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三、解答题(本大题共7题,满分78分)
19.(10分)如图,在平面直角坐标系中,△AOB的顶点坐标分别为A(2,1)、O(0,0)、B(1,-2).
(1)画出将△AOB向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度后的△A₁O₁B₁;
(2)以原点O为位似中心,相似比为2:1,在y轴的左侧,画出将△A₁O₁B₁放大后的△A₂O₂B₂;
(3)已知△AOB与△A₂O₂B₂是关于某一点P位似的图形,请求出点P的坐标.
19.(10分)如图,在平面直角坐标系中,△AOB的顶点坐标分别为A(2,1)、O(0,0)、B(1,-2).
(1)画出将△AOB向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度后的△A₁O₁B₁;
(2)以原点O为位似中心,相似比为2:1,在y轴的左侧,画出将△A₁O₁B₁放大后的△A₂O₂B₂;
(3)已知△AOB与△A₂O₂B₂是关于某一点P位似的图形,请求出点P的坐标.
答案
19.解:(1)
，△A₁O₁B₁即为所求.(2)，△A₂O₂B₂即为所求.(3)如图,作直线OO₂、BB₂交于点P,点P即为位似中心.∵B₂(-4,-2),B(1,-2),
∴直线BB₂的表达式为y=-2.设直线OO₂的表达式为y=kx，将O₂(-6,2)代入,得2=-6k,解得k=-$\frac{1}{3}$,
∴直线OO₂的表达式为y=-$\frac{1}{3}x$.将y=-$\frac{1}{3}x$与y=-2联立,得-2=-$\frac{1}{3}x$,解得x=6,
∴点P的坐标为(6,-2).
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，依据平移的坐标变化规律“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”，先计算△AOB三个顶点平移后的坐标，再依次描点、连线即可得到所求图形。
(2) 求解第二问时，结合位似变换的性质：以原点为位似中心、相似比为k时，对应点坐标为原坐标乘以±k，本题要求在y轴左侧放大，因此将△A₁O₁B₁各顶点坐标乘2（平移后点的横坐标已为负，乘2后仍在y轴左侧），得到放大后的顶点坐标后描点连线即可。
(3) 求解第三问时，根据“位似中心是所有对应点连线的公共交点”的性质，选取两组对应点，分别求出对应连线的函数表达式，联立两个表达式求解，得到的交点即为位似中心P。
【解析】
(1) 平移坐标计算：向左平移3个单位即横坐标减3，向上平移1个单位即纵坐标加1，
可得：$A_1(2-3,1+1)=(-1,2)$，$O_1(0-3,0+1)=(-3,1)$，$B_1(1-3,-2+1)=(-2,-1)$，
在坐标系中描出$A_1$、$O_1$、$B_1$，依次连接得到$△ A_1O_1B_1$。
(2) 以原点O为位似中心，相似比2:1，在y轴左侧放大，即将$△ A_1O_1B_1$各顶点坐标乘2，
可得：$A_2(-1×2,2×2)=(-2,4)$，$O_2(-3×2,1×2)=(-6,2)$，$B_2(-2×2,-1×2)=(-4,-2)$，
在坐标系中描出$A_2$、$O_2$、$B_2$，依次连接得到$△ A_2O_2B_2$。
(3) 选取对应点$O(0,0)$与$O_2(-6,2)$、$B(1,-2)$与$B_2(-4,-2)$求连线交点：
① 点B和$B_2$的纵坐标均为-2，因此直线$BB_2$的表达式为$y=-2$；
② 设直线$OO_2$的表达式为$y=kx(k≠0)$，将$O_2(-6,2)$代入得$2=-6k$，解得$k=-\frac{1}{3}$，
因此直线$OO_2$的表达式为$y=-\frac{1}{3}x$；
联立$\begin{cases}y=-2\\y=-\frac{1}{3}x\end{cases}$，将$y=-2$代入第二个方程得$-2=-\frac{1}{3}x$，解得$x=6$，即交点P坐标为$(6,-2)$。
【答案】
(1)，$△ A_1O_1B_1$即为所求。
(2)，$△ A_2O_2B_2$即为所求。
(3)点P的坐标为$(6,-2)$。
【知识点】
平移的坐标变换，位似图形的性质，待定系数法求一次函数
【点评】
