登录
11.已知$a,b$互为倒数，$x,y$互为相反数，且$y≠0$，那么代数式$(a+b)(x+y)-ab-\frac{x}{y}$的值为（
A.2
B.1
C.$-1$
D.0
D
）A.2
B.1
C.$-1$
D.0
答案
11.D
解析
【分析】
解题时先回忆倒数、相反数的基本性质：互为倒数的两个数乘积为1，互为相反数的两个数和为0，且不为0的互为相反数的两个数的商为-1。我们先把题目里的文字条件转化为对应的代数式，再代入所求式子逐步计算就能得到结果。
【解析】
解：根据题意可知：
1. 因为$a,b$互为倒数，所以$ab=1$；
2. 因为$x,y$互为相反数，且$y≠0$，所以$x+y=0$，且$x=-y$，因此$\frac{x}{y}=\frac{-y}{y}=-1$。
将上述结果代入代数式计算：
$\begin{aligned}(a+b)(x+y)-ab-\frac{x}{y}&=(a+b)×0 - 1 - (-1)\\&=0 -1 +1\\&=0\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
倒数的定义；相反数的定义；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是熟练掌握倒数、相反数的性质，代入计算时注意符号规则，避免符号出错即可。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆倒数、相反数的基本性质：互为倒数的两个数乘积为1，互为相反数的两个数和为0，且不为0的互为相反数的两个数的商为-1。我们先把题目里的文字条件转化为对应的代数式，再代入所求式子逐步计算就能得到结果。
【解析】
解：根据题意可知：
1. 因为$a,b$互为倒数，所以$ab=1$；
2. 因为$x,y$互为相反数，且$y≠0$，所以$x+y=0$，且$x=-y$，因此$\frac{x}{y}=\frac{-y}{y}=-1$。
将上述结果代入代数式计算：
$\begin{aligned}(a+b)(x+y)-ab-\frac{x}{y}&=(a+b)×0 - 1 - (-1)\\&=0 -1 +1\\&=0\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
倒数的定义；相反数的定义；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是熟练掌握倒数、相反数的性质，代入计算时注意符号规则，避免符号出错即可。
【难度系数】
0.8
12. 按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（
A.$m=1,n=1$
B.$m=1,n=0$
C.$m=1,n=2$
D.$m=2,n=1$
D
）A.$m=1,n=1$
B.$m=1,n=0$
C.$m=1,n=2$
D.$m=2,n=1$
答案
12.D
解析
【分析】
解题时首先要读懂运算程序的规则：先比较输入的m和n的大小，若m≤n，就代入公式y=2m+1计算y值；若m＞n，就代入公式y=2n-1计算y值。我们只需将四个选项的m、n值分别按规则计算，找到输出y=1的选项即可。
【解析】
先明确运算规则：
①当$m≤ n$时，$y=2m+1$；
②当$m＞n$时，$y=2n-1$。
逐个计算选项：
A. $m=1,n=1$，满足$m≤ n$，则$y=2×1+1=3≠1$，不符合要求；
B. $m=1,n=0$，满足$m＞n$，则$y=2×0-1=-1≠1$，不符合要求；
C. $m=1,n=2$，满足$m≤ n$，则$y=2×1+1=3≠1$，不符合要求；
D. $m=2,n=1$，满足$m＞n$，则$y=2×1-1=1$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
