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1. 如图所示是一个长20 m、宽16 m的矩形花园，根据需要将它的长缩短x m，宽增加x m，要想使重修后的花园面积达到最大，则x应为（
A.1
B.1.5
C.2
D.4
C
）A.1
B.1.5
C.2
D.4
答案
设重修后的花园面积为 S m²,由题意可得 S = (20 - x)(16 + x) = -(x - 2)² + 324.
∵ -1 ＜ 0,
∴ S 有最大值,即当 x = 2 时,S 取得最大值.
∵ -1 ＜ 0,
∴ S 有最大值,即当 x = 2 时,S 取得最大值.
2. [2025淮北一中段考]如图，用总长度为12 m的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与AD，AB平行，则矩形框架ABCD的最大面积为（
A.$4\ \mathrm{m}^2$
B.$6\ \mathrm{m}^2$
C.$8\ \mathrm{m}^2$
D.$12\ \mathrm{m}^2$
A
）A.$4\ \mathrm{m}^2$
B.$6\ \mathrm{m}^2$
C.$8\ \mathrm{m}^2$
D.$12\ \mathrm{m}^2$
答案
设AB为x m,则AD = $\frac{12-3x}{3} = (4-x)$ m,
∴ $S_{\mathrm{矩形框架}ABCD} = AB · AD = -x^2 + 4x = -(x-2)^2 + 4$,
∴ 当x=2时,$S_{\mathrm{矩形框架}ABCD}$取得最大值,为4,即矩形框架ABCD的最大面积为4 $\mathrm{m}^2$.
∴ $S_{\mathrm{矩形框架}ABCD} = AB · AD = -x^2 + 4x = -(x-2)^2 + 4$,
∴ 当x=2时,$S_{\mathrm{矩形框架}ABCD}$取得最大值,为4,即矩形框架ABCD的最大面积为4 $\mathrm{m}^2$.
3. [2026杭州上城区期中]如图,是小关设计的风筝草图ABCD,其中风筝的两根龙骨AC和BD互相垂直,若他计划用长为100 cm的毛竹制作风筝的龙骨(不计损耗),且要求$AC≥ \frac{3}{2}BD$,则当龙骨BD的长为
40
cm时,四边形ABCD的面积最大,此时的最大面积是1 200
$cm^2$.答案
设BD = x cm(x ＞ 0),AC = (100 - x) cm,由题意可得 $100 - x ≥ \frac{3}{2}x$,解得 $x ≤ 40$. 四边形ABCD的面积$S = \frac{1}{2}AC · BD = \frac{1}{2}(100 - x) · x = -\frac{1}{2}x^2 + 50x = -\frac{1}{2}(x - 50)^2 + 1\ 250$.
∵ $-\frac{1}{2} ＜ 0$,
∴ 当x ＜ 50时,S随x的增大而增大.
∵ 0 ＜ x ≤ 40,
∴ 当x = 40时,S值最大,最大值为 $-\frac{1}{2}(40 - 50)^2 + 1\ 250 = 1\ 200$.
∵ $-\frac{1}{2} ＜ 0$,
∴ 当x ＜ 50时,S随x的增大而增大.
∵ 0 ＜ x ≤ 40,
∴ 当x = 40时,S值最大,最大值为 $-\frac{1}{2}(40 - 50)^2 + 1\ 250 = 1\ 200$.
4. [2025中山期中]把一根长30 cm的铁丝分为两部分，每一部分均弯曲成一个正三角形，它们的面积和的最小值是
$\frac{25\sqrt{3}}{2}$
cm².答案
设第一个等边三角形的边长为x cm,则第二个等边三角形的边长为(10 - x) cm,设两个三角形的面积和为y cm²,由题意可得 $y = \frac{\sqrt{3}}{4}x^2 + \frac{\sqrt{3}}{4}(10 - x)^2 = \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 - 5\sqrt{3}x + 25\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}(x - 5)^2 + \frac{25\sqrt{3}}{2}$.
