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基础知识·预习
问题1 根据乘方的意义，如何计算$10^6 × 10^5$？
问题2 举例说明如何进行同底数幂的乘法运算。
问题1 根据乘方的意义，如何计算$10^6 × 10^5$？
问题2 举例说明如何进行同底数幂的乘法运算。
答案
解：
问题1
根据乘方的意义：
$10^6$表示6个10相乘，即$10^6 = \underbrace{10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10}_{6个10}$
$10^5$表示5个10相乘，即$10^5 = \underbrace{10 × 10 × 10 × 10 × 10}_{5个10}$
因此：
$\begin{aligned}10^6 × 10^5 &= \underbrace{(10 × 10 × \dots × 10)}_{6个10} × \underbrace{(10 × 10 × \dots × 10)}_{5个10} \\&= \underbrace{10 × 10 × \dots × 10}_{(6+5)个10} \\&= 10^{11}\end{aligned}$
问题2
同底数幂的乘法运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，公式为$a^m · a^n = a^{m+n}$（$m$、$n$均为正整数）。
举例：计算$3^2 × 3^3$，两个幂的底数都为3，属于同底数幂相乘，按照运算法则，底数3保持不变，将指数2和3相加，可得$3^2 × 3^3 = 3^{2+3} = 3^5 = 243$。
问题1
根据乘方的意义：
$10^6$表示6个10相乘，即$10^6 = \underbrace{10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10}_{6个10}$
$10^5$表示5个10相乘，即$10^5 = \underbrace{10 × 10 × 10 × 10 × 10}_{5个10}$
因此：
$\begin{aligned}10^6 × 10^5 &= \underbrace{(10 × 10 × \dots × 10)}_{6个10} × \underbrace{(10 × 10 × \dots × 10)}_{5个10} \\&= \underbrace{10 × 10 × \dots × 10}_{(6+5)个10} \\&= 10^{11}\end{aligned}$
问题2
同底数幂的乘法运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，公式为$a^m · a^n = a^{m+n}$（$m$、$n$均为正整数）。
举例：计算$3^2 × 3^3$，两个幂的底数都为3，属于同底数幂相乘，按照运算法则，底数3保持不变，将指数2和3相加，可得$3^2 × 3^3 = 3^{2+3} = 3^5 = 243$。
解析
【分析】
解决本题需先回忆乘方的意义，再逐步推导：对于问题1，先根据乘方的意义将两个幂分别改写为多个相同因数相乘的形式，再合并两个乘法算式，统计相同因数的总个数，最后还原为乘方形式即可得到结果；对于问题2，先从问题1的特殊计算过程中归纳出同底数幂乘法的通用运算规则，再举一个简单的同底数幂乘法的例子，按照规则完成计算即可。
【解析】
问题1
根据乘方的意义：
$10^6$表示6个10相乘，即$10^6 = \underbrace{10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10}_{6个10}$
$10^5$表示5个10相乘，即$10^5 = \underbrace{10 × 10 × 10 × 10 × 10}_{5个10}$
因此：
$\begin{aligned}10^6 × 10^5 &= \underbrace{(10 × 10 × \dots × 10)}_{6个10} × \underbrace{(10 × 10 × \dots × 10)}_{5个10} \\&= \underbrace{10 × 10 × \dots × 10}_{(6+5)个10} \\&= 10^{11}\end{aligned}$
问题2
同底数幂的乘法运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，公式为$a^m · a^n = a^{m+n}$（$m$、$n$均为正整数）。
举例：计算$3^2 × 3^3$，两个幂的底数都为3，属于同底数幂相乘，按照运算法则，底数3保持不变，将指数2和3相加，可得$3^2 × 3^3 = 3^{2+3} = 3^5 = 243$（举例不唯一，合理即可）。
【答案】
问题1：$10^6×10^5=10^{11}$，计算过程见上述解析；
