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【典型例题 1】如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,将$△ ABC$绕点$A$逆时针旋转一定的角度,得到$△ ADE$,连接$BD$,$CE$,$BD$与$CE$相交于点$F$.
(1)求证:$△ AEC≌△ ADB$.
(2)若$AB=\sqrt{2}$,$∠ BAC=45°$.当四边形$ADFC$是菱形时,求$BF$的长.
思路导引 (1)先根据旋转的性质分别找到对应边和对应角之间的关系,再利用“SAS”来判定$△ AEC≌△ ADB$.
(2)先根据菱形的性质及$∠ BAC=45°$
推出$△ ABD$为等腰直角三角形,再利用勾股定理求出$BD$的长,进而求出$BF$的长.
(1)【证明】由旋转的性质可知,
$∠ DAE=∠ BAC$,$AD=AB$,$AE=AC$,
$\therefore∠ DAE+∠ BAE=∠ BAC+∠ BAE$.
$\therefore∠ DAB=∠ EAC$.
$\because AB=AC$,
$\therefore AD=AB=AC=AE$.
在$△ AEC$和$△ ADB$中,
$\begin{cases}AE=AD,\\∠ EAC=∠ DAB,\\AC=AB,\end{cases}$
$\therefore△ AEC≌△ ADB(\mathrm{SAS})$.
(2)【解】$\because$四边形$ADFC$是菱形,
$AC=AB=\sqrt{2}$,$∠ BAC=45°$,
$\therefore AC// DF$,$DF=AC=AB=\sqrt{2}$.
$\therefore∠ DBA=∠ BAC=45°$.
又$AD=AB$,
$\therefore∠ ADB=∠ DBA=45°$.
$\therefore∠ DAB=180°-45°-45°=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,根据勾股定理,得
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$.
$\therefore BF=BD-DF=2-\sqrt{2}$.
规律方法 解决与旋转有关的题目时,一般先找出全等图形,然后找出相等的线段、相等的角,最后结合题目中的其他条件进行求解.
(1)求证:$△ AEC≌△ ADB$.
(2)若$AB=\sqrt{2}$,$∠ BAC=45°$.当四边形$ADFC$是菱形时,求$BF$的长.
思路导引 (1)先根据旋转的性质分别找到对应边和对应角之间的关系,再利用“SAS”来判定$△ AEC≌△ ADB$.
(2)先根据菱形的性质及$∠ BAC=45°$
推出$△ ABD$为等腰直角三角形,再利用勾股定理求出$BD$的长,进而求出$BF$的长.
(1)【证明】由旋转的性质可知,
$∠ DAE=∠ BAC$,$AD=AB$,$AE=AC$,
$\therefore∠ DAE+∠ BAE=∠ BAC+∠ BAE$.
$\therefore∠ DAB=∠ EAC$.
$\because AB=AC$,
$\therefore AD=AB=AC=AE$.
在$△ AEC$和$△ ADB$中,
$\begin{cases}AE=AD,\\∠ EAC=∠ DAB,\\AC=AB,\end{cases}$
$\therefore△ AEC≌△ ADB(\mathrm{SAS})$.
(2)【解】$\because$四边形$ADFC$是菱形,
$AC=AB=\sqrt{2}$,$∠ BAC=45°$,
$\therefore AC// DF$,$DF=AC=AB=\sqrt{2}$.
$\therefore∠ DBA=∠ BAC=45°$.
又$AD=AB$,
$\therefore∠ ADB=∠ DBA=45°$.
$\therefore∠ DAB=180°-45°-45°=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,根据勾股定理,得
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$.
$\therefore BF=BD-DF=2-\sqrt{2}$.
规律方法 解决与旋转有关的题目时,一般先找出全等图形,然后找出相等的线段、相等的角,最后结合题目中的其他条件进行求解.
