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4.某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具的单价是B型玩具单价的1.6倍.
（1）两种型号玩具的单价各是多少元？
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程.
甲：$\frac{520}{1.6x}=\frac{175}{x}+30$，解得$x=5$，经检验$x=5$是原分式方程的解.
乙：$\frac{520}{x}=1.6×\frac{175}{x-30}$，解得$x=65$，经检验$x=65$是原分式方程的解.
则甲所列方程中的$x$表示
乙所列方程中的$x$表示
（2）该经营者准备了1350元，打算以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多少个？
（1）两种型号玩具的单价各是多少元？
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程.
甲：$\frac{520}{1.6x}=\frac{175}{x}+30$，解得$x=5$，经检验$x=5$是原分式方程的解.
乙：$\frac{520}{x}=1.6×\frac{175}{x-30}$，解得$x=65$，经检验$x=65$是原分式方程的解.
则甲所列方程中的$x$表示
B型玩具的单价
，乙所列方程中的$x$表示
用520元购进的A型玩具的数量
.（2）该经营者准备了1350元，打算以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多少个？
答案
4. 解 (1) B型玩具的单价 用520元购进的A型玩具的数量
(2)由(1)知B型玩具的单价为5元,则A型玩具的单价为$5×1.6=8$(元).
设可购进A型玩具a个,则购进B型玩具$(200-a)$个.
根据题意,得$8a+5(200-a)≤1 350$,
解得$a≤116\frac{2}{3}$.
因为a为正整数,所以a的最大值是116.
答:最多可购进A型玩具116个.
(2)由(1)知B型玩具的单价为5元,则A型玩具的单价为$5×1.6=8$(元).
设可购进A型玩具a个,则购进B型玩具$(200-a)$个.
根据题意,得$8a+5(200-a)≤1 350$,
解得$a≤116\frac{2}{3}$.
因为a为正整数,所以a的最大值是116.
答:最多可购进A型玩具116个.
解析
【分析】
（1）判断方程中未知数的意义需结合等量关系分析：甲的方程中$\frac{175}{x}$表示175元购进B型玩具的数量，因此x对应B型玩具的单价；乙的方程中$\frac{520}{x}$表示A型玩具的单价，结合“A型玩具数量比B型多30个”的条件，可知x表示520元购进的A型玩具的数量。
（2）第二问为不等式最值应用题，先根据第一问结论得到A、B型玩具的单价，再设购进A型玩具的数量为a，用总数量表示出B型玩具的数量，根据总费用不超过1350元列不等式求解，最后结合a为正整数的实际要求取最大值即可。
【解析】
（1）甲列的方程中$\frac{175}{x}$是175元购进B型玩具的数量，因此x表示B型玩具的单价；
乙列的方程中$\frac{520}{x}$是A型玩具的单价，$x-30$是175元购进B型玩具的数量，因此x表示用520元购进的A型玩具的数量。
（2）由（1）得B型玩具单价为5元，A型玩具单价为$5×1.6=8$元。
设可购进A型玩具$a$个，则购进B型玩具$(200-a)$个，根据题意列不等式：
$8a+5(200-a)≤1350$
展开化简得：$3a≤350$
解得：$a≤116\frac{2}{3}$
由于a为正整数，因此a的最大值为116。
【答案】
（1）B型玩具的单价；用520元购进的A型玩具的数量
（2）最多可购进A型玩具116个
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 一元一次不等式的应用
3. 实际问题的整数解
【点评】
本题结合生活实际考查方程与不等式的应用，既需要学生理解不同设元思路下未知数的含义，也要求学生能准确挖掘题干中的不等关系求解最值，解题时需注意实际问题中数量为正整数的隐含限制，避免结果不符合实际要求。
【难度系数】
0.7
（1）判断方程中未知数的意义需结合等量关系分析：甲的方程中$\frac{175}{x}$表示175元购进B型玩具的数量，因此x对应B型玩具的单价；乙的方程中$\frac{520}{x}$表示A型玩具的单价，结合“A型玩具数量比B型多30个”的条件，可知x表示520元购进的A型玩具的数量。
（2）第二问为不等式最值应用题，先根据第一问结论得到A、B型玩具的单价，再设购进A型玩具的数量为a，用总数量表示出B型玩具的数量，根据总费用不超过1350元列不等式求解，最后结合a为正整数的实际要求取最大值即可。
【解析】
（1）甲列的方程中$\frac{175}{x}$是175元购进B型玩具的数量，因此x表示B型玩具的单价；
乙列的方程中$\frac{520}{x}$是A型玩具的单价，$x-30$是175元购进B型玩具的数量，因此x表示用520元购进的A型玩具的数量。
（2）由（1）得B型玩具单价为5元，A型玩具单价为$5×1.6=8$元。
设可购进A型玩具$a$个，则购进B型玩具$(200-a)$个，根据题意列不等式：
$8a+5(200-a)≤1350$
展开化简得：$3a≤350$
解得：$a≤116\frac{2}{3}$
由于a为正整数，因此a的最大值为116。
【答案】
（1）B型玩具的单价；用520元购进的A型玩具的数量
（2）最多可购进A型玩具116个
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 一元一次不等式的应用
3. 实际问题的整数解
【点评】
本题结合生活实际考查方程与不等式的应用，既需要学生理解不同设元思路下未知数的含义，也要求学生能准确挖掘题干中的不等关系求解最值，解题时需注意实际问题中数量为正整数的隐含限制，避免结果不符合实际要求。
【难度系数】
0.7
5.列分式方程解应用题
【问题呈现】
为满足流感疫苗的接种需求,某生物科技公司开启“加速”模式,生产效率比原先提高了20%,现在生产540万剂疫苗所用的时间比原先生产510万剂疫苗所用的时间少0.8天.求原先每天生产多少万剂疫苗.