问题2：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m·a^n=a^{m+n}$（$m$、$n$为正整数），举例如$3^2×3^3=3^5=243$（举例合理即可）。
【知识点】
乘方的意义；同底数幂的乘法法则
【点评】
本题属于同底数幂乘法的基础探究题，重点考查对乘方意义的理解和同底数幂乘法法则的推导应用，通过从特殊到一般的探究过程，帮助学习者理解法则的本质，避免机械记忆公式，是整式乘法学习的重要基础。
【难度系数】
0.9
解决本题需先回忆乘方的意义，再逐步推导：对于问题1，先根据乘方的意义将两个幂分别改写为多个相同因数相乘的形式，再合并两个乘法算式，统计相同因数的总个数，最后还原为乘方形式即可得到结果；对于问题2，先从问题1的特殊计算过程中归纳出同底数幂乘法的通用运算规则，再举一个简单的同底数幂乘法的例子，按照规则完成计算即可。
【解析】
问题1
根据乘方的意义：
$10^6$表示6个10相乘，即$10^6 = \underbrace{10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10}_{6个10}$
$10^5$表示5个10相乘，即$10^5 = \underbrace{10 × 10 × 10 × 10 × 10}_{5个10}$
因此：
$\begin{aligned}10^6 × 10^5 &= \underbrace{(10 × 10 × \dots × 10)}_{6个10} × \underbrace{(10 × 10 × \dots × 10)}_{5个10} \\&= \underbrace{10 × 10 × \dots × 10}_{(6+5)个10} \\&= 10^{11}\end{aligned}$
问题2
同底数幂的乘法运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，公式为$a^m · a^n = a^{m+n}$（$m$、$n$均为正整数）。
举例：计算$3^2 × 3^3$，两个幂的底数都为3，属于同底数幂相乘，按照运算法则，底数3保持不变，将指数2和3相加，可得$3^2 × 3^3 = 3^{2+3} = 3^5 = 243$（举例不唯一，合理即可）。
【答案】
问题1：$10^6×10^5=10^{11}$，计算过程见上述解析；
问题2：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m·a^n=a^{m+n}$（$m$、$n$为正整数），举例如$3^2×3^3=3^5=243$（举例合理即可）。
【知识点】
乘方的意义；同底数幂的乘法法则
【点评】
本题属于同底数幂乘法的基础探究题，重点考查对乘方意义的理解和同底数幂乘法法则的推导应用，通过从特殊到一般的探究过程，帮助学习者理解法则的本质，避免机械记忆公式，是整式乘法学习的重要基础。
【难度系数】
0.9
【典型例题1】计算：
(1)$-3^3 × 3^5$；
(2)$-a^5 · (-a)^2$；
(3)$a · a^{n+2} · a^{2n+3}$；
(4)$(x-y)^2 · (y-x)^4 · (x-y)^3$。
思路导引 对于底数互为相反数的幂的乘法运算，一般把它转化为相同底数的幂的乘法运算，然后再运用法则进行计算。
【解】(1)$-3^3 × 3^5 = -3^{3+5} = -3^8$。
(2)$-a^5 · (-a)^2 = -a^5 · a^2 = -a^{5+2} = -a^7$。
(3)$a · a^{n+2} · a^{2n+3} = a^{1+n+2+2n+3} = a^{3n+6}$。
(4)$(x-y)^2 · (y-x)^4 · (x-y)^3$
$=(x-y)^2 · (x-y)^4 · (x-y)^3$
$=(x-y)^{2+4+3}$
$=(x-y)^9$。
(1)$-3^3 × 3^5$；
(2)$-a^5 · (-a)^2$；
(3)$a · a^{n+2} · a^{2n+3}$；
(4)$(x-y)^2 · (y-x)^4 · (x-y)^3$。
思路导引 对于底数互为相反数的幂的乘法运算，一般把它转化为相同底数的幂的乘法运算，然后再运用法则进行计算。
【解】(1)$-3^3 × 3^5 = -3^{3+5} = -3^8$。
(2)$-a^5 · (-a)^2 = -a^5 · a^2 = -a^{5+2} = -a^7$。
(3)$a · a^{n+2} · a^{2n+3} = a^{1+n+2+2n+3} = a^{3n+6}$。
(4)$(x-y)^2 · (y-x)^4 · (x-y)^3$
$=(x-y)^2 · (x-y)^4 · (x-y)^3$
$=(x-y)^{2+4+3}$
$=(x-y)^9$。
答案
解：
(1) $-3^3 × 3^5 = -3^{3+5} = -3^8$
(2) $-a^5 · (-a)^2 = -a^5 · a^2 = -a^{5+2} = -a^7$
(3) $a · a^{n+2} · a^{2n+3} = a^{1+n+2+2n+3} = a^{3n+6}$