代数式求值、程序流程图运算、有理数运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是先根据m和n的大小关系选择对应的运算公式，再准确代入计算即可，重点考查对规则的理解能力和基本运算能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先要读懂运算程序的规则：先比较输入的m和n的大小，若m≤n，就代入公式y=2m+1计算y值；若m＞n，就代入公式y=2n-1计算y值。我们只需将四个选项的m、n值分别按规则计算，找到输出y=1的选项即可。
【解析】
先明确运算规则：
①当$m≤ n$时，$y=2m+1$；
②当$m＞n$时，$y=2n-1$。
逐个计算选项：
A. $m=1,n=1$，满足$m≤ n$，则$y=2×1+1=3≠1$，不符合要求；
B. $m=1,n=0$，满足$m＞n$，则$y=2×0-1=-1≠1$，不符合要求；
C. $m=1,n=2$，满足$m≤ n$，则$y=2×1+1=3≠1$，不符合要求；
D. $m=2,n=1$，满足$m＞n$，则$y=2×1-1=1$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
代数式求值、程序流程图运算、有理数运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是先根据m和n的大小关系选择对应的运算公式，再准确代入计算即可，重点考查对规则的理解能力和基本运算能力。
【难度系数】
0.8
13. a是最大的负整数，b是最小的正整数，c为绝对值最小的数，则$6a - 2b + 4c$的值为
-8
。答案
13.-8
解析
【分析】
解题时首先要根据有理数的相关概念确定a、b、c的取值：最大的负整数是-1，最小的正整数是1，绝对值最小的数是0；再将三个值代入代数式，按照有理数的运算规则计算即可得到结果。
【解析】
解：根据题意可得：
a是最大的负整数，故a=-1；
b是最小的正整数，故b=1；
c是绝对值最小的数，故c=0。
将a=-1，b=1，c=0代入代数式$6a - 2b + 4c$得：
$\begin{aligned}6a - 2b + 4c &= 6×(-1) - 2×1 + 4×0 \\&= -6 - 2 + 0 \\&= -8\end{aligned}$
【答案】
-8
【知识点】
有理数的概念；绝对值的性质；代数式求值
【点评】
本题为基础题型，重点考察对特殊有理数的识别能力和代数式代入计算的能力，牢记常见特殊有理数的取值、计算时注意符号即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先要根据有理数的相关概念确定a、b、c的取值：最大的负整数是-1，最小的正整数是1，绝对值最小的数是0；再将三个值代入代数式，按照有理数的运算规则计算即可得到结果。
【解析】
解：根据题意可得：
a是最大的负整数，故a=-1；
b是最小的正整数，故b=1；
c是绝对值最小的数，故c=0。
将a=-1，b=1，c=0代入代数式$6a - 2b + 4c$得：
$\begin{aligned}6a - 2b + 4c &= 6×(-1) - 2×1 + 4×0 \\&= -6 - 2 + 0 \\&= -8\end{aligned}$
【答案】
-8
【知识点】
有理数的概念；绝对值的性质；代数式求值
【点评】
本题为基础题型，重点考察对特殊有理数的识别能力和代数式代入计算的能力，牢记常见特殊有理数的取值、计算时注意符号即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
14.将一根绳子对折一次后从中间剪一刀，绳子变成3段；对折两次后从中间剪一刀，绳子变成5段；将这根绳子对折n次后从中间剪一刀，绳子变成
