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8. 从-3,-2,-1,4,5中任取两个数相加,若所得的和的最大值是a,最小值是b,则a+b的值是 (
A.-2
B.-3
C.3
D.4
D
)A.-2
B.-3
C.3
D.4
答案
6×4÷2 = 12（平方厘米）
12÷2 = 6（平方厘米）
答：涂色部分的面积是6平方厘米。
12÷2 = 6（平方厘米）
答：涂色部分的面积是6平方厘米。
9. 改编题 若$a＜0,b＞0$,且$|a|＞|b|$,则$a+b$表示为（
A.$|a|-|b|$
B.$-(|a|-|b|)$
C.$|a|+|b|$
D.$-(|a|+|b|)$
B
）A.$|a|-|b|$
B.$-(|a|-|b|)$
C.$|a|+|b|$
D.$-(|a|+|b|)$
答案
1.
测量得平行四边形的底为40mm，高为20mm
40×20=800(mm²)
2.
测量得三角形的底为35mm，高为25mm
35×25÷2=437.5(mm²)
3.
测量得梯形的上底为45mm，下底为20mm，高为20mm
(45+20)×20÷2=650(mm²)
答：平行四边形的面积是800mm²，三角形的面积是437.5mm²，梯形的面积是650mm²。
（注：以上测量数据为符合图形比例的合理示例，实际计算以学生自己测量的真实数据为准）
测量得平行四边形的底为40mm，高为20mm
40×20=800(mm²)
2.
测量得三角形的底为35mm，高为25mm
35×25÷2=437.5(mm²)
3.
测量得梯形的上底为45mm，下底为20mm，高为20mm
(45+20)×20÷2=650(mm²)
答：平行四边形的面积是800mm²，三角形的面积是437.5mm²，梯形的面积是650mm²。
（注：以上测量数据为符合图形比例的合理示例，实际计算以学生自己测量的真实数据为准）
10.若$|a+2|$与$|b-3|$互为相反数，则$a+b$的值是
1
答案
26×17=442（平方米）
答：这个口袋公园的面积约是442平方米。
答：这个口袋公园的面积约是442平方米。
11. (1)已知$|a|=7,|b|=3$,且$a＜b$,则$a+b=$
(2)已知$|x|=8,|y|=3,|x+y|=x+y$,则$x+y=$
-4或-10
;(2)已知$|x|=8,|y|=3,|x+y|=x+y$,则$x+y=$
5或11
.答案
54×45÷2 = 1215（平方米）
1215÷5 = 243（棵）
答：这块林地一共可以种243棵松树。
1215÷5 = 243（棵）
答：这块林地一共可以种243棵松树。
12. 如图,在每个“○”中填入一个整数,使得其中任意四个相邻“○”中所填整数之和都相等,可得d的值为
8
. 答案
方案一面积：
$(40 - 10)×8÷2$
$= 30×8÷2$
$= 120$（平方米）
方案二面积：
$(40 - 10)×10÷2$
$= 30×10÷2$
$= 150$（平方米）
$150 ＞ 120$
答：方案二围出的面积大。
$(40 - 10)×8÷2$
$= 30×8÷2$
$= 120$（平方米）
方案二面积：
$(40 - 10)×10÷2$
$= 30×10÷2$
$= 150$（平方米）
$150 ＞ 120$
答：方案二围出的面积大。
13. 设用符号$(a,b)$表示$a,b$两数中较小的数，用符号$[a,b]$表示$a,b$两数中较大的数，试求下列各式的值（“+”的运算规则同有理数加法）.
(1) $(-5,-0.5)+[-4,2]$；
(2) $(-1\frac{1}{2},3)+[-4,(-\frac{11}{3},-7)]$.
(1) $(-5,-0.5)+[-4,2]$；
(2) $(-1\frac{1}{2},3)+[-4,(-\frac{11}{3},-7)]$.
答案
13. (1)$(-5,-0.5)+[-4,2]=-5+2=-3$.
