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1. （广东中考）如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，则点$O$是$△ ABC$的（
A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
B
）A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
答案
1. B 解析:
∵ ⊙O是△ABC的内切圆,则点O到△ABC三边的距离相等,
∴ 点O是△ABC的三条角平分线的交点.故选 B.
∵ ⊙O是△ABC的内切圆,则点O到△ABC三边的距离相等,
∴ 点O是△ABC的三条角平分线的交点.故选 B.
解析
【分析】
解题时首先明确本题考查三角形内切圆圆心（内心）的性质，第一步先回忆内切圆的特点：⊙O是△ABC的内切圆，说明⊙O和△ABC的三边都相切，因此圆心O到三边的距离都等于内切圆的半径，即点O到三边距离相等；第二步回忆三角形各类特殊交点的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此到三边距离都相等的点就是三条角平分线的交点；最后逐一排除错误选项：三条边的垂直平分线的交点是外心，到三个顶点距离相等；三条中线的交点是重心，分中线长度为2:1；三条高的交点是垂心，均不符合要求，即可确定正确答案。
【解析】
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，
∴ 点O到△ABC三边的距离相等，都等于内切圆的半径。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，因此点O是△ABC三条角平分线的交点。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内心的定义；角平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念题，核心是区分三角形几类特殊交点的性质，牢记相关定义即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确本题考查三角形内切圆圆心（内心）的性质，第一步先回忆内切圆的特点：⊙O是△ABC的内切圆，说明⊙O和△ABC的三边都相切，因此圆心O到三边的距离都等于内切圆的半径，即点O到三边距离相等；第二步回忆三角形各类特殊交点的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此到三边距离都相等的点就是三条角平分线的交点；最后逐一排除错误选项：三条边的垂直平分线的交点是外心，到三个顶点距离相等；三条中线的交点是重心，分中线长度为2:1；三条高的交点是垂心，均不符合要求，即可确定正确答案。
【解析】
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，
∴ 点O到△ABC三边的距离相等，都等于内切圆的半径。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，因此点O是△ABC三条角平分线的交点。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内心的定义；角平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念题，核心是区分三角形几类特殊交点的性质，牢记相关定义即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2. | 新趋势·尺规作图【实际问题】某市工程队想要在一块三角形空地上作一个最大的圆形.
【问题建模】如图,有一块三角形材料($△ ABC$),请你在这块材料上作一个面积最大的圆.
【问题解决】请用2B铅笔、直尺和圆规作图,不写作法,保留作图痕迹.
【问题建模】如图,有一块三角形材料($△ ABC$),请你在这块材料上作一个面积最大的圆.
【问题解决】请用2B铅笔、直尺和圆规作图,不写作法,保留作图痕迹.
答案
2. 如图,⊙O即为所求.
解析
【分析】
要在三角形中作出面积最大的圆，首先需明确该圆就是三角形的内切圆：内切圆的圆心（内心）是三角形三个内角角平分线的交点，且内心到三角形三边的距离相等，这个距离就是内切圆的半径。解题思路可分为三步：第一步，作出三角形任意两个内角的角平分线，两条角平分线的交点即为内切圆的圆心O；第二步，过点O作三角形任意一边的垂线段，垂线段的长度就是内切圆的半径；第三步，以O为圆心、垂线段长为半径作圆即可。
【解析】
1. 分别作∠B和∠C的角平分线，两条角平分线交于点O；
2. 过点O作BC边的垂线，垂足为D，OD即为内切圆的半径；
3. 以O为圆心，OD的长度为半径作圆，所得的⊙O就是△ABC内面积最大的圆。
【答案】
如图,⊙O即为所求.
