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基础知识·预习
问题1 一辆快递货车上有$ m $个标准包裹箱，现在卸下$ a $个标准包裹箱，又装上$ b $个标准包裹箱，此时快递货车上有多少个标准包裹箱？
问题2 在足球比赛中，射门点离球门越近，射门角度一定越大吗？为什么？
问题3 圆柱体产品单层排列时，长方体包装箱的长、宽、高分别和圆柱体产品的哪些数据有关？
问题1 一辆快递货车上有$ m $个标准包裹箱，现在卸下$ a $个标准包裹箱，又装上$ b $个标准包裹箱，此时快递货车上有多少个标准包裹箱？
问题2 在足球比赛中，射门点离球门越近，射门角度一定越大吗？为什么？
问题3 圆柱体产品单层排列时，长方体包装箱的长、宽、高分别和圆柱体产品的哪些数据有关？
答案
解：
问题1：
根据题意，卸下a个包裹箱后剩余$(m-a)$个，再装上b个，此时包裹箱总数为$m-a+b$。
答：此时快递货车上有$(m-a+b)$个标准包裹箱。
问题2：
不一定。
射门角度是射门点与球门两个门柱端点连线所形成的夹角，若射门点向球场侧边方向移动，即使到球门线的距离更近，该点对两个门柱的张角也会更小；当射门点无限贴近球门柱所在的边线位置时，哪怕距离球门线很近，射门角度也几乎为0，远小于距离球门更远、位于球场中路的射门点的射门角度，因此射门点离球门越近，射门角度不一定越大。
问题3：
圆柱体产品单层排列时：
长方体包装箱的高和圆柱体的高相等；
长方体包装箱的长等于沿包装箱长度方向排列的圆柱体个数乘以圆柱体的底面直径；
长方体包装箱的宽等于沿包装箱宽度方向排列的圆柱体个数乘以圆柱体的底面直径。
问题1：
根据题意，卸下a个包裹箱后剩余$(m-a)$个，再装上b个，此时包裹箱总数为$m-a+b$。
答：此时快递货车上有$(m-a+b)$个标准包裹箱。
问题2：
不一定。
射门角度是射门点与球门两个门柱端点连线所形成的夹角，若射门点向球场侧边方向移动，即使到球门线的距离更近，该点对两个门柱的张角也会更小；当射门点无限贴近球门柱所在的边线位置时，哪怕距离球门线很近，射门角度也几乎为0，远小于距离球门更远、位于球场中路的射门点的射门角度，因此射门点离球门越近，射门角度不一定越大。
问题3：
圆柱体产品单层排列时：
长方体包装箱的高和圆柱体的高相等；
长方体包装箱的长等于沿包装箱长度方向排列的圆柱体个数乘以圆柱体的底面直径；
长方体包装箱的宽等于沿包装箱宽度方向排列的圆柱体个数乘以圆柱体的底面直径。
解析
【分析】
1. 问题1是列代数式的基础应用，解题核心是理清数量变化逻辑：原有包裹数量减去卸下的数量，再加上新装上的数量，就是最终的包裹数量，代入对应字母即可得到结果。
2. 问题2首先要明确射门角度的定义：射门点与球门两个门柱端点连线形成的夹角，判断角度大小时不能仅参考射门点到球门线的垂直距离，还要结合射门点的水平位置，可通过举反例的方式验证结论。
3. 问题3结合单层摆放的特征分析：因为是单层排列，包装箱高度无需叠加圆柱，和单个圆柱的高相等；长、宽分别对应沿包装箱长、宽方向摆放的圆柱总占用长度，每个圆柱的水平占用长度为底面直径，乘对应方向的摆放个数就能得到包装箱的长和宽。
【解析】
问题1
原有$m$个标准包裹箱，卸下$a$个后剩余$(m-a)$个，再装上$b$个后，总数量为$m-a+b$个。
问题2
不一定。射门角度是射门点与球门两个门柱端点连线所形成的夹角，若射门点向球场侧边方向移动，即使到球门线的距离更近，该点对两个门柱的张角也会更小；当射门点无限贴近球门柱所在的边线位置时，哪怕距离球门线很近，射门角度也几乎为0，远小于距离球门更远、位于球场中路的射门点的射门角度，因此射门点离球门越近，射门角度不一定越大。
问题3
圆柱体产品单层排列时：
① 长方体包装箱的高和圆柱体的高相等；
② 长方体包装箱的长等于沿包装箱长度方向排列的圆柱体个数乘以圆柱体的底面直径；
③ 长方体包装箱的宽等于沿包装箱宽度方向排列的圆柱体个数乘以圆柱体的底面直径。
【答案】
问题1：$\boldsymbol{(m-a+b)}$个；