(2) $(-1\dfrac{1}{2},3)+[-4,(-\dfrac{11}{3},-7)]=-1\dfrac{1}{2}+[-4,-7]=-1\dfrac{1}{2}+(-4)=-5\dfrac{1}{2}$.
(2) $(-1\dfrac{1}{2},3)+[-4,(-\dfrac{11}{3},-7)]=-1\dfrac{1}{2}+[-4,-7]=-1\dfrac{1}{2}+(-4)=-5\dfrac{1}{2}$.
解析
【分析】
解题前先明确题中两个新符号的含义：$(a,b)$表示取$a$、$b$两个数中较小的数，$[a,b]$表示取$a$、$b$两个数中较大的数。运算顺序和有理数混合运算顺序一致，有多层括号时先算最内层括号，再向外逐层计算，最后将得到的数按有理数加法法则计算结果即可。计算过程中要注意负数比较大小的规则：两个负数比较，绝对值大的数更小。
【解析】
(1) 先分别计算两个符号对应的值：
因为$-5 ＜ -0.5$，所以$(-5,-0.5) = -5$；
因为$2 ＞ -4$，所以$[-4,2] = 2$；
再计算加法：$(-5) + 2 = -3$。
(2) 先算最内层的括号：
先比较$-\dfrac{11}{3}$和$-7$的大小，$\left|-\dfrac{11}{3}\right|=\dfrac{11}{3}$，$|-7|=7$，因为$7＞\dfrac{11}{3}$，所以$-7 ＜ -\dfrac{11}{3}$，因此$(-\dfrac{11}{3},-7)=-7$；
再计算中括号的值：因为$-4 ＞ -7$，所以$[-4,-7]=-4$；
再计算前面的小括号：因为$-1\dfrac{1}{2} ＜ 3$，所以$(-1\dfrac{1}{2},3)=-1\dfrac{1}{2}$；
最后计算加法：$-1\dfrac{1}{2} + (-4) = -5\dfrac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$
(2) $\boldsymbol{-5\dfrac{1}{2}}$
【知识点】
新定义运算，有理数大小比较，有理数加法
【点评】
本题是新定义类基础运算题，解题核心是准确理解新符号的取值规则，按照运算顺序逐步计算，注意负数比较大小和有理数加法的符号判断，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
解题前先明确题中两个新符号的含义：$(a,b)$表示取$a$、$b$两个数中较小的数，$[a,b]$表示取$a$、$b$两个数中较大的数。运算顺序和有理数混合运算顺序一致，有多层括号时先算最内层括号，再向外逐层计算，最后将得到的数按有理数加法法则计算结果即可。计算过程中要注意负数比较大小的规则：两个负数比较，绝对值大的数更小。
【解析】
(1) 先分别计算两个符号对应的值：
因为$-5 ＜ -0.5$，所以$(-5,-0.5) = -5$；
因为$2 ＞ -4$，所以$[-4,2] = 2$；
再计算加法：$(-5) + 2 = -3$。
(2) 先算最内层的括号：
先比较$-\dfrac{11}{3}$和$-7$的大小，$\left|-\dfrac{11}{3}\right|=\dfrac{11}{3}$，$|-7|=7$，因为$7＞\dfrac{11}{3}$，所以$-7 ＜ -\dfrac{11}{3}$，因此$(-\dfrac{11}{3},-7)=-7$；
再计算中括号的值：因为$-4 ＞ -7$，所以$[-4,-7]=-4$；
再计算前面的小括号：因为$-1\dfrac{1}{2} ＜ 3$，所以$(-1\dfrac{1}{2},3)=-1\dfrac{1}{2}$；
最后计算加法：$-1\dfrac{1}{2} + (-4) = -5\dfrac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$
(2) $\boldsymbol{-5\dfrac{1}{2}}$
【知识点】
新定义运算，有理数大小比较，有理数加法
【点评】
本题是新定义类基础运算题，解题核心是准确理解新符号的取值规则，按照运算顺序逐步计算，注意负数比较大小和有理数加法的符号判断，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
14. 一只蚂蚁从点O出发,在一条直线上来回爬行.假定把向右爬行的路程记为正数,向左爬行的路程记为负数,则蚂蚁爬行的各段路程(单位:cm)依次为+5,-3,+9,-8,-6,+12,-9.