∵ $\frac{\sqrt{3}}{2} ＞ 0$,
∴ 当x = 5时,y取最小值,为$\frac{25\sqrt{3}}{2}$.
∵ $\frac{\sqrt{3}}{2} ＞ 0$,
∴ 当x = 5时,y取最小值,为$\frac{25\sqrt{3}}{2}$.
5. [2026合肥庐阳区期中]如图,要在屋前的空地上围一个矩形花圃ABCD,花圃的一边靠墙(墙足够长),另三边用篱笆围成,篱笆总长14 m,在与墙平行的一边开一个宽2 m的门.设垂直于墙的一边AB为x m.
(1)用含有x的代数式表示边BC的长为
(2)当矩形花圃ABCD的面积最大时,求AB边的长,并求出矩形花圃面积的最大值.
(1)用含有x的代数式表示边BC的长为
16-2x
m.(2)当矩形花圃ABCD的面积最大时,求AB边的长,并求出矩形花圃面积的最大值.
答案
(1) 16-2x
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ AB = CD = x m,则 BC = 14 - 2x + 2 = (16 - 2x) m. (关键:篱笆所围墙的中间有门,则几面围墙长度和 = 篱笆总长 + 门的宽度)
(2)设矩形花圃面积为 S m²,
则 $S = AB · BC = x · (16 - 2x) = -2x^2 + 16x = -2(x - 4)^2 + 32$,
∵ x ＞ 0,16 - 2x ＞ 0,
∴ 0 ＜ x ＜ 8,
∴ 当 x = 4 时,矩形花圃面积最大,为 32 m².
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ AB = CD = x m,则 BC = 14 - 2x + 2 = (16 - 2x) m. (关键:篱笆所围墙的中间有门,则几面围墙长度和 = 篱笆总长 + 门的宽度)
(2)设矩形花圃面积为 S m²,
则 $S = AB · BC = x · (16 - 2x) = -2x^2 + 16x = -2(x - 4)^2 + 32$,
∵ x ＞ 0,16 - 2x ＞ 0,
∴ 0 ＜ x ＜ 8,
∴ 当 x = 4 时,矩形花圃面积最大,为 32 m².
6. [2025上海静安区期中]如图是400米跑道示意图，中间的足球场ABCD是矩形，两边是半圆，直道AB的长是多少？你一定知道是100米！可你也许不知道，这不仅仅为了比赛的需要，还有另外一个原因，等你做完本题就明白了.设AB=x米.
(1)请用含x的代数式表示BC.
(2)设矩形ABCD的面积为S平方米.
①求出S关于x的函数表达式.
②当直道AB为多少米时，矩形ABCD的面积最大？
(1)请用含x的代数式表示BC.
(2)设矩形ABCD的面积为S平方米.
①求出S关于x的函数表达式.
②当直道AB为多少米时，矩形ABCD的面积最大？
答案
(1)由题意可得 $\frac{1}{2}π · BC = \frac{400 - 2x}{2}$,
∴ $BC = \frac{400 - 2x}{π}$.
(2)①
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ $S = BC · AB = \frac{400 - 2x}{π} · x = -\frac{2}{π}(x - 100)^2 + \frac{20\ 000}{π}$.
②
∵ $-\frac{2}{π} ＜ 0$,
∴ 当 x = 100 时,S取得最大值,
即当直道AB为100米时,矩形ABCD的面积最大.
∴ $BC = \frac{400 - 2x}{π}$.
(2)①
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ $S = BC · AB = \frac{400 - 2x}{π} · x = -\frac{2}{π}(x - 100)^2 + \frac{20\ 000}{π}$.
②
∵ $-\frac{2}{π} ＜ 0$,
∴ 当 x = 100 时,S取得最大值,
即当直道AB为100米时,矩形ABCD的面积最大.