问题2：不一定，原因见解析；
问题3：包装箱的高等于圆柱体的高，长等于沿长方向排列的圆柱个数×圆柱底面直径，宽等于沿宽方向排列的圆柱个数×圆柱底面直径。
【知识点】
列代数式、角的大小判断、立体图形实际应用
【点评】
三道题均来自生活实际场景，侧重考查将实际问题转化为数学模型的能力，整体难度不高，只要结合生活常识梳理数量关系、几何特征即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
1. 问题1是列代数式的基础应用，解题核心是理清数量变化逻辑：原有包裹数量减去卸下的数量，再加上新装上的数量，就是最终的包裹数量，代入对应字母即可得到结果。
2. 问题2首先要明确射门角度的定义：射门点与球门两个门柱端点连线形成的夹角，判断角度大小时不能仅参考射门点到球门线的垂直距离，还要结合射门点的水平位置，可通过举反例的方式验证结论。
3. 问题3结合单层摆放的特征分析：因为是单层排列，包装箱高度无需叠加圆柱，和单个圆柱的高相等；长、宽分别对应沿包装箱长、宽方向摆放的圆柱总占用长度，每个圆柱的水平占用长度为底面直径，乘对应方向的摆放个数就能得到包装箱的长和宽。
【解析】
问题1
原有$m$个标准包裹箱，卸下$a$个后剩余$(m-a)$个，再装上$b$个后，总数量为$m-a+b$个。
问题2
不一定。射门角度是射门点与球门两个门柱端点连线所形成的夹角，若射门点向球场侧边方向移动，即使到球门线的距离更近，该点对两个门柱的张角也会更小；当射门点无限贴近球门柱所在的边线位置时，哪怕距离球门线很近，射门角度也几乎为0，远小于距离球门更远、位于球场中路的射门点的射门角度，因此射门点离球门越近，射门角度不一定越大。
问题3
圆柱体产品单层排列时：
① 长方体包装箱的高和圆柱体的高相等；
② 长方体包装箱的长等于沿包装箱长度方向排列的圆柱体个数乘以圆柱体的底面直径；
③ 长方体包装箱的宽等于沿包装箱宽度方向排列的圆柱体个数乘以圆柱体的底面直径。
【答案】
问题1：$\boldsymbol{(m-a+b)}$个；
问题2：不一定，原因见解析；
问题3：包装箱的高等于圆柱体的高，长等于沿长方向排列的圆柱个数×圆柱底面直径，宽等于沿宽方向排列的圆柱个数×圆柱底面直径。
【知识点】
列代数式、角的大小判断、立体图形实际应用
【点评】
三道题均来自生活实际场景，侧重考查将实际问题转化为数学模型的能力，整体难度不高，只要结合生活常识梳理数量关系、几何特征即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
【典型例题1】一辆快递货车穿行在A城、B城之间，中间有若干个集散点.在货车从A城驶往B城的过程中，每停靠一个集散点，要卸下前面各集散点发给该集散点的标准包裹箱各1个，同时又要装上该集散点发往以后各集散点的标准包裹箱各1个.若A城、B城之间有10个集散点(包括A城、B城)，快递货车最多可装14个标准包裹箱，这辆货车能完成这次快递任务吗？
【解】将8个集散点按顺序分别记为第1个集散点、第2个集散点、第3个集散点……第8个集散点.
设离开第$ x(1≤ x≤8) $个集散点时，快递货车上的标准包裹箱的个数为$ y $.
根据题意，得$ y=x(8-x) $.
整理，得$ y=-(x-4)^2+16 $.
∴当$ x=4 $时，$ y $取最大值，最大值为16.
∵16＞14，
∴这辆快递货车不能完成这次快递任务.
【规律方法】解决这类问题的一般步骤：
(1)将$ n $个集散点按顺序编号为1,2,3,…,$ n $.
(2)离开第$ k(1≤ k≤ n) $个集散点时货车上的包裹数量$ a_k=k(n-k) $.
(3)如果$ n $是偶数，那么当$ k=\frac{n}{2} $时，$ a $取最大值，为$ \frac{n^2}{4} $；如果$ n $是奇数，那么当$ k=\frac{n-1}{2} $或$ k=\frac{n+1}{2} $时，$ a $取最大值，为$ \frac{n^2 -1}{4} $.
(4)将货车需要装载的包裹数量最大值与该货车的装载容量进行比较，得出结果.