(1)蚂蚁最后是否回到了出发点O?
(2)第
(3)在爬行过程中,如果每爬行1 cm奖励一粒糖,那么蚂蚁一共可以得到多少粒糖?
(1)蚂蚁最后是否回到了出发点O?
(2)第
三
次爬行后蚂蚁距离出发点O最远.(3)在爬行过程中,如果每爬行1 cm奖励一粒糖,那么蚂蚁一共可以得到多少粒糖?
答案
14. (1)因为$(+5)+(-3)+(+9)+(-8)+(-6)+(+12)+(-9)=0$,所以蚂蚁最后回到了出发点O.
(2)三 解析:第一次爬行距离点O为5 cm,第二次爬行距离点O为5-3=2(cm),第三次爬行距离点O为2+9=11(cm),第四次爬行距离点O为11-8=3(cm),第五次爬行距离点O为$|3+(-6)|=|-3|=3$(cm),第六次爬行距离点O为-3+12=9(cm),第七次爬行距离点O为9-9=0(cm),所以第三次爬行后距离出发点O最远.
(3)爬行的总路程为$|+5|+|-3|+|+9|+|-8|+|-6|+|+12|+|-9|=5+3+9+8+6+12+9=52$(cm),$52×1=52$(粒).所以蚂蚁一共可以得到52粒糖.
(2)三 解析:第一次爬行距离点O为5 cm,第二次爬行距离点O为5-3=2(cm),第三次爬行距离点O为2+9=11(cm),第四次爬行距离点O为11-8=3(cm),第五次爬行距离点O为$|3+(-6)|=|-3|=3$(cm),第六次爬行距离点O为-3+12=9(cm),第七次爬行距离点O为9-9=0(cm),所以第三次爬行后距离出发点O最远.
(3)爬行的总路程为$|+5|+|-3|+|+9|+|-8|+|-6|+|+12|+|-9|=5+3+9+8+6+12+9=52$(cm),$52×1=52$(粒).所以蚂蚁一共可以得到52粒糖.
解析
【分析】
(1) 判断蚂蚁是否回到出发点，只需将所有爬行路程的代数值相加，若结果为0，说明最终位置与出发点重合，反之则没有回到。
(2) 找距离出发点最远的次数，需要依次计算每次爬行结束后蚂蚁相对O点的距离（即每次累加结果的绝对值），再比较各次距离的大小，最大距离对应的次数即为答案。
(3) 奖励只和爬行总长度有关，和方向无关，因此需要计算所有路程的绝对值之和，总长度是多少厘米就能得到多少粒糖。
【解析】
(1) 计算所有爬行路程的代数和：
$\begin{aligned}(+5)+(-3)+(+9)+(-8)+(-6)+(+12)+(-9)&=2+9-8-6+12-9\\&=11-8-6+12-9\\&=3-6+12-9\\&=-3+12-9\\&=0\end{aligned}$
因此蚂蚁最后回到了出发点O。
(2) 逐次计算每次爬行后距离O点的距离：
第1次：$|+5|=5\ \mathrm{cm}$
第2次：$|+5+(-3)|=|2|=2\ \mathrm{cm}$
第3次：$|2+(+9)|=|11|=11\ \mathrm{cm}$
第4次：$|11+(-8)|=|3|=3\ \mathrm{cm}$
第5次：$|3+(-6)|=|-3|=3\ \mathrm{cm}$
第6次：$|-3+(+12)|=|9|=9\ \mathrm{cm}$
第7次：$|9+(-9)|=|0|=0\ \mathrm{cm}$
比较可知11cm最大，因此第三次爬行后距离出发点O最远。
(3) 计算爬行总路程（各段路程绝对值之和）：
$\begin{aligned}|+5|+|-3|+|+9|+|-8|+|-6|+|+12|+|-9|&=5+3+9+8+6+12+9\\&=52\ \mathrm{cm}\end{aligned}$
每爬行1cm奖励1粒糖，总糖数为$52×1=52$（粒）。
【答案】
(1) 蚂蚁最后回到了出发点O；
(2) 三；
(3) 蚂蚁一共可以得到52粒糖。
【知识点】