$2^n+1$
段。答案
14.$(2^n+1)$
解析
【分析】
这是一道规律探究题，解题时我们可以从题目给出的特殊情况入手，先整理出对折次数较少时对应的绳子段数，再观察对折次数和段数之间的数量关系，从中找到通用规律，最后推广到对折n次的情况即可。
【解析】
我们先列举已知的对折次数和对应段数：
① 当对折次数$n=1$时，从中间剪一刀后绳子段数为3，即$3=2^1 + 1$；
② 当对折次数$n=2$时，从中间剪一刀后绳子段数为5，即$5=2^2 + 1$；
我们可以验证对折3次的情况：对折3次后绳子共有$2^3=8$股，从中间剪一刀后段数为9，即$9=2^3 +1$，符合上述规律。
由此可归纳出一般规律：将绳子对折$n$次后从中间剪一刀，绳子段数为2的$n$次方加1。
【答案】
$(2^n+1)$
【知识点】
1. 规律探究 2. 列代数式 3. 乘方的应用
【点评】
本题属于典型的归纳类规律题，核心解题思路是从特殊到一般，通过对简单情形的分析总结出通用结论，能有效锻炼学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
这是一道规律探究题，解题时我们可以从题目给出的特殊情况入手，先整理出对折次数较少时对应的绳子段数，再观察对折次数和段数之间的数量关系，从中找到通用规律，最后推广到对折n次的情况即可。
【解析】
我们先列举已知的对折次数和对应段数：
① 当对折次数$n=1$时，从中间剪一刀后绳子段数为3，即$3=2^1 + 1$；
② 当对折次数$n=2$时，从中间剪一刀后绳子段数为5，即$5=2^2 + 1$；
我们可以验证对折3次的情况：对折3次后绳子共有$2^3=8$股，从中间剪一刀后段数为9，即$9=2^3 +1$，符合上述规律。
由此可归纳出一般规律：将绳子对折$n$次后从中间剪一刀，绳子段数为2的$n$次方加1。
【答案】
$(2^n+1)$
【知识点】
1. 规律探究 2. 列代数式 3. 乘方的应用
【点评】
本题属于典型的归纳类规律题，核心解题思路是从特殊到一般，通过对简单情形的分析总结出通用结论，能有效锻炼学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
15.已知代数式$ay^5 + by^3 + 4y + c$，当$y=0$时，该代数式的值为$-5$。
(1)当$y=1$时，该代数式的值为$-8$，求$a+b$的值；
(2)当$y=3$时，该代数式的值为$-12$，求当$y=-3$时该代数式的值。
(1)当$y=1$时，该代数式的值为$-8$，求$a+b$的值；
(2)当$y=3$时，该代数式的值为$-12$，求当$y=-3$时该代数式的值。
答案
15.解:把$y=0$代入代数式,由于代数式的值为$-5$,所以$c=-5$.所以原代数式为$ay^5+by^3+4y-5$.
(1)由题意,当$y=1$时,该代数式的值为$-8$,所以$a+b+4-5=-8$,解得$a+b=-7$.
(2)当$y=3$时,该代数式的值为$-12$,所以$3^5a+3^3b+4×3-5=-12$,即$3^5a+3^3b+12=-7$,当$y=-3$时,$ay^5+by^3+4y-5=a×(-3)^5+b×(-3)^3+4×(-3)-5=-3^5a-3^3b-12-5=-(3^5a+3^3b+12)-5=7-5=2$.
(1)由题意,当$y=1$时,该代数式的值为$-8$,所以$a+b+4-5=-8$,解得$a+b=-7$.
(2)当$y=3$时,该代数式的值为$-12$,所以$3^5a+3^3b+4×3-5=-12$,即$3^5a+3^3b+12=-7$,当$y=-3$时,$ay^5+by^3+4y-5=a×(-3)^5+b×(-3)^3+4×(-3)-5=-3^5a-3^3b-12-5=-(3^5a+3^3b+12)-5=7-5=2$.