本题综合考查了图形的平移、位似变换的作图及位似中心的求解，侧重对坐标变换规律的应用，作图时要保证顶点坐标计算准确，求位似中心时利用位似图形对应点连线共点的性质，结合一次函数即可快速求解。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一问时，依据平移的坐标变化规律“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”，先计算△AOB三个顶点平移后的坐标，再依次描点、连线即可得到所求图形。
(2) 求解第二问时，结合位似变换的性质：以原点为位似中心、相似比为k时，对应点坐标为原坐标乘以±k，本题要求在y轴左侧放大，因此将△A₁O₁B₁各顶点坐标乘2（平移后点的横坐标已为负，乘2后仍在y轴左侧），得到放大后的顶点坐标后描点连线即可。
(3) 求解第三问时，根据“位似中心是所有对应点连线的公共交点”的性质，选取两组对应点，分别求出对应连线的函数表达式，联立两个表达式求解，得到的交点即为位似中心P。
【解析】
(1) 平移坐标计算：向左平移3个单位即横坐标减3，向上平移1个单位即纵坐标加1，
可得：$A_1(2-3,1+1)=(-1,2)$，$O_1(0-3,0+1)=(-3,1)$，$B_1(1-3,-2+1)=(-2,-1)$，
在坐标系中描出$A_1$、$O_1$、$B_1$，依次连接得到$△ A_1O_1B_1$。
(2) 以原点O为位似中心，相似比2:1，在y轴左侧放大，即将$△ A_1O_1B_1$各顶点坐标乘2，
可得：$A_2(-1×2,2×2)=(-2,4)$，$O_2(-3×2,1×2)=(-6,2)$，$B_2(-2×2,-1×2)=(-4,-2)$，
在坐标系中描出$A_2$、$O_2$、$B_2$，依次连接得到$△ A_2O_2B_2$。
(3) 选取对应点$O(0,0)$与$O_2(-6,2)$、$B(1,-2)$与$B_2(-4,-2)$求连线交点：
① 点B和$B_2$的纵坐标均为-2，因此直线$BB_2$的表达式为$y=-2$；
② 设直线$OO_2$的表达式为$y=kx(k≠0)$，将$O_2(-6,2)$代入得$2=-6k$，解得$k=-\frac{1}{3}$，
因此直线$OO_2$的表达式为$y=-\frac{1}{3}x$；
联立$\begin{cases}y=-2\\y=-\frac{1}{3}x\end{cases}$，将$y=-2$代入第二个方程得$-2=-\frac{1}{3}x$，解得$x=6$，即交点P坐标为$(6,-2)$。
【答案】
(1)
，$△ A_1O_1B_1$即为所求。(2)
，$△ A_2O_2B_2$即为所求。(3)点P的坐标为$(6,-2)$。
【知识点】
平移的坐标变换，位似图形的性质，待定系数法求一次函数
【点评】
本题综合考查了图形的平移、位似变换的作图及位似中心的求解，侧重对坐标变换规律的应用，作图时要保证顶点坐标计算准确，求位似中心时利用位似图形对应点连线共点的性质，结合一次函数即可快速求解。
【难度系数】
0.7
20.(10分)如图,已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点F,E是BD上一点,且∠BCA=∠ADE,∠CAD=∠BAE.
(1)求证:△ABC∽△AED;
(2)求证:BE·AC=CD·AB.
(1)求证:△ABC∽△AED;
(2)求证:BE·AC=CD·AB.
答案
20.证明:(1)
∵∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE−∠CAE=∠DAC−∠CAE，即∠BAC=∠DAE.又
∵∠ACB=∠ADE,
∴△ABC∽△AED.(2)
∵△ABC∽△AED,
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$.
∵∠BAE=∠CAD,
∴△ABE∽△ACD，
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{AB}{AC}$,
∴BE·AC=CD·AB.
∵∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE−∠CAE=∠DAC−∠CAE，即∠BAC=∠DAE.又
∵∠ACB=∠ADE,
∴△ABC∽△AED.(2)
∵△ABC∽△AED,
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$.
∵∠BAE=∠CAD,
∴△ABE∽△ACD，
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{AB}{AC}$,
∴BE·AC=CD·AB.