正负数的实际意义，有理数的加法，绝对值的应用
【点评】
本题结合生活情境考查有理数相关知识的应用，解题时要注意区分“相对出发点的位置”和“总爬行路程”的计算差异：前者是求各数的代数和，后者是求各数的绝对值之和，避免混淆概念出错。
【难度系数】
0.7
(1) 判断蚂蚁是否回到出发点，只需将所有爬行路程的代数值相加，若结果为0，说明最终位置与出发点重合，反之则没有回到。
(2) 找距离出发点最远的次数，需要依次计算每次爬行结束后蚂蚁相对O点的距离（即每次累加结果的绝对值），再比较各次距离的大小，最大距离对应的次数即为答案。
(3) 奖励只和爬行总长度有关，和方向无关，因此需要计算所有路程的绝对值之和，总长度是多少厘米就能得到多少粒糖。
【解析】
(1) 计算所有爬行路程的代数和：
$\begin{aligned}(+5)+(-3)+(+9)+(-8)+(-6)+(+12)+(-9)&=2+9-8-6+12-9\\&=11-8-6+12-9\\&=3-6+12-9\\&=-3+12-9\\&=0\end{aligned}$
因此蚂蚁最后回到了出发点O。
(2) 逐次计算每次爬行后距离O点的距离：
第1次：$|+5|=5\ \mathrm{cm}$
第2次：$|+5+(-3)|=|2|=2\ \mathrm{cm}$
第3次：$|2+(+9)|=|11|=11\ \mathrm{cm}$
第4次：$|11+(-8)|=|3|=3\ \mathrm{cm}$
第5次：$|3+(-6)|=|-3|=3\ \mathrm{cm}$
第6次：$|-3+(+12)|=|9|=9\ \mathrm{cm}$
第7次：$|9+(-9)|=|0|=0\ \mathrm{cm}$
比较可知11cm最大，因此第三次爬行后距离出发点O最远。
(3) 计算爬行总路程（各段路程绝对值之和）：
$\begin{aligned}|+5|+|-3|+|+9|+|-8|+|-6|+|+12|+|-9|&=5+3+9+8+6+12+9\\&=52\ \mathrm{cm}\end{aligned}$
每爬行1cm奖励1粒糖，总糖数为$52×1=52$（粒）。
【答案】
(1) 蚂蚁最后回到了出发点O；
(2) 三；
(3) 蚂蚁一共可以得到52粒糖。
【知识点】
正负数的实际意义，有理数的加法，绝对值的应用
【点评】
本题结合生活情境考查有理数相关知识的应用，解题时要注意区分“相对出发点的位置”和“总爬行路程”的计算差异：前者是求各数的代数和，后者是求各数的绝对值之和，避免混淆概念出错。
【难度系数】
0.7
15.【观察】
(1)比较大小:
①$|-2|+|3|$
②$|4|+|-5|$
③$\left|-\dfrac{1}{2}\right|+\left|-\dfrac{1}{3}\right|$
④$|-5|+|0|$
【归纳】
(2)通过(1)中的大小比较,猜想并归纳出$|a|+|b|$与$|a+b|$的大小关系,并说明$a,b$满足什么关系时,$|a|+|b|=|a+b|$成立.
【应用】
(3)当$|x|+|-199|=|x+(-199)|$时,$x$的取值范围是
(4)若$|m|+|n|=9,|m+n|=5$,求$m$的值.
(1)比较大小:
①$|-2|+|3|$
＞
$|-2+3|$；②$|4|+|-5|$
＞
$|4+(-5)|$；③$\left|-\dfrac{1}{2}\right|+\left|-\dfrac{1}{3}\right|$
=
$\left|-\dfrac{1}{2}+(-\dfrac{1}{3})\right|$；④$|-5|+|0|$
=
$|-5+0|$.【归纳】
(2)通过(1)中的大小比较,猜想并归纳出$|a|+|b|$与$|a+b|$的大小关系,并说明$a,b$满足什么关系时,$|a|+|b|=|a+b|$成立.
