1. 若点 $ A( - 5,y_1) $ 和 $ B( - 2,y_2) $ 都在直线 $ y = \frac{1}{2}x + 2 $ 上,则 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小关系是()
A.$ y_1 \leq y_2 $
B.$ y_1 = y_2 $
C.$ y_1 ＜ y_2 $
D.$ y_1 ＞ y_2 $

C

将点$A(-5, y_1)$代入直线方程$y = \frac{1}{2}x + 2$，
得$y_1 = \frac{1}{2} × (-5) + 2 = -\frac{5}{2} + 2 = -\frac{1}{2}$，
将点$B(-2, y_2)$代入直线方程$y = \frac{1}{2}x + 2$，
得$y_2 = \frac{1}{2} × (-2) + 2 = -1 + 2 = 1$，
比较$y_1$和$y_2$，$-\frac{1}{2} ＜ 1$，即$y_1 ＜ y_2$。

2. 已知一次函数 $ y = x + 1 $ 和 $ y = 2x - 2 $ 图象的交点坐标是 $ (3,4) $,则方程组 $ \begin{cases} x - y = - 1 \\ 2x - y = 2 \end{cases} $ 的解为()
A.$ \begin{cases} x = 3 \\ y = 4 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} x = 4 \\ y = 3 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} x = - 3 \\ y = - 4 \end{cases} $
D.$ \begin{cases} x = - 4 \\ y = - 3 \end{cases} $

A

因为一次函数$y = x + 1$可变形为$x - y = -1$，一次函数$y = 2x - 2$可变形为$2x - y = 2$，所以两个一次函数的交点坐标就是对应的方程组的解。已知交点坐标是$(3,4)$，故方程组的解为$\begin{cases} x = 3 \\ y = 4 \end{cases}$。

3. 一次函数 $ y = kx - k $ 的大致图象可能是()

A或B或D（但根据题目要求和选项设计，最可能选择的是体现斜率为正且经过(1,0)的图像）即B

函数为 $y = kx - k$，可以重写为 $y = k(x - 1)$。
当 $x = 1$ 时，$y = 0$，所以函数图像总是经过点 $(1, 0)$。
当 $k ＞ 0$ 时，函数斜率为正，图像是从左下到右上的直线；
当 $k ＜ 0$ 时，函数斜率为负，图像是从左上到右下的直线。
根据上述分析，只有A，B（斜率为正且经过(1,0)点的情况的两种表现形式（取决于y轴截距的正负，但在此题中不影响））和5（实际选项只有4个，此处理解为斜率为负且经过(1,0)的选项）即A， B， D选项可能符合，又因为C选项图像过(0,0)点，而 $y = kx - k$不过(0,0)，所以排除。
综合以上分析，只有A，B，D有可能为正确答案，而题目要求选择可能的大致图像，因此三个选项都有可能。但因为选项只能选择一个，我们需要进一步分析：
当k为正，且绝对值较大时，函数与y轴的截距为负且绝对值较大，对应B选项的情况（斜率为正，且y轴截距为负）；
当k为正，且绝对值较小时，函数与y轴的截距为负且绝对值较小，此时图像仍然是从左下到右上，但更靠近x轴，没有对应选项；
当k为负，且绝对值较大时，函数斜率绝对值较大，对应D选项（斜率为负，且较陡）；
当k为负，且绝对值较小时，函数斜率绝对值较小，对应A选项的镜像情况（但A选项本身代表斜率为正，所以这里仅指斜率绝对值小，且y轴截距为正的情况），因为题目中选项不全面，所以A也可视为可能图像。
由于题目要求选择“可能”的大致图象，并且选项中只有A，B，D为可能情况，而题目未给出k的具体值，所以我们无法确定是哪一个，但根据常见情况和题目设计，我们可以选择最具有代表性的一种情况，即B选项（斜率为正，且y轴截距为负），因为这种情况既符合k为正数，也能直观地显示出函数图像经过(1,0)点的特性。

