图形，首先明确∠AOB是⊙O的圆心角，∠C是⊙O的圆周角，二者所对的弧都是弧AB；接下来回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此只需用已知的圆心角度数除以2即可求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵∠AOB和∠C分别是弧AB所对的圆心角和圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，
∴$∠ C=\frac{1}{2}∠ AOB$，
又
∵$∠ AOB=100°$，
∴$∠ C=\frac{1}{2}×100°=50°$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，直接考查圆周角定理的应用，解题关键是准确识别同弧所对的圆心角和圆周角，是圆的性质中常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形，首先明确∠AOB是⊙O的圆心角，∠C是⊙O的圆周角，二者所对的弧都是弧AB；接下来回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此只需用已知的圆心角度数除以2即可求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵∠AOB和∠C分别是弧AB所对的圆心角和圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，
∴$∠ C=\frac{1}{2}∠ AOB$，
又
∵$∠ AOB=100°$，
∴$∠ C=\frac{1}{2}×100°=50°$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，直接考查圆周角定理的应用，解题关键是准确识别同弧所对的圆心角和圆周角，是圆的性质中常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 如图，AB是$\odot O$的直径，$∠ E=25°$，则$∠ BOD$的度数为 （
A.$25°$
B.$130°$
C.$140°$
D.$150°$
B
）A.$25°$
B.$130°$
C.$140°$
D.$150°$
答案
3.B
解析
【分析】
解题时先明确已知条件：AB是$\odot O$的直径，圆周角$∠ E=25°$。首先根据圆周角定理，找到$∠ E$所对的弧对应的圆心角，求出该圆心角的度数，再利用直径对应的平角为$180°$，即可求出$∠ BOD$的度数。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
$∠ E$是弧$AD$所对的圆周角，$∠ AOD$是弧$AD$所对的圆心角，因此：
$∠ AOD=2∠ E=2×25°=50°$
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$∠ AOB=180°$，因此：
$∠ BOD=180°-∠ AOD=180°-50°=130°$
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，平角的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是找准同弧对应的圆周角和圆心角，熟练运用圆周角定理结合平角的性质计算即可。
【难度系数】
0.7
解题时先明确已知条件：AB是$\odot O$的直径，圆周角$∠ E=25°$。首先根据圆周角定理，找到$∠ E$所对的弧对应的圆心角，求出该圆心角的度数，再利用直径对应的平角为$180°$，即可求出$∠ BOD$的度数。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
$∠ E$是弧$AD$所对的圆周角，$∠ AOD$是弧$AD$所对的圆心角，因此：
$∠ AOD=2∠ E=2×25°=50°$
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$∠ AOB=180°$，因此：
$∠ BOD=180°-∠ AOD=180°-50°=130°$
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，平角的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是找准同弧对应的圆周角和圆心角，熟练运用圆周角定理结合平角的性质计算即可。
【难度系数】
0.7
4.(扬州中考)如图,点A,B,C在⊙O上,∠BAC=50°,则∠OBC=
40
°.答案
4.40
解析
【分析】
要求∠OBC的度数，首先观察△OBC的特征：OB、OC都是⊙O的半径，因此△OBC是等腰三角形，只要先求出顶角∠BOC的度数，结合三角形内角和即可算出底角∠OBC。已知∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，根据圆周角定理可直接求出∠BOC的度数，后续代入计算即可。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。
∠BAC与∠BOC都是弧BC所对的角，其中∠BAC是圆周角，∠BOC是圆心角，因此：
$∠ BOC = 2∠ BAC = 2×50° = 100°$
2. 因为OB、OC都是⊙O的半径，所以$OB=OC$，△OBC为等腰三角形，故$∠ OBC=∠ OCB$。
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ OBC = (180° - ∠ BOC)÷2 = (180° - 100°)÷2 = 40°$