【分析交流】
(1)某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理,请你把表格内容补充完整.
【建模解答】
(2)请你完整解答本题.
【问题呈现】
为满足流感疫苗的接种需求,某生物科技公司开启“加速”模式,生产效率比原先提高了20%,现在生产540万剂疫苗所用的时间比原先生产510万剂疫苗所用的时间少0.8天.求原先每天生产多少万剂疫苗.
【分析交流】
(1)某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理,请你把表格内容补充完整.
【建模解答】
(2)请你完整解答本题.
答案
5. 解 (1)510 540 $(1+20\%)x$
(2)设原先每天生产x万剂疫苗,则现在每天生产$(1+20\%)x$万剂疫苗.根据题意,得
$\frac{510}{x}-\frac{540}{(1+20\%)x}=0.8$.
解得$x=75$.
经检验,$x=75$是原分式方程的解,且符合题意.
答:原先每天生产75万剂疫苗.
(2)设原先每天生产x万剂疫苗,则现在每天生产$(1+20\%)x$万剂疫苗.根据题意,得
$\frac{510}{x}-\frac{540}{(1+20\%)x}=0.8$.
解得$x=75$.
经检验,$x=75$是原分式方程的解,且符合题意.
答:原先每天生产75万剂疫苗.
解析
【分析】
（1）填表思路：根据题意，原先的生产任务是生产510万剂疫苗，因此原先生产总量填510；现在的生产任务是生产540万剂疫苗，因此现在生产总量填540；已知原先每天生产量为x万剂，现在生产效率比原先提高20%，即现在每天生产量是原先的$(1+20\%)$倍，因此现在每天生产量为$(1+20\%)x$万剂。
（2）解题思路：工程类问题的核心公式为“生产时间=生产总量÷每天生产量”，题目的等量关系为：原先生产510万剂的时间 - 现在生产540万剂的时间=0.8天。设原先每天生产x万剂，分别表示出两个生产时间代入等量关系即可列出分式方程，求解后注意分式方程需要检验，既要验证解是原方程的根，也要验证解符合实际意义。
【解析】
(1) 表格补充内容依次为：510、540、$(1+20\%)x$。
(2) 设原先每天生产$x$万剂疫苗，则现在每天生产$(1+20\%)x$万剂疫苗。
根据题意列方程：
$\frac{510}{x}-\frac{540}{(1+20\%)x}=0.8$
化简得$\frac{510}{x}-\frac{540}{1.2x}=0.8$，方程两边同乘$1.2x$去分母得：
$510×1.2 - 540 = 0.8×1.2x$
计算得$72=0.96x$，解得$x=75$。
检验：当$x=75$时，$1.2x=90≠0$，因此$x=75$是原分式方程的解，且符合实际生产的要求。
【答案】
(1) $510$；$540$；$(1+20\%)x$
(2) 原先每天生产75万剂疫苗。
【知识点】
分式方程的应用；分式方程的解法；分式方程的检验
【点评】
本题是典型的工程类分式方程应用题，解题关键是找准时间差的等量关系，需要注意分式方程求解后必须完成双重检验，避免出现增根或不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
（1）填表思路：根据题意，原先的生产任务是生产510万剂疫苗，因此原先生产总量填510；现在的生产任务是生产540万剂疫苗，因此现在生产总量填540；已知原先每天生产量为x万剂，现在生产效率比原先提高20%，即现在每天生产量是原先的$(1+20\%)$倍，因此现在每天生产量为$(1+20\%)x$万剂。
（2）解题思路：工程类问题的核心公式为“生产时间=生产总量÷每天生产量”，题目的等量关系为：原先生产510万剂的时间 - 现在生产540万剂的时间=0.8天。设原先每天生产x万剂，分别表示出两个生产时间代入等量关系即可列出分式方程，求解后注意分式方程需要检验，既要验证解是原方程的根，也要验证解符合实际意义。
【解析】
(1) 表格补充内容依次为：510、540、$(1+20\%)x$。
(2) 设原先每天生产$x$万剂疫苗，则现在每天生产$(1+20\%)x$万剂疫苗。
根据题意列方程：
$\frac{510}{x}-\frac{540}{(1+20\%)x}=0.8$
化简得$\frac{510}{x}-\frac{540}{1.2x}=0.8$，方程两边同乘$1.2x$去分母得：
$510×1.2 - 540 = 0.8×1.2x$
计算得$72=0.96x$，解得$x=75$。
检验：当$x=75$时，$1.2x=90≠0$，因此$x=75$是原分式方程的解，且符合实际生产的要求。
【答案】
(1) $510$；$540$；$(1+20\%)x$
(2) 原先每天生产75万剂疫苗。
【知识点】
分式方程的应用；分式方程的解法；分式方程的检验
【点评】
本题是典型的工程类分式方程应用题，解题关键是找准时间差的等量关系，需要注意分式方程求解后必须完成双重检验，避免出现增根或不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