(4) $(x-y)^2 · (y-x)^4 · (x-y)^3$
$=(x-y)^2 · (x-y)^4 · (x-y)^3$
$=(x-y)^{2+4+3}$
$=(x-y)^9$
(1) $-3^3 × 3^5 = -3^{3+5} = -3^8$
(2) $-a^5 · (-a)^2 = -a^5 · a^2 = -a^{5+2} = -a^7$
(3) $a · a^{n+2} · a^{2n+3} = a^{1+n+2+2n+3} = a^{3n+6}$
(4) $(x-y)^2 · (y-x)^4 · (x-y)^3$
$=(x-y)^2 · (x-y)^4 · (x-y)^3$
$=(x-y)^{2+4+3}$
$=(x-y)^9$
解析
【分析】
这组题目考查同底数幂的乘法运算，解题思路如下：①首先明确同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，运算的前提是幂的底数相同；②若底数不相同，先判断底数是否互为相反数，利用偶次幂的符号特性（互为相反数的两个数的偶次幂相等）将底数统一，比如$(-a)^2=a^2$、$(y-x)^4=(x-y)^4$；③注意单独出现的字母（如第(3)问中的$a$），它的指数为1，计算时不能遗漏；④运算过程中先确定符号，再对指数做加法运算，最后化简指数的整式表达式即可。
【解析】
(1) 两个幂的底数均为3，保留负号后运用同底数幂乘法法则：
$-3^3 × 3^5 = -3^{3+5} = -3^8$
(2) 先化简$(-a)^2=a^2$，统一底数为$a$后计算：
$-a^5 · (-a)^2 = -a^5 · a^2 = -a^{5+2} = -a^7$
(3) $a$的指数为1，将所有指数相加合并：
$a · a^{n+2} · a^{2n+3} = a^{1+n+2+2n+3} = a^{3n+6}$
(4) 因为指数4为偶数，所以$(y-x)^4=(x-y)^4$，统一底数为$(x-y)$后计算：
$(x-y)^2 · (y-x)^4 · (x-y)^3$
$=(x-y)^2 · (x-y)^4 · (x-y)^3$
$=(x-y)^{2+4+3}$
$=(x-y)^9$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3^8}$；(2) $\boldsymbol{-a^7}$；(3) $\boldsymbol{a^{3n+6}}$；(4) $\boldsymbol{(x-y)^9}$
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的符号判断，指数合并运算
【点评】
本题是同底数幂乘法的常规基础题，核心考查对同底数幂乘法法则的运用能力，解题的易错点在于忽略单独字母的指数为1、混淆偶次幂与奇次幂的符号差异，熟练掌握底数统一的技巧和符号判断规则即可快速解题。
【难度系数】
0.85
这组题目考查同底数幂的乘法运算，解题思路如下：①首先明确同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，运算的前提是幂的底数相同；②若底数不相同，先判断底数是否互为相反数，利用偶次幂的符号特性（互为相反数的两个数的偶次幂相等）将底数统一，比如$(-a)^2=a^2$、$(y-x)^4=(x-y)^4$；③注意单独出现的字母（如第(3)问中的$a$），它的指数为1，计算时不能遗漏；④运算过程中先确定符号，再对指数做加法运算，最后化简指数的整式表达式即可。
【解析】
(1) 两个幂的底数均为3，保留负号后运用同底数幂乘法法则：
$-3^3 × 3^5 = -3^{3+5} = -3^8$
(2) 先化简$(-a)^2=a^2$，统一底数为$a$后计算：
$-a^5 · (-a)^2 = -a^5 · a^2 = -a^{5+2} = -a^7$
(3) $a$的指数为1，将所有指数相加合并：
$a · a^{n+2} · a^{2n+3} = a^{1+n+2+2n+3} = a^{3n+6}$
(4) 因为指数4为偶数，所以$(y-x)^4=(x-y)^4$，统一底数为$(x-y)$后计算：
$(x-y)^2 · (y-x)^4 · (x-y)^3$
$=(x-y)^2 · (x-y)^4 · (x-y)^3$
$=(x-y)^{2+4+3}$
$=(x-y)^9$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3^8}$；(2) $\boldsymbol{-a^7}$；(3) $\boldsymbol{a^{3n+6}}$；(4) $\boldsymbol{(x-y)^9}$
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的符号判断，指数合并运算
【点评】
本题是同底数幂乘法的常规基础题，核心考查对同底数幂乘法法则的运用能力，解题的易错点在于忽略单独字母的指数为1、混淆偶次幂与奇次幂的符号差异，熟练掌握底数统一的技巧和符号判断规则即可快速解题。
【难度系数】
0.85