【答案】
40
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是找准同弧所对的圆周角和圆心角的对应关系，结合等腰三角形的性质即可快速求解，是圆周角定理应用的典型基础题。
【难度系数】
0.8
要求∠OBC的度数，首先观察△OBC的特征：OB、OC都是⊙O的半径，因此△OBC是等腰三角形，只要先求出顶角∠BOC的度数，结合三角形内角和即可算出底角∠OBC。已知∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，根据圆周角定理可直接求出∠BOC的度数，后续代入计算即可。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。
∠BAC与∠BOC都是弧BC所对的角，其中∠BAC是圆周角，∠BOC是圆心角，因此：
$∠ BOC = 2∠ BAC = 2×50° = 100°$
2. 因为OB、OC都是⊙O的半径，所以$OB=OC$，△OBC为等腰三角形，故$∠ OBC=∠ OCB$。
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ OBC = (180° - ∠ BOC)÷2 = (180° - 100°)÷2 = 40°$
【答案】
40
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是找准同弧所对的圆周角和圆心角的对应关系，结合等腰三角形的性质即可快速求解，是圆周角定理应用的典型基础题。
【难度系数】
0.8
5.如图,在$\odot O$中,弦AB,CD交于点E,连接AD,BC.若$∠ A=50°,∠ AED=100°$,则$∠ B$的度数为 （
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
A
）A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
5.A
解析
【分析】
解题可按以下思路推导：第一步，回忆圆周角定理推论：同弧所对的圆周角相等，观察可得∠A和∠C均为弧BD所对的圆周角，因此可推出∠C与∠A度数相等；第二步，根据对顶角相等的性质，可得∠BEC和已知的∠AED度数相同；第三步，在△BEC中，利用三角形内角和为180°，代入已知角度即可算出∠B的度数。
【解析】
解：
∵ ∠A与∠C都是弧BD所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，
∴ ∠C = ∠A = 50°，
∵ ∠AED与∠BEC是对顶角，
∴ ∠BEC = ∠AED = 100°，
在△BEC中，由三角形内角和为180°可得：
∠B = 180° - ∠BEC - ∠C = 180° - 100° - 50° = 30°。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理推论，三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题属于基础题，结合了圆周角性质、三角形内角和、对顶角三个基础知识点进行考查，解题的核心是熟练掌握同弧所对圆周角相等的性质，能快速找到相等的角进行代换。
【难度系数】
0.8
解题可按以下思路推导：第一步，回忆圆周角定理推论：同弧所对的圆周角相等，观察可得∠A和∠C均为弧BD所对的圆周角，因此可推出∠C与∠A度数相等；第二步，根据对顶角相等的性质，可得∠BEC和已知的∠AED度数相同；第三步，在△BEC中，利用三角形内角和为180°，代入已知角度即可算出∠B的度数。
【解析】
解：
∵ ∠A与∠C都是弧BD所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，
∴ ∠C = ∠A = 50°，
∵ ∠AED与∠BEC是对顶角，
∴ ∠BEC = ∠AED = 100°，
在△BEC中，由三角形内角和为180°可得：
∠B = 180° - ∠BEC - ∠C = 180° - 100° - 50° = 30°。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理推论，三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题属于基础题，结合了圆周角性质、三角形内角和、对顶角三个基础知识点进行考查，解题的核心是熟练掌握同弧所对圆周角相等的性质，能快速找到相等的角进行代换。
【难度系数】
0.8
6.(新疆中考)如图,CD是$\odot O$的直径,AB是弦,$AB⊥CD,∠ADC=30^{\circ }$,则$∠BOC$的度数为(
A.$30^{\circ }$
B.$45^{\circ }$
C.$60^{\circ }$
D.$75^{\circ }$
C
)A.$30^{\circ }$
B.$45^{\circ }$
C.$60^{\circ }$
D.$75^{\circ }$
答案
6.C
解析
【分析】
解题时先结合已知条件定位用到的圆的性质：首先CD是⊙O的直径且AB⊥CD，可通过垂径定理得到$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，因此两段弧对应的圆心角∠AOC和∠BOC相等；再根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，结合已知∠ADC=30°求出∠AOC的度数，即可得到∠BOC的大小。
【解析】
解：
1. 因为CD是$\odot O$的直径，且$AB⊥ CD$，根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，因此$∠ AOC=∠ BOC$。