解析
【分析】
（1）要证明△ABC∽△AED，可利用两角对应相等的相似判定定理推导。已知∠BAE=∠CAD，两角同时减去公共角∠CAE，可得到一组对应角∠BAC=∠DAE，结合已知的另一组对应角∠BCA=∠ADE，即可证明两三角形相似。
（2）要证明等积式BE·AC=CD·AB，先将其转化为比例式$\frac{BE}{CD}=\frac{AB}{AC}$，只需证明△ABE∽△ACD即可。由（1）的相似结论可得对应边成比例，结合已知∠BAE=∠CAD，利用两边成比例且夹角相等的相似判定定理证明△ABE∽△ACD，即可得到对应比例式，转化为等积式即得证。
【解析】
(1) 证明：
∵∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE−∠CAE=∠DAC−∠CAE，即∠BAC=∠DAE。
又
∵∠ACB=∠ADE，
∴△ABC∽△AED。
(2) 证明：
∵△ABC∽△AED，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$。
∵∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ACD，
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{AB}{AC}$，
∴BE·AC=CD·AB。
【答案】
(1)
∵∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE−∠CAE=∠DAC−∠CAE，即∠BAC=∠DAE.又
∵∠ACB=∠ADE,
∴△ABC∽△AED.
(2)
∵△ABC∽△AED,
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$.
∵∠BAE=∠CAD,
∴△ABE∽△ACD，
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{AB}{AC}$,
∴BE·AC=CD·AB.
【知识点】
1.相似三角形的判定
2.相似三角形的性质
3.比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形的基础综合题，核心考查相似的判定与性质的灵活运用。证明等积式时先转化为比例式，再寻找对应相似三角形是几何证明的常用技巧，解题过程中要注意观察已知角的关系，准确找到相似三角形的对应边和对应角。
【难度系数】
0.65
（1）要证明△ABC∽△AED，可利用两角对应相等的相似判定定理推导。已知∠BAE=∠CAD，两角同时减去公共角∠CAE，可得到一组对应角∠BAC=∠DAE，结合已知的另一组对应角∠BCA=∠ADE，即可证明两三角形相似。
（2）要证明等积式BE·AC=CD·AB，先将其转化为比例式$\frac{BE}{CD}=\frac{AB}{AC}$，只需证明△ABE∽△ACD即可。由（1）的相似结论可得对应边成比例，结合已知∠BAE=∠CAD，利用两边成比例且夹角相等的相似判定定理证明△ABE∽△ACD，即可得到对应比例式，转化为等积式即得证。
【解析】
(1) 证明：
∵∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE−∠CAE=∠DAC−∠CAE，即∠BAC=∠DAE。
又
∵∠ACB=∠ADE，
∴△ABC∽△AED。
(2) 证明：
∵△ABC∽△AED，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$。
∵∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ACD，
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{AB}{AC}$，
∴BE·AC=CD·AB。
【答案】
(1)
∵∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE−∠CAE=∠DAC−∠CAE，即∠BAC=∠DAE.又
∵∠ACB=∠ADE,
∴△ABC∽△AED.
(2)
∵△ABC∽△AED,
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$.
∵∠BAE=∠CAD,
∴△ABE∽△ACD，
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{AB}{AC}$,
∴BE·AC=CD·AB.
【知识点】
1.相似三角形的判定
2.相似三角形的性质
3.比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形的基础综合题，核心考查相似的判定与性质的灵活运用。证明等积式时先转化为比例式，再寻找对应相似三角形是几何证明的常用技巧，解题过程中要注意观察已知角的关系，准确找到相似三角形的对应边和对应角。
【难度系数】
0.65
21. (10分)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ A=90°$,$AB=AC$,$BC=4$,$D$是$AB$的中点,$E$和$F$分别是边$AC$和$BC$上的动点,且$AE=k· BF$.
(1)当点$E$和点$F$分别是边$AC$和$BC$的中点时,求$k$的值;
(2)当$k=\sqrt{2}$时,以点$C$、$E$、$F$为顶点的三角形与$△ BDF$相似,求$BF$的值.
(1)当点$E$和点$F$分别是边$AC$和$BC$的中点时,求$k$的值;
(2)当$k=\sqrt{2}$时,以点$C$、$E$、$F$为顶点的三角形与$△ BDF$相似,求$BF$的值.