【应用】
(3)当$|x|+|-199|=|x+(-199)|$时,$x$的取值范围是
$x≤0$
.(4)若$|m|+|n|=9,|m+n|=5$,求$m$的值.
答案
15. (1)①＞ 解析:$|-2|+|3|=5＞1=|-2+3|$.
②＞ 解析:$|4|+|-5|=9＞1=|4+(-5)|$.
③= 解析:$\left|-\dfrac{1}{2}\right|+\left|-\dfrac{1}{3}\right|=\dfrac{5}{6}=\left|-\dfrac{1}{2}+(-\dfrac{1}{3})\right|$.
④= 解析:$|-5|+|0|=5=|-5+0|$.
(2)$|a|+|b|$与$|a+b|$的大小关系为$|a|+|b|≥|a+b|$,$a,b$同号或其中一个为0时,$|a|+|b|=|a+b|$成立.
(3)$x≤0$ 解析:由(2)可得$x$与$-199$同号或$x=0$,即$x≤0$时,等式成立.
(4)因为$|m|+|n|=9,|m+n|=5,|m|+|n|≠|m+n|$,所以$m,n$异号.当$m$为正数,$n$为负数时,$m-n=9$,则$n=m-9$,$|m+m-9|=5$,$m=7$或2;当$m$为负数,$n$为正数时,$-m+n=9$,则$n=m+9$,$|m+m+9|=5$,$m=-2$或-7.综上所述,$m=\pm2$或$\pm7$.
②＞ 解析:$|4|+|-5|=9＞1=|4+(-5)|$.
③= 解析:$\left|-\dfrac{1}{2}\right|+\left|-\dfrac{1}{3}\right|=\dfrac{5}{6}=\left|-\dfrac{1}{2}+(-\dfrac{1}{3})\right|$.
④= 解析:$|-5|+|0|=5=|-5+0|$.
(2)$|a|+|b|$与$|a+b|$的大小关系为$|a|+|b|≥|a+b|$,$a,b$同号或其中一个为0时,$|a|+|b|=|a+b|$成立.
(3)$x≤0$ 解析:由(2)可得$x$与$-199$同号或$x=0$,即$x≤0$时,等式成立.
(4)因为$|m|+|n|=9,|m+n|=5,|m|+|n|≠|m+n|$,所以$m,n$异号.当$m$为正数,$n$为负数时,$m-n=9$,则$n=m-9$,$|m+m-9|=5$,$m=7$或2;当$m$为负数,$n$为正数时,$-m+n=9$,则$n=m+9$,$|m+m+9|=5$,$m=-2$或-7.综上所述,$m=\pm2$或$\pm7$.
解析
【分析】
(1)解决第(1)问时，先分别计算左右两边式子的值：先根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再计算加法，最后比较大小即可。
(2)解决第(2)问时，观察(1)中四组式子的大小结果，分析等号、不等号成立时a、b的符号特点，即可归纳出二者的大小关系和等号成立的条件。
(3)解决第(3)问时，直接应用(2)归纳的等号成立的条件，判断x与-199的符号关系，就能得到x的取值范围。
(4)解决第(4)问时，先根据已知条件判断m、n异号，再分m为正、n为负和m为负、n为正两种情况，结合绝对值性质列方程求解，注意不要漏解。
【解析】
(1)①左边$|-2|+|3|=2+3=5$，右边$|-2+3|=|1|=1$，$5＞1$，故填$＞$；
②左边$|4|+|-5|=4+5=9$，右边$|4+(-5)|=|-1|=1$，$9＞1$，故填$＞$；
③左边$\left|-\dfrac{1}{2}\right|+\left|-\dfrac{1}{3}\right|=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}$，右边$\left|-\dfrac{1}{2}+(-\dfrac{1}{3})\right|=\left|-\dfrac{5}{6}\right|=\dfrac{5}{6}$，故填$=$；
④左边$|-5|+|0|=5+0=5$，右边$|-5+0|=|-5|=5$，故填$=$。