2. $∠ ADC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，$∠ AOC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可得$∠ AOC=2∠ ADC$。
3. 已知$∠ ADC=30°$，代入得$∠ AOC=2×30°=60°$，因此$∠ BOC=∠ AOC=60°$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理、圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础性质的典型考题，解题的核心是准确识别同弧对应的圆周角和圆心角，结合垂径定理推导相等的弧对应的圆心角相等即可快速求解，是圆章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件定位用到的圆的性质：首先CD是⊙O的直径且AB⊥CD，可通过垂径定理得到$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，因此两段弧对应的圆心角∠AOC和∠BOC相等；再根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，结合已知∠ADC=30°求出∠AOC的度数，即可得到∠BOC的大小。
【解析】
解：
1. 因为CD是$\odot O$的直径，且$AB⊥ CD$，根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，因此$∠ AOC=∠ BOC$。
2. $∠ ADC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，$∠ AOC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可得$∠ AOC=2∠ ADC$。
3. 已知$∠ ADC=30°$，代入得$∠ AOC=2×30°=60°$，因此$∠ BOC=∠ AOC=60°$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理、圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础性质的典型考题，解题的核心是准确识别同弧对应的圆周角和圆心角，结合垂径定理推导相等的弧对应的圆心角相等即可快速求解，是圆章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.7
7. 工人师傅用直角曲尺检查验收半圆形工件，下列为合格的“半圆形工件”的是 （
B
）答案
7.B
解析
【分析】
要判断半圆形工件是否合格，本质是验证工件的弧形部分是否为半圆、对应直边是否为直径。根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，我们可以借助角尺的直角构造90°的圆周角，若该圆周角的两边与弧的交点恰好是工件直边的两个端点，就说明直边为直径、弧形为半圆，工件合格。
【解析】
根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，对四个选项逐一判断：
A：角尺的直角顶点未落在弧形工件的弧上，无法构造对应直边的圆周角，不能验证直边是直径，工件不合格；
B：角尺的直角顶点落在弧上，角尺的两条边恰好经过工件直边的两个端点，说明这个90°圆周角所对的弦就是工件的直边，即直边为直径，对应弧是半圆，工件合格；
C：角尺的两边未经过工件直边的端点，无法证明直边为直径，工件不合格；
D：角尺的两边未经过工件直边的端点，无法证明直边为直径，工件不合格。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理的推论
【点评】
本题结合生产实际场景考查几何定理的应用，解题的关键是理解角尺的直角对应90°的圆周角，将实际检验问题转化为圆周角定理的应用问题，侧重对知识灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
要判断半圆形工件是否合格，本质是验证工件的弧形部分是否为半圆、对应直边是否为直径。根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，我们可以借助角尺的直角构造90°的圆周角，若该圆周角的两边与弧的交点恰好是工件直边的两个端点，就说明直边为直径、弧形为半圆，工件合格。
【解析】
根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，对四个选项逐一判断：
A：角尺的直角顶点未落在弧形工件的弧上，无法构造对应直边的圆周角，不能验证直边是直径，工件不合格；
B：角尺的直角顶点落在弧上，角尺的两条边恰好经过工件直边的两个端点，说明这个90°圆周角所对的弦就是工件的直边，即直边为直径，对应弧是半圆，工件合格；
C：角尺的两边未经过工件直边的端点，无法证明直边为直径，工件不合格；
D：角尺的两边未经过工件直边的端点，无法证明直边为直径，工件不合格。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理的推论
【点评】
本题结合生产实际场景考查几何定理的应用，解题的关键是理解角尺的直角对应90°的圆周角，将实际检验问题转化为圆周角定理的应用问题，侧重对知识灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
8.(青海中考)如图，AB是$\odot O$的直径，$∠ CAB=40°$，则$∠ ADC$的度数为 （
A.$80°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$25°$
B