【知识点】
1. 三角形内切圆概念
2. 角平分线尺规作图
3. 内心的性质
【点评】
本题属于基础尺规作图题，核心是明确三角形内面积最大的圆为内切圆，掌握“内心是三角形内角角平分线的交点”这一性质，按规范操作即可完成，作图时要注意保留清晰的作图痕迹。
【难度系数】
0.8
要在三角形中作出面积最大的圆，首先需明确该圆就是三角形的内切圆：内切圆的圆心（内心）是三角形三个内角角平分线的交点，且内心到三角形三边的距离相等，这个距离就是内切圆的半径。解题思路可分为三步：第一步，作出三角形任意两个内角的角平分线，两条角平分线的交点即为内切圆的圆心O；第二步，过点O作三角形任意一边的垂线段，垂线段的长度就是内切圆的半径；第三步，以O为圆心、垂线段长为半径作圆即可。
【解析】
1. 分别作∠B和∠C的角平分线，两条角平分线交于点O；
2. 过点O作BC边的垂线，垂足为D，OD即为内切圆的半径；
3. 以O为圆心，OD的长度为半径作圆，所得的⊙O就是△ABC内面积最大的圆。
【答案】
如图,⊙O即为所求.
【知识点】
1. 三角形内切圆概念
2. 角平分线尺规作图
3. 内心的性质
【点评】
本题属于基础尺规作图题，核心是明确三角形内面积最大的圆为内切圆，掌握“内心是三角形内角角平分线的交点”这一性质，按规范操作即可完成，作图时要注意保留清晰的作图痕迹。
【难度系数】
0.8
3. | 教材P43例题变式 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=80°$,I是$△ ABC$的内心,连接BI,CI,则$∠ BIC$的度数是 (
A.$110°$
B.$120°$
C.$130°$
D.$140°$
C
)A.$110°$
B.$120°$
C.$130°$
D.$140°$
答案
3. C 解析:
∵ I为△ABC的内心,
∴ ∠ABI=∠IBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,
∠ACI=∠ICB=$\frac{1}{2}$∠ACB.
∵ ∠A = 80°,
∴ ∠ABC+∠ACB = 180°-∠A = 100°,
∴ $\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB) = 50°,即∠IBC+∠ICB=50°,
∴ ∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=130°.故选 C.
∵ I为△ABC的内心,
∴ ∠ABI=∠IBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,
∠ACI=∠ICB=$\frac{1}{2}$∠ACB.
∵ ∠A = 80°,
∴ ∠ABC+∠ACB = 180°-∠A = 100°,
∴ $\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB) = 50°,即∠IBC+∠ICB=50°,
∴ ∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=130°.故选 C.
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确三角形内心的性质：内心是三角形三个内角平分线的交点，因此IB、IC分别平分∠ABC和∠ACB。我们可以先利用△ABC的内角和为180°，结合已知的∠A的度数，求出∠ABC与∠ACB的和，再根据角平分线的性质得到∠IBC与∠ICB的和，最后在△BIC中再次利用三角形内角和定理，就能求出∠BIC的度数。
【解析】
∵ I是△ABC的内心，
∴ IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，即$∠ IBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在△ABC中，$∠ A=80°$，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-80°=100°$，
∴ $∠ IBC+∠ ICB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×100°=50°$，
在△BIC中，再根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ BIC=180°-(∠ IBC+∠ ICB)=180°-50°=130°$。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题是三角形内心性质的基础应用题，解题的关键是牢记内心是三角形内角平分线的交点，结合三角形内角和定理即可快速求解，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.75
要解决这道题，首先明确三角形内心的性质：内心是三角形三个内角平分线的交点，因此IB、IC分别平分∠ABC和∠ACB。我们可以先利用△ABC的内角和为180°，结合已知的∠A的度数，求出∠ABC与∠ACB的和，再根据角平分线的性质得到∠IBC与∠ICB的和，最后在△BIC中再次利用三角形内角和定理，就能求出∠BIC的度数。
【解析】
∵ I是△ABC的内心，
∴ IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，即$∠ IBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在△ABC中，$∠ A=80°$，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-80°=100°$，
∴ $∠ IBC+∠ ICB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×100°=50°$，
在△BIC中，再根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ BIC=180°-(∠ IBC+∠ ICB)=180°-50°=130°$。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题是三角形内心性质的基础应用题，解题的关键是牢记内心是三角形内角平分线的交点，结合三角形内角和定理即可快速求解，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.75
4. ★★★ 如图，$△ ABC$是一张周长为18 cm的三角形纸片，$\odot O$是它的内切圆，小明准备用剪刀在$\odot O$的右侧沿着与$\odot O$相切的任意一条直线MN剪下$△ AMN$，若剪下的三角形的周长为8 cm，则BC的长为 (
A.8 cm
B.5 cm
C.6.5 cm
D.无法确定
B
)A.8 cm
B.5 cm
C.6.5 cm
D.无法确定
答案
4. B 解析:由切线长定理得 BD = BG, CE = CG, MH = MD, NH = NE,
∴ △AMN 的周长 = AM + MN + AN = AM + MH + AN+NH=AM+MD+AN+NE=AD+AE=8( cm ).