解析
【分析】
解题时首先利用y=0时代数式的值求出常数c，先简化代数式。对于(1)，将y=1代入简化后的代数式，结合给出的代数式的值即可直接求出a+b的和；对于(2)，观察到代数式中y的次数均为奇数，因此y=3和y=-3时，含a、b的项以及4y项均互为相反数，因此可以先将y=3代入求出含a、b的整体式子的值，再将y=-3代入，通过整体代换计算结果，不需要求出a、b的具体值。
【解析】
把$y=0$代入代数式$ay^5 + by^3 + 4y + c$，由于代数式的值为$-5$，代入得$0+0+0+c=-5$，解得$c=-5$，因此原代数式简化为$ay^5+by^3+4y-5$。
(1)由题意，当$y=1$时，该代数式的值为$-8$，将$y=1$代入简化后的代数式得：
$a×1^5 + b×1^3 +4×1 -5 = -8$
整理得$a+b+4-5=-8$，解得$a+b=-7$。
(2)当$y=3$时，该代数式的值为$-12$，将$y=3$代入得：
$3^5a + 3^3b +4×3 -5 = -12$
整理得$3^5a +3^3b +12 = -7$。
当$y=-3$时，代入代数式得：
$a×(-3)^5 + b×(-3)^3 +4×(-3) -5$
$=-3^5a -3^3b -12 -5$
$=-(3^5a +3^3b +12) -5$
将$3^5a +3^3b +12=-7$整体代入上式，得：
$-(-7)-5=7-5=2$
【答案】
(1)$a+b=-7$；(2)当$y=-3$时，该代数式的值为$\boxed{2}$
【知识点】
代数式求值，整体代入法，奇次幂的性质
【点评】
本题核心考查代数式的求值运算，解题关键是先求出常数项c的值，第二问利用奇次幂的符号特征，通过整体代换的方法避免求解a、b的具体值，简化了计算过程，侧重对整体思想的运用考查。
【难度系数】
0.65
解题时首先利用y=0时代数式的值求出常数c，先简化代数式。对于(1)，将y=1代入简化后的代数式，结合给出的代数式的值即可直接求出a+b的和；对于(2)，观察到代数式中y的次数均为奇数，因此y=3和y=-3时，含a、b的项以及4y项均互为相反数，因此可以先将y=3代入求出含a、b的整体式子的值，再将y=-3代入，通过整体代换计算结果，不需要求出a、b的具体值。
【解析】
把$y=0$代入代数式$ay^5 + by^3 + 4y + c$，由于代数式的值为$-5$，代入得$0+0+0+c=-5$，解得$c=-5$，因此原代数式简化为$ay^5+by^3+4y-5$。
(1)由题意，当$y=1$时，该代数式的值为$-8$，将$y=1$代入简化后的代数式得：
$a×1^5 + b×1^3 +4×1 -5 = -8$
整理得$a+b+4-5=-8$，解得$a+b=-7$。
(2)当$y=3$时，该代数式的值为$-12$，将$y=3$代入得：
$3^5a + 3^3b +4×3 -5 = -12$
整理得$3^5a +3^3b +12 = -7$。
当$y=-3$时，代入代数式得：
$a×(-3)^5 + b×(-3)^3 +4×(-3) -5$
$=-3^5a -3^3b -12 -5$
$=-(3^5a +3^3b +12) -5$
将$3^5a +3^3b +12=-7$整体代入上式，得：
$-(-7)-5=7-5=2$
【答案】
(1)$a+b=-7$；(2)当$y=-3$时，该代数式的值为$\boxed{2}$
【知识点】
代数式求值，整体代入法，奇次幂的性质
【点评】
本题核心考查代数式的求值运算，解题关键是先求出常数项c的值，第二问利用奇次幂的符号特征，通过整体代换的方法避免求解a、b的具体值，简化了计算过程，侧重对整体思想的运用考查。
【难度系数】
0.65
16.为庆祝我国首个空间实验室“天宫一号”顺利升空，学校开展了火箭模型制作比赛，如图为火箭模型的截面图，下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形.
(1)用含a，b的代数式表示该截面的面积S；
(2)当a＝2 cm，b＝3 cm时，求这个截面的面积.
(1)用含a，b的代数式表示该截面的面积S；
(2)当a＝2 cm，b＝3 cm时，求这个截面的面积.
答案
16.解:(1)截面的面积=一个三角形的面积+一个矩形的面积+一个梯形的面积,则$S=\frac{1}{2}ab+a·2a+\frac{1}{2}(a+2a)b=\frac{1}{2}ab+2a^2+\frac{3}{2}ab$.
(2)将$a=2\ \mathrm{cm},b=3\ \mathrm{cm}$代入,得$S=\frac{1}{2}×2×3+2×2^2+\frac{3}{2}×2×3=20(\mathrm{cm}^2)$.
