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17. 如图,O是等边三角形ABC内一点,$∠AOB= 110^{\circ },∠BOC= α$.将$△BOC$绕点C按顺时针方向旋转$60^{\circ }得△ADC$,则$△ADC\cong △BOC$,连接OD.
(1)求证:$△COD$是等边三角形;
(2)当$∠α=120^{\circ }$时,试判断AD与OC的位置关系,并说明理由;
(3)探究:当α为多少度时,$△AOD$是等腰三角形.
(1)求证:$△COD$是等边三角形;
(2)当$∠α=120^{\circ }$时,试判断AD与OC的位置关系,并说明理由;
(3)探究:当α为多少度时,$△AOD$是等腰三角形.
答案
(1)∵△ADC≌△BOC,∴CO=CD.∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,∴∠DCO=60°,∴△COD是等边三角形.
(2)AD//OC.理由如下:由(1)知,△DOC是等边三角形,∴∠CDO=∠DOC=60°.∵α=120°,△COB≌△CDA,∴∠ADC=∠COB=120°,∴∠ADO=120°−60°=60°,∴∠ADO=∠DOC=60°,∴AD//OC;
(3)∠AOD=360°−∠AOB−α−∠COD=360°−110°−α−60°=190°−α,∠ADO=∠ADC−∠CDO=α−60°,∠OAD=180°−∠ADO−∠AOD=180°−(α−60°)−(190°−α)=50°,若∠ADO=∠AOD,即α−60°=190°−α,解得α=125°;若∠ADO=∠OAD,即α−60°=50°,解得α=110°;若∠OAD=∠AOD,即50°=190°−α,解得α=140°.综上,当α为125°或110°或140°时,△AOD是等腰三角形.
(2)AD//OC.理由如下:由(1)知,△DOC是等边三角形,∴∠CDO=∠DOC=60°.∵α=120°,△COB≌△CDA,∴∠ADC=∠COB=120°,∴∠ADO=120°−60°=60°,∴∠ADO=∠DOC=60°,∴AD//OC;
(3)∠AOD=360°−∠AOB−α−∠COD=360°−110°−α−60°=190°−α,∠ADO=∠ADC−∠CDO=α−60°,∠OAD=180°−∠ADO−∠AOD=180°−(α−60°)−(190°−α)=50°,若∠ADO=∠AOD,即α−60°=190°−α,解得α=125°;若∠ADO=∠OAD,即α−60°=50°,解得α=110°;若∠OAD=∠AOD,即50°=190°−α,解得α=140°.综上,当α为125°或110°或140°时,△AOD是等腰三角形.
18. (1)如图①,已知$∠EOF= 120^{\circ }$,OM平分$∠EOF$,A是OM上一点,$∠BAC= 60^{\circ }$,且与OF,OE分别交于点B,C.求证:$AB= AC$.
(2)如图②,在(1)的条件下,当$∠BAC$绕点A逆时针旋转使得点B落在OF的反向延长线上时,(1)中的结论是否还成立? 若成立,给出证明;若不成立,说明理由.
(3)如图③,已知$∠AOC= ∠BOC= ∠BAC= 60^{\circ }$.求证:①$△ABC$是等边三角形;②$OC= OA+OB$.
(2)如图②,在(1)的条件下,当$∠BAC$绕点A逆时针旋转使得点B落在OF的反向延长线上时,(1)中的结论是否还成立? 若成立,给出证明;若不成立,说明理由.
(3)如图③,已知$∠AOC= ∠BOC= ∠BAC= 60^{\circ }$.求证:①$△ABC$是等边三角形;②$OC= OA+OB$.
答案
(1)如图①,过点A作AG⊥OF于点G,AH⊥OE于点H,则∠AHO=∠AGO=90°.∵∠EOF=120°,∴∠HAG=60°=∠BAC,∴∠HAG−∠BAH=∠BAC−∠BAH,即∠BAG=∠CAH.∵OM平分∠EOF,AG⊥OF,AH⊥OE,∴AG=AH.在△BAG和△CAH中,{∠AGB=∠AHC,AG=AH,∠BAG=∠CAH,∴△BAG≌△CAH(ASA),∴AB=AC.
(2)(1)中的结论还成立,证明如下:如图②,过点A作AG⊥OF于点G,AH⊥OE于点H,则∠AHC=∠AGO=90°.∵∠EOF=120°,∴∠HAG=60°=∠BAC,∴∠HAG−∠BAH=∠BAC−∠BAH,即∠BAG=∠CAH.∵OM平分∠EOF,AG⊥OF,AH⊥OE,∴AG=AH.在△BAG和△CAH中,{∠AGB=∠AHC,AG=AH,∠BAG=∠CAH,∴△BAG≌△CAH(ASA),∴AB=AC.
(3)①如图③,设点F,M分别在BO,OA的延长线上.∵∠AOC=∠BOC=60°,∴∠FOA=180°−∠AOC−∠BOC=60°,∴∠FOA=∠AOC,即OM平分∠COF.由(2)知AC=AB,∵∠BAC=60°,∴△ABC是等边三角形.
②如图③,在OC上截取ON=OB,连接BN.∵∠COB=60°,∴△BON是等边三角形,∴BN=OB,∠OBN=60°.∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°=∠OBN,∴∠OBN−∠ABN=∠ABC−∠ABN,即∠ABO=∠CBN.在△AOB和△CNB中,{BA=BC,∠ABO=∠CBN,BO=BN,∴△AOB≌△CNB(SAS),∴OA=NC,∴OC=ON+CN=OB+OA,即OC=OA+OB.
(2)(1)中的结论还成立,证明如下:如图②,过点A作AG⊥OF于点G,AH⊥OE于点H,则∠AHC=∠AGO=90°.∵∠EOF=120°,∴∠HAG=60°=∠BAC,∴∠HAG−∠BAH=∠BAC−∠BAH,即∠BAG=∠CAH.∵OM平分∠EOF,AG⊥OF,AH⊥OE,∴AG=AH.在△BAG和△CAH中,{∠AGB=∠AHC,AG=AH,∠BAG=∠CAH,∴△BAG≌△CAH(ASA),∴AB=AC.
(3)①如图③,设点F,M分别在BO,OA的延长线上.∵∠AOC=∠BOC=60°,∴∠FOA=180°−∠AOC−∠BOC=60°,∴∠FOA=∠AOC,即OM平分∠COF.由(2)知AC=AB,∵∠BAC=60°,∴△ABC是等边三角形.
②如图③,在OC上截取ON=OB,连接BN.∵∠COB=60°,∴△BON是等边三角形,∴BN=OB,∠OBN=60°.∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°=∠OBN,∴∠OBN−∠ABN=∠ABC−∠ABN,即∠ABO=∠CBN.在△AOB和△CNB中,{BA=BC,∠ABO=∠CBN,BO=BN,∴△AOB≌△CNB(SAS),∴OA=NC,∴OC=ON+CN=OB+OA,即OC=OA+OB.