答案
21.解:(1)在Rt△ABC中,
∵∠A=90°,AB=AC,
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}BC=2\sqrt{2}$.
∵E和F分别是边AC和BC的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$,BF=$\frac{1}{2}BC=2$.
∵AE=k·BF,
∴k=$\frac{AE}{BF}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.(2)当k=$\sqrt{2}$时,AE=$\sqrt{2}$BF,设BF=x,则AE=$\sqrt{2}x$,CF=4−x,CE=$2\sqrt{2}-\sqrt{2}x$.
∵D是AB的中点,
∴BD=$\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}$.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.①当△BFD∽△CFE时,$\frac{BF}{CF}=\frac{BD}{CE}$,即$\frac{x}{4-x}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-\sqrt{2}x}$,方程化为$x^2-3x+4=0$,此方程没有实数解；②当△BFD∽△CEF时,$\frac{BF}{CE}=\frac{BD}{CF}$,即$\frac{x}{2\sqrt{2}-\sqrt{2}x}=\frac{\sqrt{2}}{4-x}$,方程化为$x^2-6x+4=0$,解得$x_1=3+\sqrt{5}$,$x_2=3-\sqrt{5}$,经检验,$x_1=3+\sqrt{5}$,$x_2=3-\sqrt{5}$都为原方程的解，而$x=3+\sqrt{5}$不合题意,舍去，
∴$x=3-\sqrt{5}$,即BF的长为$3-\sqrt{5}$.
∵∠A=90°,AB=AC,
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}BC=2\sqrt{2}$.
∵E和F分别是边AC和BC的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$,BF=$\frac{1}{2}BC=2$.
∵AE=k·BF,
∴k=$\frac{AE}{BF}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.(2)当k=$\sqrt{2}$时,AE=$\sqrt{2}$BF,设BF=x,则AE=$\sqrt{2}x$,CF=4−x,CE=$2\sqrt{2}-\sqrt{2}x$.
∵D是AB的中点,
∴BD=$\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}$.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.①当△BFD∽△CFE时,$\frac{BF}{CF}=\frac{BD}{CE}$,即$\frac{x}{4-x}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-\sqrt{2}x}$,方程化为$x^2-3x+4=0$,此方程没有实数解；②当△BFD∽△CEF时,$\frac{BF}{CE}=\frac{BD}{CF}$,即$\frac{x}{2\sqrt{2}-\sqrt{2}x}=\frac{\sqrt{2}}{4-x}$,方程化为$x^2-6x+4=0$,解得$x_1=3+\sqrt{5}$,$x_2=3-\sqrt{5}$,经检验,$x_1=3+\sqrt{5}$,$x_2=3-\sqrt{5}$都为原方程的解，而$x=3+\sqrt{5}$不合题意,舍去，
∴$x=3-\sqrt{5}$,即BF的长为$3-\sqrt{5}$.
解析
【分析】
（1）首先根据已知条件判断△ABC是等腰直角三角形，结合斜边BC的长度求出直角边AB、AC的长；再根据中点的性质分别计算AE和BF的长度，代入AE=k·BF即可求出k的值。
（2）当k=√2时，设BF=x，用含x的代数式表示出AE、CE、CF的长度，同时求出BD的长度；由于∠B=∠C，两个三角形相似时存在两种对应边成比例的情况，分别列方程求解，最后结合E、F的位置限制舍去不符合题意的解，即可得到BF的长度。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，
∵$∠A=90°$，$AB=AC$，
∴$△ABC$为等腰直角三角形，
∴$AB=AC=\frac{\sqrt{2}}{2}BC=\frac{\sqrt{2}}{2}×4=2\sqrt{2}$。
∵E和F分别是边AC和BC的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$，$BF=\frac{1}{2}BC=2$。
∵$AE=k·BF$，