∵ △ABC 的周长 =AD+AE+BD+CE+BC=8+BG+CG+BC=8+2BC=18( cm ),
∴ BC=5 cm.故选 B.
∴ △AMN 的周长 = AM + MN + AN = AM + MH + AN+NH=AM+MD+AN+NE=AD+AE=8( cm ).
∵ △ABC 的周长 =AD+AE+BD+CE+BC=8+BG+CG+BC=8+2BC=18( cm ),
∴ BC=5 cm.故选 B.
解析
【分析】
解题时首先结合题目中三角形内切圆、直线与圆相切的条件，联想到切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长度相等。第一步先通过切线长相等将$△ AMN$的周长转化为从A点到内切圆的两条切线长AD、AE的和；第二步再将$△ ABC$的周长用AD、AE和BC的关系表示，代入已知的两个周长数值，即可求出BC的长度。
【解析】
根据切线长定理可得：$BD = BG$，$CE = CG$，$MH = MD$，$NH = NE$，
∴ $△ AMN$的周长 $= AM + MN + AN = AM + MH + HN + AN$，
将$MH=MD$、$HN=NE$代入得：$AM + MD + AN + NE = AD + AE = 8\ \mathrm{cm}$。
又
∵ $△ ABC$的周长 $= AB + BC + AC = (AD+BD) + BC + (AE+CE)$，
将$BD=BG$、$CE=CG$代入得：$AD+AE + BG + CG + BC = AD+AE + 2BC$，
代入已知$△ ABC$周长为$18\ \mathrm{cm}$，$AD+AE=8\ \mathrm{cm}$，得：
$8 + 2BC = 18$，
解得$BC=5\ \mathrm{cm}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理；三角形内切圆；三角形周长计算
【点评】
本题重点考查切线长定理的灵活应用，解题的核心是利用切线长相等的性质对两个三角形的周长进行线段转化，将未知线段长度与已知周长条件建立关联，是三角形内切圆相关的典型考法。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合题目中三角形内切圆、直线与圆相切的条件，联想到切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长度相等。第一步先通过切线长相等将$△ AMN$的周长转化为从A点到内切圆的两条切线长AD、AE的和；第二步再将$△ ABC$的周长用AD、AE和BC的关系表示，代入已知的两个周长数值，即可求出BC的长度。
【解析】
根据切线长定理可得：$BD = BG$，$CE = CG$，$MH = MD$，$NH = NE$，
∴ $△ AMN$的周长 $= AM + MN + AN = AM + MH + HN + AN$，
将$MH=MD$、$HN=NE$代入得：$AM + MD + AN + NE = AD + AE = 8\ \mathrm{cm}$。
又
∵ $△ ABC$的周长 $= AB + BC + AC = (AD+BD) + BC + (AE+CE)$，
将$BD=BG$、$CE=CG$代入得：$AD+AE + BG + CG + BC = AD+AE + 2BC$，
代入已知$△ ABC$周长为$18\ \mathrm{cm}$，$AD+AE=8\ \mathrm{cm}$，得：
$8 + 2BC = 18$，
解得$BC=5\ \mathrm{cm}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理；三角形内切圆；三角形周长计算
【点评】
本题重点考查切线长定理的灵活应用，解题的核心是利用切线长相等的性质对两个三角形的周长进行线段转化，将未知线段长度与已知周长条件建立关联，是三角形内切圆相关的典型考法。
【难度系数】
0.6
5. 如图，$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$AB$，$BC$，$CA$分别相切于点$D$，$E$，$F$，且$AD=2$，$BC=5$，则$△ ABC$的周长为
14
。答案
5. 14 解析:
∵ △ABC 的内切圆⊙O 与 AB,BC,CA 分别相切于点 D,E,F,
∴ AF = AD = 2, BD = BE, CE = CF.