(2)由(1)的结果可归纳得：$|a|+|b|≥|a+b|$；观察等号成立的式子可知，当a、b同号或其中至少一个为0时，$|a|+|b|=|a+b|$成立。
(3)根据(2)的结论，等式成立时x与-199同号或x=0，-199为负数，因此$x≤0$。
(4)已知$|m|+|n|=9$，$|m+n|=5$，可得$|m|+|n|≠|m+n|$，因此m、n异号：
①当m为正数，n为负数时，$m-n=9$，即$n=m-9$，代入$|m+n|=5$得$|2m-9|=5$，解得$m=7$或$m=2$，均符合条件；
②当m为负数，n为正数时，$-m+n=9$，即$n=m+9$，代入$|m+n|=5$得$|2m+9|=5$，解得$m=-2$或$m=-7$，均符合条件。
【答案】
(1)①$＞$；②$＞$；③$=$；④$=$
(2)$|a|+|b|≥|a+b|$，a、b同号或其中至少一个为0时等号成立
(3)$x≤0$
(4)$m=\pm2$或$\pm7$
【知识点】
1. 绝对值运算
2. 有理数加法
3. 分类讨论
【点评】
本题按照观察、归纳、应用的逻辑设置，考查对绝对值性质和有理数加法的理解运用，体现了从特殊到一般的数学思想，解题时需注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1)解决第(1)问时，先分别计算左右两边式子的值：先根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再计算加法，最后比较大小即可。
(2)解决第(2)问时，观察(1)中四组式子的大小结果，分析等号、不等号成立时a、b的符号特点，即可归纳出二者的大小关系和等号成立的条件。
(3)解决第(3)问时，直接应用(2)归纳的等号成立的条件，判断x与-199的符号关系，就能得到x的取值范围。
(4)解决第(4)问时，先根据已知条件判断m、n异号，再分m为正、n为负和m为负、n为正两种情况，结合绝对值性质列方程求解，注意不要漏解。
【解析】
(1)①左边$|-2|+|3|=2+3=5$，右边$|-2+3|=|1|=1$，$5＞1$，故填$＞$；
②左边$|4|+|-5|=4+5=9$，右边$|4+(-5)|=|-1|=1$，$9＞1$，故填$＞$；
③左边$\left|-\dfrac{1}{2}\right|+\left|-\dfrac{1}{3}\right|=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}$，右边$\left|-\dfrac{1}{2}+(-\dfrac{1}{3})\right|=\left|-\dfrac{5}{6}\right|=\dfrac{5}{6}$，故填$=$；
④左边$|-5|+|0|=5+0=5$，右边$|-5+0|=|-5|=5$，故填$=$。
(2)由(1)的结果可归纳得：$|a|+|b|≥|a+b|$；观察等号成立的式子可知，当a、b同号或其中至少一个为0时，$|a|+|b|=|a+b|$成立。
(3)根据(2)的结论，等式成立时x与-199同号或x=0，-199为负数，因此$x≤0$。
(4)已知$|m|+|n|=9$，$|m+n|=5$，可得$|m|+|n|≠|m+n|$，因此m、n异号：
①当m为正数，n为负数时，$m-n=9$，即$n=m-9$，代入$|m+n|=5$得$|2m-9|=5$，解得$m=7$或$m=2$，均符合条件；
②当m为负数，n为正数时，$-m+n=9$，即$n=m+9$，代入$|m+n|=5$得$|2m+9|=5$，解得$m=-2$或$m=-7$，均符合条件。
【答案】
(1)①$＞$；②$＞$；③$=$；④$=$
(2)$|a|+|b|≥|a+b|$，a、b同号或其中至少一个为0时等号成立
(3)$x≤0$
(4)$m=\pm2$或$\pm7$
【知识点】
1. 绝对值运算
2. 有理数加法
3. 分类讨论
【点评】
本题按照观察、归纳、应用的逻辑设置，考查对绝对值性质和有理数加法的理解运用，体现了从特殊到一般的数学思想，解题时需注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