【解】将8个集散点按顺序分别记为第1个集散点、第2个集散点、第3个集散点……第8个集散点.
设离开第$ x(1≤ x≤8) $个集散点时，快递货车上的标准包裹箱的个数为$ y $.
根据题意，得$ y=x(8-x) $.
整理，得$ y=-(x-4)^2+16 $.
∴当$ x=4 $时，$ y $取最大值，最大值为16.
∵16＞14，
∴这辆快递货车不能完成这次快递任务.
【规律方法】解决这类问题的一般步骤：
(1)将$ n $个集散点按顺序编号为1,2,3,…,$ n $.
(2)离开第$ k(1≤ k≤ n) $个集散点时货车上的包裹数量$ a_k=k(n-k) $.
(3)如果$ n $是偶数，那么当$ k=\frac{n}{2} $时，$ a $取最大值，为$ \frac{n^2}{4} $；如果$ n $是奇数，那么当$ k=\frac{n-1}{2} $或$ k=\frac{n+1}{2} $时，$ a $取最大值，为$ \frac{n^2 -1}{4} $.
(4)将货车需要装载的包裹数量最大值与该货车的装载容量进行比较，得出结果.
答案
解：将10个集散点按顺序分别记为第1个集散点、第2个集散点、第3个集散点……第10个集散点。
设离开第$x(1≤x≤10)$个集散点时，快递货车上的标准包裹箱的个数为$y$。
根据题意，得$y=x(10-x)$。
整理，得$y=-(x-5)^2+25$。
∴当$x=5$时，$y$取最大值，最大值为25。
∵25＞14，
∴这辆快递货车不能完成这次快递任务。
设离开第$x(1≤x≤10)$个集散点时，快递货车上的标准包裹箱的个数为$y$。
根据题意，得$y=x(10-x)$。
整理，得$y=-(x-5)^2+25$。
∴当$x=5$时，$y$取最大值，最大值为25。
∵25＞14，
∴这辆快递货车不能完成这次快递任务。
解析
【分析】
要判断货车能否完成快递任务，核心是求出货车行驶过程中最多需要装载的包裹数量，再和货车最大装载量14对比即可。解题思路：首先将包含A、B城的10个集散点按从A到B的顺序编号；接着设离开第x个集散点时车上包裹数为y，结合装卸规则推导y与x的函数关系；再利用二次函数求最值的方法计算y的最大值；最后将最大值和14比较，得出最终结论。
【解析】
将10个集散点按从A城到B城的顺序分别记为第1个集散点、第2个集散点、……、第10个集散点。
设离开第$x(1≤x≤10)$个集散点时，快递货车上的标准包裹箱的个数为$y$。
根据题意得：
$y=x(10-x)$
整理配方得：
$y=-(x-5)^2+25$
∵二次函数开口向下，
∴当$x=5$时，$y$取最大值，最大值为25。
∵$25＞14$，货车需要装载的最大包裹数超过了货车的最大装载量，
∴这辆快递货车不能完成这次快递任务。
【答案】
这辆快递货车不能完成这次快递任务。
【知识点】
二次函数应用；二次函数最值；实际问题建模
【点评】
本题是二次函数在生活中的应用类题型，解题关键是结合题意建立正确的函数模型，再利用二次函数性质求解最值，能很好地考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
要判断货车能否完成快递任务，核心是求出货车行驶过程中最多需要装载的包裹数量，再和货车最大装载量14对比即可。解题思路：首先将包含A、B城的10个集散点按从A到B的顺序编号；接着设离开第x个集散点时车上包裹数为y，结合装卸规则推导y与x的函数关系；再利用二次函数求最值的方法计算y的最大值；最后将最大值和14比较，得出最终结论。
【解析】
将10个集散点按从A城到B城的顺序分别记为第1个集散点、第2个集散点、……、第10个集散点。
设离开第$x(1≤x≤10)$个集散点时，快递货车上的标准包裹箱的个数为$y$。
根据题意得：
$y=x(10-x)$
整理配方得：
$y=-(x-5)^2+25$
∵二次函数开口向下，
∴当$x=5$时，$y$取最大值，最大值为25。
∵$25＞14$，货车需要装载的最大包裹数超过了货车的最大装载量，
∴这辆快递货车不能完成这次快递任务。
【答案】
这辆快递货车不能完成这次快递任务。
【知识点】
二次函数应用；二次函数最值；实际问题建模
【点评】
本题是二次函数在生活中的应用类题型，解题关键是结合题意建立正确的函数模型，再利用二次函数性质求解最值，能很好地考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
