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5. 函数 $ f(x) $ 是定义在 $ [-1, 2a + 1] $ 上的偶函数, 则实数 $ a $ 的值为 ____.
答案
5.0 因为$f(x)$是定义在$[-1,2a + 1]$上的偶函数，所以$-1 + 2a + 1 = 0$，解得$a = 0$.
6. 函数 $ f(x) = \begin{cases} x(1 - x), x ＜ 0, \\ x(1 + x), x ＞ 0 \end{cases} $ 是 ____. (填“奇函数”“偶函数”或“非奇非偶函数”)
答案
6.奇函数 由题意，易知$f(x)$的定义域关于原点对称，当$x＜0$时，$-x＞0$，则$f(-x)=-x(1 - x)=-[x(1 - x)]=-f(x)$；当$x＞0$时，$-x＜0$，则$f(-x)=-x(1 + x)=-[x(1 + x)]=-f(x)$.综上，函数$f(x)$是奇函数.
7. (教材改编题) 已知函数 $ f(x) $ 是定义域为 $ \mathbf{R} $ 的奇函数, 当 $ x ＞ 0 $ 时, $ f(x) = x^2 - 2x $. 请在如图所示的平面直角坐标系中画出函数 $ f(x) $ 的图象 (不用列表), 并根据图象写出 $ f(x) $ 的单调区间.
答案
7.解：函数图象如图所示.
由函数图象可知，函数$f(x)$的单调递增区间为$(-∞,-1]$和$[1,+∞)$，单调递减区间为$[-1,1]$.
8. 已知狄利克雷函数 $ D(x) = \begin{cases} 1, x \in \mathbf{Q}, \\ 0, x \notin \mathbf{Q}, \end{cases} $ 则下列结论正确的是 ()
A. $ D(x) $ 是偶函数
B. $ D(x) $ 是单调函数
C. $ D(x) $ 的值域是 $ [0, 1] $
D. $ D(\pi) ＞ D(3.14) $
A. $ D(x) $ 是偶函数
B. $ D(x) $ 是单调函数
C. $ D(x) $ 的值域是 $ [0, 1] $
D. $ D(\pi) ＞ D(3.14) $
答案
8.A $\because$有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，$\therefore$对任意的$x\in \mathbf{R}$，都有$f(-x)=f(x)$，则$D(x)$是偶函数，故A正确；$\because D(x)$的值域是$\{ 0,1\}$，故在其定义域的任何区间上都不具有单调性，故BC错误；$\because D(π)=0＜D(3.14)=1$，故D错误.
9. 已知函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 都是 $ \mathbf{R} $ 上的奇函数, $ F(x) = af(x) + bg(x) + 2 $. 若 $ F(-2) = 5 $, 则 $ F(2) = $ ()
A. 1
B. -1
C. -5
D. 5
A. 1
B. -1
C. -5
D. 5
答案
9.B 因为函数$f(x)$和$g(x)$都是$\mathbf{R}$上的奇函数，所以$f(-2)=-f(2)$，$g(-2)=-g(2)$.因为$F(-2)=af(-2)+bg(-2)+2=-[af(2)+bg(2)]+2 = 5$，所以$af(2)+bg(2)=-3$，$F(2)=af(2)+bg(2)+2=-3 + 2=-1$.
10. (全国甲卷改编) 设 $ f(x) $ 是定义域为 $ \mathbf{R} $ 的奇函数, 且 $ f(1 + x) = f(-x) $. 若 $ f(-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} $, 求 $ f(\frac{5}{3}) $ 的值. (提示: $ \frac{5}{3} = 1 + \frac{2}{3}, \frac{2}{3} = 1 + (-\frac{1}{3}) $)
答案
10.解：由题意，可得$f(\frac {5}{3})=f(1+\frac {2}{3})=f(-\frac {2}{3})=-f(\frac {2}{3})$，而$f(\frac {2}{3})=f(1-\frac {1}{3})=f(\frac {1}{3})=-f(-\frac {1}{3})=-\frac {1}{3}$，故$f(\frac {5}{3})=\frac {1}{3}$.