）A.$80°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$25°$
答案
8.B
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：AB是圆的直径，首先联想到直径所对的圆周角为直角，可得到Rt△ACB；已知∠CAB的度数，利用直角三角形两锐角互余可求出∠ABC的度数；最后根据同弧所对的圆周角相等，即可得到∠ADC的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ACB中，∠CAB=40°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=90°-40°=50°，
又
∵∠ADC和∠ABC都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ADC=∠ABC=50°（同弧所对的圆周角相等）。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理及其推论；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆周角相关的基础题，解题关键是熟练掌握直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等两个核心结论，计算难度较低，是圆相关角度计算的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征：AB是圆的直径，首先联想到直径所对的圆周角为直角，可得到Rt△ACB；已知∠CAB的度数，利用直角三角形两锐角互余可求出∠ABC的度数；最后根据同弧所对的圆周角相等，即可得到∠ADC的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ACB中，∠CAB=40°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=90°-40°=50°，
又
∵∠ADC和∠ABC都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ADC=∠ABC=50°（同弧所对的圆周角相等）。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理及其推论；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆周角相关的基础题，解题关键是熟练掌握直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等两个核心结论，计算难度较低，是圆相关角度计算的常考题型。
【难度系数】
0.7
9.(常州中考)如图，AB是$\odot O$的直径，CD是$\odot O$的弦.若$∠ DCB=45°$，AD=1，则AB=
$\sqrt{2}$
.答案
9.$\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：第一步，根据圆周角定理的推论，同弧所对的圆周角相等，可得∠DAB与已知的∠DCB相等，先求出∠DAB的度数；第二步，结合AB是直径的条件，利用“直径所对的圆周角是直角”判断出△ADB是直角三角形；第三步，结合∠DAB=45°可判定△ADB为等腰直角三角形，最后用勾股定理计算AB的长度即可。
【解析】
∵ ∠DCB和∠DAB都是弧BD所对的圆周角，
∴ ∠DAB=∠DCB=45°，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90°（直径所对的圆周角为直角），
∴ △ADB是等腰直角三角形，即BD=AD=1，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
同弧所对圆周角相等；直径所对圆周角是直角；勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题核心是通过圆周角定理的推论得到角度关系，进而判断出等腰直角三角形，解题思路清晰，是圆周角相关知识的典型考查题型。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：第一步，根据圆周角定理的推论，同弧所对的圆周角相等，可得∠DAB与已知的∠DCB相等，先求出∠DAB的度数；第二步，结合AB是直径的条件，利用“直径所对的圆周角是直角”判断出△ADB是直角三角形；第三步，结合∠DAB=45°可判定△ADB为等腰直角三角形，最后用勾股定理计算AB的长度即可。
【解析】
∵ ∠DCB和∠DAB都是弧BD所对的圆周角，
∴ ∠DAB=∠DCB=45°，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90°（直径所对的圆周角为直角），
∴ △ADB是等腰直角三角形，即BD=AD=1，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
同弧所对圆周角相等；直径所对圆周角是直角；勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题核心是通过圆周角定理的推论得到角度关系，进而判断出等腰直角三角形，解题思路清晰，是圆周角相关知识的典型考查题型。
【难度系数】
0.7
10. 如图，AB是$\odot O$的直径，D是弦AC的延长线上的一点，DB的延长线交$\odot O$于点E，且$CD=CE$.
(1)求证：$AC=CD$；
(2)连接AE，若$∠ D=25°$，求$∠ BAE$的度数.
(1)求证：$AC=CD$；
(2)连接AE，若$∠ D=25°$，求$∠ BAE$的度数.