4. 若 $ y = (m - 1)x^{2 - m^2} $ 是正比例函数,则 $ m $ 的值为。

$ -1$

正比例函数的一般形式为$y=kx$，其中$k$为常数，且$k \neq 0$，自变量$x$的次数为$1$。
对于函数$y = (m - 1)x^{2 - m^2}$，要使其为正比例函数，则需满足$\begin{cases}2 - m^2 = 1\\m - 1\neq 0\end{cases}$
由$2 - m^2 = 1$，移项可得$m^2 = 1$，解得$m = \pm1$。
又因为$m - 1\neq 0$，即$m\neq 1$，所以$m = - 1$。

5. 某公司销售甲、乙两种球鞋,去年卖出 $ 12200 $ 双,今年甲种球鞋卖出的数量比去年增加 $ 6\% $,乙种球鞋卖出的数量比去年减少 $ 5\% $,两种球鞋的总销量增加了 $ 50 $ 双,则去年甲、乙两种球鞋各卖出多少双？若设去年甲种球鞋卖出 $ x $ 双,乙种球鞋卖出 $ y $ 双,则根据题意可列方程组为。

$\begin{cases}x + y = 12200 ,\\1.06x + 0.95y = 12250.\end{cases}$

设去年甲种球鞋卖出 $ x $ 双，乙种球鞋卖出 $ y $ 双。
根据题意，去年总销量为 $ 12200 $ 双，即：
$x + y = 12200$，
今年甲种球鞋销量为 $ x × (1 + 6\%) = 1.06x $，
今年乙种球鞋销量为 $ y × (1 - 5\%) = 0.95y $，
今年总销量比去年增加 $ 50 $ 双，即：
$1.06x + 0.95y = 12200 + 50$，
即：
$1.06x + 0.95y = 12250$，
因此，方程组为：
$\begin{cases}x + y = 12200 ,\\1.06x + 0.95y = 12250.\end{cases}$

6. 解方程组：
(1) $ \begin{cases} 2x + y = 4① \\ 2y + 1 = 5x② \end{cases} $
(2) $ \begin{cases} 2x + y = 10① \\ x - y + z = 4② \\ 3x - y - z = 0③ \end{cases} $

(1)
由①得：$y = 4 - 2x$ ④
将④代入②：$2(4 - 2x) + 1 = 5x$
$8 - 4x + 1 = 5x$
$9 = 9x$
$x = 1$
将$x = 1$代入④：$y = 4 - 2×1 = 2$
∴方程组的解为$\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$
(2)
② + ③：$4x - 2y = 4$，化简得$2x - y = 2$ ④
① + ④：$4x = 12$
$x = 3$
将$x = 3$代入①：$2×3 + y = 10$
$y = 4$
将$x = 3$，$y = 4$代入②：$3 - 4 + z = 4$
$z = 5$
∴方程组的解为$\begin{cases} x = 3 \\ y = 4 \\ z = 5 \end{cases}$

7. 假期里,小明快步走、妈妈骑自行车沿同一条笔直的马路从家出发到超市去购物,如图,线段 $ OA $,$ BC $ 分别表示小明、妈妈离开家的路程 $ s $(单位：米)与小明所用的时间 $ t $(单位：分钟)之间的函数关系,根据图象解答下列问题：
(1) 妈妈比小明迟出发分钟,小明快步走的速度是______米/分钟；
(2) 求出图中线段 $ OA $、线段 $ BC $ 对应的函数表达式,并分别写出自变量 $ t $ 的取值范围。

(1) 4；150
(2) 对于线段OA：设函数表达式为$s=kt$，将$A(20,3000)$代入得$3000=20k$，解得$k=150$，故OA表达式为$s=150t$，自变量$t$的取值范围是$0\leq t\leq20$。
对于线段BC：设函数表达式为$s=mt+n$，由图知$B(4,0)$，$C(16,3000)$，代入得$\begin{cases}4m+n=0\\16m+n=3000\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=250\\n=-1000\end{cases}$，故BC表达式为$s=250t - 1000$，自变量$t$的取值范围是$4\leq t\leq16$。

8. 如图,在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,一次函数 $ y_1 = - \frac{2}{3}x + 2 $ 的图象与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别相交于点 $ A $,$ B $,直线 $ y_2 = kx + b(k \neq 0) $ 经过点 $ C(1,0) $ 且与线段 $ AB $ 交于点 $ P $,并把 $ \triangle ABO $ 分成两部分。
(1) 求点 $ A $,$ B $ 的坐标；
(2) 求 $ \triangle ABO $ 的面积；
(3) 若 $ \triangle ABO $ 被直线 $ CP $ 分成面积之比为 $ 1:2 $ 的两部分,求点 $ P $ 的坐标及直线 $ y_2 $ 的函数表达式。