∵ BE+CE = BC=5,
∴ BD+CF=BC=5,
∴ △ABC 的周长=2+2+5+5=14.故答案为 14.
∵ △ABC 的内切圆⊙O 与 AB,BC,CA 分别相切于点 D,E,F,
∴ AF = AD = 2, BD = BE, CE = CF.
∵ BE+CE = BC=5,
∴ BD+CF=BC=5,
∴ △ABC 的周长=2+2+5+5=14.故答案为 14.
解析
【分析】
遇到三角形内切圆与三边相切的问题，首先联想到切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。结合本题的切点，我们可以得到三组相等的切线段：AF=AD，BD=BE，CE=CF。接下来将△ABC的周长拆分为六条切线段的和，把已知的AD=2、BC=5代入，通过等量代换即可求出周长。
【解析】
解：
∵ △ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，
∴ 根据切线长定理可得：AF=AD=2，BD=BE，CE=CF，
∵ BE+CE=BC=5，
∴ BD+CF=BE+CE=5，
∴ △ABC的周长=AD+AF+BD+CF+BE+CE=2+2+5+5=14。
【答案】
14
【知识点】
切线长定理；三角形内切圆性质；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查切线长定理的应用，解题关键是利用切线长定理将未知线段转化为已知线段，进而通过整体代换求出三角形周长，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.85
遇到三角形内切圆与三边相切的问题，首先联想到切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。结合本题的切点，我们可以得到三组相等的切线段：AF=AD，BD=BE，CE=CF。接下来将△ABC的周长拆分为六条切线段的和，把已知的AD=2、BC=5代入，通过等量代换即可求出周长。
【解析】
解：
∵ △ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，
∴ 根据切线长定理可得：AF=AD=2，BD=BE，CE=CF，
∵ BE+CE=BC=5，
∴ BD+CF=BE+CE=5，
∴ △ABC的周长=AD+AF+BD+CF+BE+CE=2+2+5+5=14。
【答案】
14
【知识点】
切线长定理；三角形内切圆性质；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查切线长定理的应用，解题关键是利用切线长定理将未知线段转化为已知线段，进而通过整体代换求出三角形周长，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.85
6. |新趋势·数学文化 我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形的内切圆半径为3,小正方形的面积为49,则大正方形的面积为
289
.答案
6. 289 解析:设四个全等的直角三角形的三边分别为 a,b,c,较长的直角边为 a,较短的直角边为 b,c 为斜边,
∵ 直角三角形的内切圆半径为 3,小正方形的面积为 49,
∴ $\frac{a+b-c}{2}$=3,$(a-b)^2=49$,
∴ a+b-c=6 ①,a-b=7 ②,
∴ $a=\frac{13+c}{2}$,$b=\frac{c-1}{2}$.
∵ $a^2+b^2=c^2$ ③,
∴ $(\frac{13+c}{2})^2+(\frac{c-1}{2})^2=c^2$,解得 c=17或 c=-5(舍去),大正方形的面积为 $c^2=17^2=289$.故答案为 289.
∵ 直角三角形的内切圆半径为 3,小正方形的面积为 49,
∴ $\frac{a+b-c}{2}$=3,$(a-b)^2=49$,
∴ a+b-c=6 ①,a-b=7 ②,
∴ $a=\frac{13+c}{2}$,$b=\frac{c-1}{2}$.
