【跟踪练习】
1. 若抛物线 $y=x^2 -6mx -6m^2 +5m +3$ 的顶点在直线 $y=x+2$ 上，则 $m$ 的值为 。
2. 二次函数 $y=ax^2+bx+c(a≠0)$ 的图象如图所示。

现有以下结论：
①$abc＞0$；
②$a+b+c＞0$；
③$a-b+c＜0$；
④$3a+c＞0$。
其中正确的结论有 。(填序号)

1. $\frac{1}{3}或-\frac{1}{5}$
2. ②③④

【分析】
第1题：首先利用二次函数顶点坐标公式求出给定抛物线的顶点坐标，再根据顶点在直线上时顶点坐标满足直线解析式，将顶点的横、纵坐标代入直线$y=x+2$，得到关于$m$的一元二次方程，解方程即可求出$m$的取值。
第2题：先根据二次函数图像特征：由开口方向确定$a$的符号，结合对称轴公式推导$b$与$a$的数量关系确定$b$的符号，由抛物线与y轴交点位置确定$c$的符号；再分别计算$x=1$、$x=-1$、$x=-3$时对应的函数值，逐一判断4个结论的正误即可。
【解析】
1. 对于抛物线$y=x^2 -6mx -6m^2 +5m +3$，其中$a=1$，$b=-6m$，$c=-6m^2+5m+3$：
顶点横坐标：$x=-\frac{b}{2a}=\frac{6m}{2×1}=3m$
顶点纵坐标：$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×(-6m^2+5m+3)-(-6m)^2}{4×1}=-15m^2+5m+3$
因为顶点在直线$y=x+2$上，代入得：
$-15m^2+5m+3=3m+2$
整理得$15m^2-2m-1=0$，因式分解为$(3m-1)(5m+1)=0$
解得$m=\frac{1}{3}$或$m=-\frac{1}{5}$。
2. 由图像可得：
抛物线开口向上，故$a＞0$；
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-1$，推导得$b=2a＞0$；
抛物线与y轴交于负半轴，故$c＜0$。
①$abc=a× b× c＜0$，故①错误；
②当$x=1$时，函数值$y=a+b+c$，由图像可知$x=1$时$y＞0$，故$a+b+c＞0$，②正确；
③当$x=-1$时，函数值$y=a-b+c$，由图像可知$x=-1$是抛物线顶点，$y=-3＜0$，故$a-b+c＜0$，③正确；
④由对称轴$x=-1$可知，$x=-3$和$x=1$关于对称轴对称，两点函数值相等，$x=1$时$y＞0$，故$x=-3$时$y=9a-3b+c＞0$，代入$b=2a$得$9a-6a+c=3a+c＞0$，故④正确。
综上正确的结论为②③④。
【答案】
1. $\frac{1}{3}$或$-\frac{1}{5}$
2. ②③④
【知识点】
二次函数顶点坐标公式，二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质
【点评】
这两道题是二次函数的典型题型，第一题考查顶点坐标计算及点与直线的位置关系，第二题考查数形结合思想的运用，熟练掌握二次函数基本性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7

【典型例题2】已知$y$关于$x$的二次函数$y=x^2 - 3mx + m^2 - 1$（$m$是常数）。
（1）该二次函数的图象与$x$轴有个公共点。
（2）若该二次函数的图象与$x$轴的公共点分别为$A(x_1,0),B(x_2,0)$，且$AB=3$，则$m$的值为。
【解析】（1）令$y=0$，即$x^2 - 3mx + m^2 - 1=0$。
$\therefore \Delta = b^2 - 4ac = (-3m)^2 - 4×1×(m^2 -1)=9m^2 -4m^2 +4=5m^2 +4$。
$\because m^2≥0$，
$\therefore5m^2 +4＞0$，即$\Delta＞0$。
$\therefore$关于$x$的方程$x^2 -3mx +m^2 -1=0$有2个不相等的实数根，即二次函数$y=x^2 -3mx +m^2 -1$的图象与$x$轴有2个公共点。
（2）根据题意，得$x_1$和$x_2$是方程$x^2 -3mx +m^2 -1=0$的两个实数根。
$\therefore x_1 +x_2=3m, x_1x_2=m^2 -1$。
$\because AB=3$，
$\therefore |x_1 -x_2|=3$。
$\therefore (x_1 -x_2)^2=9$。
$\therefore (x_1 +x_2)^2 -4x_1x_2=9$，即$(3m)^2 -4(m^2 -1)=9$。
解得$m=\pm1$。
【答案】（1）2 （2）$\pm1$

(1) 2
(2) $\pm1$

【分析】
（1）判断二次函数图象与x轴的公共点个数，可转化为判断对应一元二次方程的实数根个数，只需计算根的判别式Δ的符号即可：令y=0得到一元二次方程，若Δ＞0则有2个公共点，Δ=0有1个公共点，Δ＜0没有公共点。
（2）已知两交点距离AB=3，即两根之差的绝对值$|x_1-x_2|=3$，无需直接求根，可通过韦达定理得到$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，再将$|x_1-x_2|=3$两边平方，利用完全平方公式变形为$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=9$，代入韦达定理的结果列方程即可求解m的值。
【解析】
（1）令$y=0$，可得一元二次方程：$x^2 - 3mx + m^2 - 1=0$
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-3m)^2 - 4×1×(m^2 -1)=9m^2 -4m^2 +4=5m^2 +4$
∵$m^2≥0$，
∴$5m^2 +4＞0$，即$\Delta＞0$
∴该一元二次方程有2个不相等的实数根，即二次函数图象与x轴有2个公共点。
（2）由题意可知，$x_1$、$x_2$是方程$x^2 -3mx +m^2 -1=0$的两个实数根
根据韦达定理得：$x_1 +x_2=3m$，$x_1x_2=m^2 -1$
∵$AB=|x_1 -x_2|=3$，两边平方可得：$(x_1 -x_2)^2=9$
由完全平方公式变形得：$(x_1 +x_2)^2 -4x_1x_2=9$
代入得：$(3m)^2 -4(m^2 -1)=9$
化简得：$9m^2 -4m^2 +4=9$，即$5m^2=5$，解得$m=\pm1$
【答案】
（1）2；（2）$\pm1$
【知识点】
根的判别式；韦达定理；二次函数与x轴交点判定
【点评】
本题将二次函数与一元二次方程结合考查，第一问是根的判别式的基础应用，第二问需要熟练掌握根与系数关系的变形技巧，是二次函数章节的常考题型，能有效检验函数与方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.7