(1)
对于$y_1=-\frac{2}{3}x+2$：
令$y=0$，则$-\frac{2}{3}x+2=0$，解得$x=3$，$\therefore A(3,0)$；
令$x=0$，则$y=2$，$\therefore B(0,2)$。
(2)
$\triangle ABO$中，$OA=3$，$OB=2$，且$OA\perp OB$，
$\therefore S_{\triangle ABO}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×3×2=3$。
(3)
设$P(x,y)$，$\because P$在$AB$上，$\therefore y=-\frac{2}{3}x+2$。
直线$CP$过$C(1,0)$，分$\triangle ABO$为面积比$1:2$的两部分，$S_{\triangle ABO}=3$，故两部分面积为$1$和$2$。
情况1：$S_{\triangle ACP}=1$
$A(3,0)$，$C(1,0)$，$AC=3-1=2$，$\triangle ACP$以$AC$为底，高为$P$的纵坐标$y$，
$\therefore S_{\triangle ACP}=\frac{1}{2}× AC× y=1$，即$\frac{1}{2}×2× y=1$，解得$y=1$。
代入$y=-\frac{2}{3}x+2$，得$1=-\frac{2}{3}x+2$，解得$x=\frac{3}{2}$，$\therefore P\left(\frac{3}{2},1\right)$。
设直线$y_2=kx+b$过$C(1,0)$和$P\left(\frac{3}{2},1\right)$：
$\begin{cases}0=k+b\\1=\frac{3}{2}k+b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=2\\b=-2\end{cases}$，$\therefore y_2=2x-2$。
情况2：$S_{\triangle ACP}=2$
同理，$S_{\triangle ACP}=\frac{1}{2}×2× y=2$，解得$y=2$。
代入$y=-\frac{2}{3}x+2$，得$2=-\frac{2}{3}x+2$，解得$x=0$，$\therefore P(0,2)$（即点$B$）。
设直线$y_2=kx+b$过$C(1,0)$和$B(0,2)$：
$\begin{cases}0=k+b\\2=b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-2\\b=2\end{cases}$，$\therefore y_2=-2x+2$。
结论
点$P$的坐标为$\left(\frac{3}{2},1\right)$或$(0,2)$，直线$y_2$的表达式为$y=2x-2$或$y=-2x+2$。

(1)对于$y_1 = -\frac{2}{3}x + 2$，令$y=0$，则$-\frac{2}{3}x + 2=0$，解得$x=3$，所以$A(3,0)$；令$x=0$，得$y=2$，所以$B(0,2)$。
(2)$OA=3$，$OB=2$，$S_{\triangle ABO}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×3×2=3$。
(3)设$P(m,n)$，$S_{\triangle ABO}=3$，面积比为$1:2$，则两部分面积分别为$1$和$2$。
情况一：$S_{\triangle APC}=1$，$AC=OA - OC=3 - 1=2$，$\frac{1}{2}× AC× n=1$，即$\frac{1}{2}×2× n=1$，$n=1$。代入$y_1$：$1=-\frac{2}{3}m + 2$，解得$m=\frac{3}{2}$，所以$P(\frac{3}{2},1)$。
直线$y_2$过$C(1,0)$和$P(\frac{3}{2},1)$，$\begin{cases}k + b=0\\frac{3}{2}k + b=1\end{cases}$，解得$k=2$，$b=-2$，$y_2=2x - 2$。
情况二：$S_{\triangle APC}=2$，$\frac{1}{2}×2× n=2$，$n=2$，此时$P$与$B$重合，即$P(0,2)$。
直线$y_2$过$C(1,0)$和$P(0,2)$，$\begin{cases}b=2\\k + b=0\end{cases}$，解得$k=-2$，$b=2$，$y_2=-2x + 2$。
综上，$P(\frac{3}{2},1)$，$y_2=2x - 2$或$P(0,2)$，$y_2=-2x + 2$。