(2)将$a=2\ \mathrm{cm},b=3\ \mathrm{cm}$代入,得$S=\frac{1}{2}×2×3+2×2^2+\frac{3}{2}×2×3=20(\mathrm{cm}^2)$.
解析
【分析】
本题属于组合图形的面积计算问题，采用分割法求解即可。首先将火箭截面分割为三角形、长方形、梯形三个我们熟悉的基本图形；再分别根据三类图形的面积公式，结合图中标注的各段长度，计算每个基本图形的面积；将三个面积相加，即可得到用a、b表示的截面面积S的代数式。第二问只需把a、b的取值代入第一问得到的代数式，按照有理数运算顺序计算，就能求出截面的实际面积。
【解析】
(1) 截面总面积为三角形、长方形、梯形的面积之和：
三角形的底为a，高为b，面积为：$\frac{1}{2} × a × b = \frac{1}{2}ab$
长方形的长为2a，宽为a，面积为：$a × 2a = 2a^2$
梯形的上底为a，下底为2a，高为b，面积为：$\frac{1}{2} × (a+2a) × b = \frac{3}{2}ab$
因此截面面积$S = \frac{1}{2}ab + 2a^2 + \frac{3}{2}ab$，化简可得$S=2a^2+2ab$。
(2) 将$a=2\ \mathrm{cm}$，$b=3\ \mathrm{cm}$代入$S=2a^2+2ab$中：
$S=2× 2^2 + 2× 2 × 3 = 2× 4 + 12 = 8 + 12 = 20(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) $S=2a^2+2ab$（或$S=\frac{1}{2}ab+2a^2+\frac{3}{2}ab$）；
(2) $20\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
组合图形面积计算，列代数式，代数式求值
【点评】
本题结合实际背景考查几何面积计算与代数式相关知识，核心是通过分割法将复杂组合图形转化为基础图形求解，代入求值时注意运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
本题属于组合图形的面积计算问题，采用分割法求解即可。首先将火箭截面分割为三角形、长方形、梯形三个我们熟悉的基本图形；再分别根据三类图形的面积公式，结合图中标注的各段长度，计算每个基本图形的面积；将三个面积相加，即可得到用a、b表示的截面面积S的代数式。第二问只需把a、b的取值代入第一问得到的代数式，按照有理数运算顺序计算，就能求出截面的实际面积。
【解析】
(1) 截面总面积为三角形、长方形、梯形的面积之和：
三角形的底为a，高为b，面积为：$\frac{1}{2} × a × b = \frac{1}{2}ab$
长方形的长为2a，宽为a，面积为：$a × 2a = 2a^2$
梯形的上底为a，下底为2a，高为b，面积为：$\frac{1}{2} × (a+2a) × b = \frac{3}{2}ab$
因此截面面积$S = \frac{1}{2}ab + 2a^2 + \frac{3}{2}ab$，化简可得$S=2a^2+2ab$。
(2) 将$a=2\ \mathrm{cm}$，$b=3\ \mathrm{cm}$代入$S=2a^2+2ab$中：
$S=2× 2^2 + 2× 2 × 3 = 2× 4 + 12 = 8 + 12 = 20(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) $S=2a^2+2ab$（或$S=\frac{1}{2}ab+2a^2+\frac{3}{2}ab$）；
(2) $20\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
组合图形面积计算，列代数式，代数式求值
【点评】
本题结合实际背景考查几何面积计算与代数式相关知识，核心是通过分割法将复杂组合图形转化为基础图形求解，代入求值时注意运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
17.人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关.如果用$a$表示一个人的年龄,用$b$表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数,那么$b=0.8(220-a)$.
(1)正常情况下,在运动时一个16岁的少年所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少?
(2)一个50岁的人运动时,10秒心跳的次数为20次,请问他有危险吗?为什么?
(1)正常情况下,在运动时一个16岁的少年所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少?
(2)一个50岁的人运动时,10秒心跳的次数为20次,请问他有危险吗?为什么?