答案
10.解:(1)证明:连接 BC. $\because CD=CE, \therefore ∠ CED=∠ D. \because ∠ CED=∠ CAB, \therefore ∠ D=∠ CAB. \therefore DB=AB. \because AB$ 是$\odot O$的直径, $\therefore ∠ ACB=90°. \because DB=AB, BC⊥ AD, \therefore AC=CD.$
(2)由(1)得,$∠ D=∠ CAB, \because ∠ D=25°, \therefore ∠ ABE=∠ D+∠ CAB=2∠ D=50°. \because AB$ 是$\odot O$的直径, $\therefore ∠ AEB=90°. \therefore ∠ BAE=90°-∠ ABE=40°.$
(2)由(1)得,$∠ D=∠ CAB, \because ∠ D=25°, \therefore ∠ ABE=∠ D+∠ CAB=2∠ D=50°. \because AB$ 是$\odot O$的直径, $\therefore ∠ AEB=90°. \therefore ∠ BAE=90°-∠ ABE=40°.$
解析
【分析】
(1)要证明AC=CD，可通过等腰三角形“三线合一”的性质推导：首先连接辅助线BC，利用已知CD=CE得到等角，再通过同弧所对圆周角相等完成角的转化，证得AB=BD；再根据直径所对圆周角为直角得到BC⊥AD，即可由三线合一推出AC=CD。
(2)求∠BAE的度数，先由(1)的结论得到∠CAB=∠D，利用三角形外角性质求出∠ABE的度数，再结合直径所对圆周角为直角，在Rt△AEB中利用直角三角形两锐角互余即可计算出∠BAE的度数。
【解析】
(1)证明：连接BC。
∵CD=CE，
∴∠CED=∠D。
∵∠CED和∠CAB都是弧BC所对的圆周角，
∴∠CED=∠CAB，
∴∠D=∠CAB，
∴DB=AB。
∵AB是$\odot O$的直径，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AD。
又
∵DB=AB，
∴AC=CD。
(2)解：由(1)得∠D=∠CAB，
∵∠D=25°，
∴∠CAB=25°，
∠ABE是△ABD的外角，
∴∠ABE=∠D+∠CAB=25°+25°=50°。
∵AB是$\odot O$的直径，
∴∠AEB=90°，
在Rt△AEB中，∠BAE=90°-∠ABE=90°-50°=40°。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$\boldsymbol{∠BAE=40°}$
【知识点】
圆周角定理及其推论；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形的基础综合题，解题的关键是合理添加辅助线BC，利用直径所对圆周角为直角的性质，结合等腰三角形、直角三角形以及三角形外角的性质求解，注重对几何基础推理能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1)要证明AC=CD，可通过等腰三角形“三线合一”的性质推导：首先连接辅助线BC，利用已知CD=CE得到等角，再通过同弧所对圆周角相等完成角的转化，证得AB=BD；再根据直径所对圆周角为直角得到BC⊥AD，即可由三线合一推出AC=CD。
(2)求∠BAE的度数，先由(1)的结论得到∠CAB=∠D，利用三角形外角性质求出∠ABE的度数，再结合直径所对圆周角为直角，在Rt△AEB中利用直角三角形两锐角互余即可计算出∠BAE的度数。
【解析】
(1)证明：连接BC。
∵CD=CE，
∴∠CED=∠D。
∵∠CED和∠CAB都是弧BC所对的圆周角，
∴∠CED=∠CAB，
∴∠D=∠CAB，
∴DB=AB。
∵AB是$\odot O$的直径，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AD。
又
∵DB=AB，
∴AC=CD。
(2)解：由(1)得∠D=∠CAB，
∵∠D=25°，
∴∠CAB=25°，
∠ABE是△ABD的外角，
∴∠ABE=∠D+∠CAB=25°+25°=50°。
∵AB是$\odot O$的直径，
∴∠AEB=90°，
在Rt△AEB中，∠BAE=90°-∠ABE=90°-50°=40°。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$\boldsymbol{∠BAE=40°}$
【知识点】
圆周角定理及其推论；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形的基础综合题，解题的关键是合理添加辅助线BC，利用直径所对圆周角为直角的性质，结合等腰三角形、直角三角形以及三角形外角的性质求解，注重对几何基础推理能力的考查。
【难度系数】
0.7