答案
解析
【分析】
(1) 要证明$△ AEC≌△ ADB$，首先根据旋转的性质可得旋转前后对应边相等、对应角相等，即$AD=AB$，$AE=AC$，$∠ DAE=∠ BAC$；给两个相等的角同时加上公共角$∠ BAE$，即可推出夹角$∠ DAB=∠ EAC$，结合已知$AB=AC$，可得到全等判定所需的等边和等角条件，用SAS即可证明全等。
(2) 要求$BF$的长，首先根据菱形对边平行且相等的性质，可得$AC// DF$，$DF=AC=\sqrt{2}$；由平行线内错角相等可得$∠ DBA=∠ BAC=45°$，结合$AD=AB$可推出$△ ABD$是等腰直角三角形，用勾股定理求出$BD$的长度后，根据$BF=BD-DF$即可计算结果。
【解析】
(1) 证明：由旋转的性质可知，$∠ DAE=∠ BAC$，$AD=AB$，$AE=AC$，
$\therefore∠ DAE+∠ BAE=∠ BAC+∠ BAE$，即$∠ DAB=∠ EAC$，
$\because AB=AC$，$\therefore AD=AB=AC=AE$，
在$△ AEC$和$△ ADB$中：
$\begin{cases}AE=AD \\∠ EAC=∠ DAB \\AC=AB\end{cases}$
$\therefore△ AEC≌△ ADB(\mathrm{SAS})$。
(2) 解：$\because$四边形$ADFC$是菱形，$AC=AB=\sqrt{2}$，$∠ BAC=45°$，
$\therefore AC// DF$，$DF=AC=\sqrt{2}$，
$\therefore∠ DBA=∠ BAC=45°$，
又$\because AD=AB$，$\therefore∠ ADB=∠ DBA=45°$，
$\therefore∠ DAB=180°-45°-45°=90°$，即$△ ABD$为等腰直角三角形，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$，
$\therefore BF=BD-DF=2-\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $△ AEC≌△ ADB$，证明见解析；
(2) $BF$的长为$2-\sqrt{2}$。
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定，菱形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，结合旋转、全等判定、特殊四边形性质多个考点进行考查，解题的核心是熟练掌握各类几何性质，准确找到图形中等量的边、角关系，结合勾股定理完成计算，能够有效锻炼逻辑推理和几何分析能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$△ AEC≌△ ADB$，首先根据旋转的性质可得旋转前后对应边相等、对应角相等，即$AD=AB$，$AE=AC$，$∠ DAE=∠ BAC$；给两个相等的角同时加上公共角$∠ BAE$，即可推出夹角$∠ DAB=∠ EAC$，结合已知$AB=AC$，可得到全等判定所需的等边和等角条件，用SAS即可证明全等。
(2) 要求$BF$的长，首先根据菱形对边平行且相等的性质，可得$AC// DF$，$DF=AC=\sqrt{2}$；由平行线内错角相等可得$∠ DBA=∠ BAC=45°$，结合$AD=AB$可推出$△ ABD$是等腰直角三角形，用勾股定理求出$BD$的长度后，根据$BF=BD-DF$即可计算结果。
【解析】
(1) 证明：由旋转的性质可知，$∠ DAE=∠ BAC$，$AD=AB$，$AE=AC$，
$\therefore∠ DAE+∠ BAE=∠ BAC+∠ BAE$，即$∠ DAB=∠ EAC$，
$\because AB=AC$，$\therefore AD=AB=AC=AE$，
在$△ AEC$和$△ ADB$中：
$\begin{cases}AE=AD \\∠ EAC=∠ DAB \\AC=AB\end{cases}$
$\therefore△ AEC≌△ ADB(\mathrm{SAS})$。
(2) 解：$\because$四边形$ADFC$是菱形，$AC=AB=\sqrt{2}$，$∠ BAC=45°$，
$\therefore AC// DF$，$DF=AC=\sqrt{2}$，
$\therefore∠ DBA=∠ BAC=45°$，
又$\because AD=AB$，$\therefore∠ ADB=∠ DBA=45°$，
$\therefore∠ DAB=180°-45°-45°=90°$，即$△ ABD$为等腰直角三角形，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$，
$\therefore BF=BD-DF=2-\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $△ AEC≌△ ADB$，证明见解析；
(2) $BF$的长为$2-\sqrt{2}$。
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定，菱形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，结合旋转、全等判定、特殊四边形性质多个考点进行考查，解题的核心是熟练掌握各类几何性质，准确找到图形中等量的边、角关系，结合勾股定理完成计算，能够有效锻炼逻辑推理和几何分析能力。
【难度系数】
0.7