答案
17.解:(1)将$a=16$代入,得$b=0.8×(220-16)=163.2$(次),即16岁的少年所能承受的每分钟心跳的最高次数是163.2次.
(2)将$a=50$代入,得$b=0.8×(220-50)=136$(次),$136÷60×10=\frac{68}{3}＞20$,所以此人没有危险.
(2)将$a=50$代入,得$b=0.8×(220-50)=136$(次),$136÷60×10=\frac{68}{3}＞20$,所以此人没有危险.
解析
【分析】
本题属于代数式的实际应用类题目。(1)小题已知年龄a为16，直接将a=16代入公式$b=0.8(220-a)$，按照先算括号内、再算乘法的运算顺序计算，即可得到对应最高心跳次数；(2)小题先将a=50代入公式算出50岁人群运动时每分钟能承受的最高心跳次数，再将每分钟的最高心跳次数换算为10秒的最高允许心跳数，和实际10秒心跳20次对比，若实际次数低于最高允许值则无危险，反之则有危险。
【解析】
(1) 把$a=16$代入$b=0.8(220-a)$，得：
$\begin{aligned}b&=0.8×(220-16)\\&=0.8×204\\&=163.2(\mathrm{次})\end{aligned}$
(2) 先计算50岁的人运动时每分钟能承受的最高心跳次数，把$a=50$代入$b=0.8(220-a)$，得：
$\begin{aligned}b&=0.8×(220-50)\\&=0.8×170\\&=136(\mathrm{次})\end{aligned}$
1分钟=60秒，因此10秒内能承受的最高心跳次数为：
$136÷60×10=\frac{68}{3}$
因为$\frac{68}{3}＞20$，说明实际10秒心跳次数低于最高承受值，所以他没有危险。
【答案】
(1) 16岁的少年所能承受的每分钟心跳的最高次数是163.2次；
(2) 他没有危险，因为50岁的人运动时10秒所能承受的最高心跳次数为$\frac{68}{3}$次，大于实际的20次，实际心跳未超过最高承受值。
【知识点】
代数式求值，代数式实际应用
【点评】
本题将数学知识和生活实际场景结合，解题核心是正确代入数值计算，同时需注意比较大小时要统一单位，侧重考查学生对基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.85
本题属于代数式的实际应用类题目。(1)小题已知年龄a为16，直接将a=16代入公式$b=0.8(220-a)$，按照先算括号内、再算乘法的运算顺序计算，即可得到对应最高心跳次数；(2)小题先将a=50代入公式算出50岁人群运动时每分钟能承受的最高心跳次数，再将每分钟的最高心跳次数换算为10秒的最高允许心跳数，和实际10秒心跳20次对比，若实际次数低于最高允许值则无危险，反之则有危险。
【解析】
(1) 把$a=16$代入$b=0.8(220-a)$，得：
$\begin{aligned}b&=0.8×(220-16)\\&=0.8×204\\&=163.2(\mathrm{次})\end{aligned}$
(2) 先计算50岁的人运动时每分钟能承受的最高心跳次数，把$a=50$代入$b=0.8(220-a)$，得：
$\begin{aligned}b&=0.8×(220-50)\\&=0.8×170\\&=136(\mathrm{次})\end{aligned}$
1分钟=60秒，因此10秒内能承受的最高心跳次数为：
$136÷60×10=\frac{68}{3}$
因为$\frac{68}{3}＞20$，说明实际10秒心跳次数低于最高承受值，所以他没有危险。
【答案】
(1) 16岁的少年所能承受的每分钟心跳的最高次数是163.2次；
(2) 他没有危险，因为50岁的人运动时10秒所能承受的最高心跳次数为$\frac{68}{3}$次，大于实际的20次，实际心跳未超过最高承受值。
【知识点】
代数式求值，代数式实际应用
【点评】
本题将数学知识和生活实际场景结合，解题核心是正确代入数值计算，同时需注意比较大小时要统一单位，侧重考查学生对基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.85