∴$k=\frac{AE}{BF}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(2) 当$k=\sqrt{2}$时，$AE=\sqrt{2}BF$，设$BF=x$，则$AE=\sqrt{2}x$，
∴$CF=4-x$，$CE=2\sqrt{2}-\sqrt{2}x$。
∵D是AB的中点，
∴$BD=\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}$。
∵$AB=AC$，$∠A=90°$，
∴$∠B=∠C=45°$。
以点C、E、F为顶点的三角形与$△BDF$相似，分两种情况讨论：
① 当$△BFD∽△CFE$时，$\frac{BF}{CF}=\frac{BD}{CE}$，
代入得$\frac{x}{4-x}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-\sqrt{2}x}$，化简得$x^2-3x+4=0$，判别式$\Delta=9-16=-7＜0$，此方程没有实数解；
② 当$△BFD∽△CEF$时，$\frac{BF}{CE}=\frac{BD}{CF}$，
代入得$\frac{x}{2\sqrt{2}-\sqrt{2}x}=\frac{\sqrt{2}}{4-x}$，化简得$x^2-6x+4=0$，解得$x_1=3+\sqrt{5}$，$x_2=3-\sqrt{5}$。
经检验，$x=3+\sqrt{5}$时$AE＞AC$，不符合点E在AC上的条件，舍去；$x=3-\sqrt{5}$符合题意。
【答案】
(1) $k=\frac{\sqrt{2}}{2}$；(2) $BF=3-\sqrt{5}$
【知识点】
等腰直角三角形的性质；相似三角形的判定与性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题为几何代数综合题，第一问考查基础的等腰直角三角形边长计算，难度较低；第二问需要注意相似三角形对应关系不唯一，要分类讨论，同时求解后要结合实际场景验证解的合理性，避免出现不符合题意的增解。
【难度系数】
0.6
（1）首先根据已知条件判断△ABC是等腰直角三角形，结合斜边BC的长度求出直角边AB、AC的长；再根据中点的性质分别计算AE和BF的长度，代入AE=k·BF即可求出k的值。
（2）当k=√2时，设BF=x，用含x的代数式表示出AE、CE、CF的长度，同时求出BD的长度；由于∠B=∠C，两个三角形相似时存在两种对应边成比例的情况，分别列方程求解，最后结合E、F的位置限制舍去不符合题意的解，即可得到BF的长度。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，
∵$∠A=90°$，$AB=AC$，
∴$△ABC$为等腰直角三角形，
∴$AB=AC=\frac{\sqrt{2}}{2}BC=\frac{\sqrt{2}}{2}×4=2\sqrt{2}$。
∵E和F分别是边AC和BC的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$，$BF=\frac{1}{2}BC=2$。
∵$AE=k·BF$，
∴$k=\frac{AE}{BF}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(2) 当$k=\sqrt{2}$时，$AE=\sqrt{2}BF$，设$BF=x$，则$AE=\sqrt{2}x$，
∴$CF=4-x$，$CE=2\sqrt{2}-\sqrt{2}x$。
∵D是AB的中点，
∴$BD=\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}$。
∵$AB=AC$，$∠A=90°$，
∴$∠B=∠C=45°$。
以点C、E、F为顶点的三角形与$△BDF$相似，分两种情况讨论：
① 当$△BFD∽△CFE$时，$\frac{BF}{CF}=\frac{BD}{CE}$，
代入得$\frac{x}{4-x}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-\sqrt{2}x}$，化简得$x^2-3x+4=0$，判别式$\Delta=9-16=-7＜0$，此方程没有实数解；
② 当$△BFD∽△CEF$时，$\frac{BF}{CE}=\frac{BD}{CF}$，
代入得$\frac{x}{2\sqrt{2}-\sqrt{2}x}=\frac{\sqrt{2}}{4-x}$，化简得$x^2-6x+4=0$，解得$x_1=3+\sqrt{5}$，$x_2=3-\sqrt{5}$。
经检验，$x=3+\sqrt{5}$时$AE＞AC$，不符合点E在AC上的条件，舍去；$x=3-\sqrt{5}$符合题意。
【答案】
(1) $k=\frac{\sqrt{2}}{2}$；(2) $BF=3-\sqrt{5}$
【知识点】
等腰直角三角形的性质；相似三角形的判定与性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题为几何代数综合题，第一问考查基础的等腰直角三角形边长计算，难度较低；第二问需要注意相似三角形对应关系不唯一，要分类讨论，同时求解后要结合实际场景验证解的合理性，避免出现不符合题意的增解。
【难度系数】
0.6