∵ $a^2+b^2=c^2$ ③,
∴ $(\frac{13+c}{2})^2+(\frac{c-1}{2})^2=c^2$,解得 c=17或 c=-5(舍去),大正方形的面积为 $c^2=17^2=289$.故答案为 289.
解析
【分析】
解题思路：本题结合赵爽弦图考查几何综合计算，思考步骤如下：①先设直角三角形的三边长分别为a（较长直角边）、b（较短直角边）、c（斜边），明确大正方形的边长就是斜边c，面积为$c^2$，因此核心是求出c的值；②回忆直角三角形内切圆半径公式：$r=\frac{a+b-c}{2}$，结合已知$r=3$，可得到a、b、c的第一个关系式；③由小正方形面积为49，得小正方形边长为7，观察弦图可知小正方形边长为$a-b$，因此得到第二个关系式；④将前两个关系式联立，把a、b都用含c的代数式表示，再代入勾股定理$a^2+b^2=c^2$，即可求解得到c的值，进而求出大正方形面积。
【解析】
设四个全等直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，斜边为c。
∵直角三角形的内切圆半径为3，根据直角三角形内切圆半径公式得：
$\frac{a+b-c}{2}=3$，整理得$a+b-c=6$ ①；
∵小正方形的面积为49，且小正方形的边长为$a-b$，
∴$(a-b)^2=49$，结合边长为正，得$a-b=7$ ②；
联立①②，解得$a=\frac{13+c}{2}$，$b=\frac{c-1}{2}$。
根据直角三角形勾股定理可得$a^2+b^2=c^2$ ③，
将a、b代入③得：$(\frac{13+c}{2})^2+(\frac{c-1}{2})^2=c^2$，
解得$c=17$或$c=-5$（边长为正，舍去），
∴大正方形的面积为$c^2=17^2=289$。
【答案】
289
【知识点】
直角三角形内切圆性质，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题以我国古代数学文化“赵爽弦图”为背景，将三角形内切圆、勾股定理、正方形性质结合考查，需要同学们准确梳理图形中线段的数量关系，运用方程思想求解，能够较好地考查几何知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
解题思路：本题结合赵爽弦图考查几何综合计算，思考步骤如下：①先设直角三角形的三边长分别为a（较长直角边）、b（较短直角边）、c（斜边），明确大正方形的边长就是斜边c，面积为$c^2$，因此核心是求出c的值；②回忆直角三角形内切圆半径公式：$r=\frac{a+b-c}{2}$，结合已知$r=3$，可得到a、b、c的第一个关系式；③由小正方形面积为49，得小正方形边长为7，观察弦图可知小正方形边长为$a-b$，因此得到第二个关系式；④将前两个关系式联立，把a、b都用含c的代数式表示，再代入勾股定理$a^2+b^2=c^2$，即可求解得到c的值，进而求出大正方形面积。
【解析】
设四个全等直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，斜边为c。
∵直角三角形的内切圆半径为3，根据直角三角形内切圆半径公式得：
$\frac{a+b-c}{2}=3$，整理得$a+b-c=6$ ①；
∵小正方形的面积为49，且小正方形的边长为$a-b$，
∴$(a-b)^2=49$，结合边长为正，得$a-b=7$ ②；
联立①②，解得$a=\frac{13+c}{2}$，$b=\frac{c-1}{2}$。
根据直角三角形勾股定理可得$a^2+b^2=c^2$ ③，
将a、b代入③得：$(\frac{13+c}{2})^2+(\frac{c-1}{2})^2=c^2$，
解得$c=17$或$c=-5$（边长为正，舍去），
∴大正方形的面积为$c^2=17^2=289$。
【答案】
289
【知识点】
直角三角形内切圆性质，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题以我国古代数学文化“赵爽弦图”为背景，将三角形内切圆、勾股定理、正方形性质结合考查，需要同学们准确梳理图形中线段的数量关系，运用方程思想求解，能够较好地考查几何知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
7. 如图，已知$\odot O$为$\mathrm{Rt}△ ABC$的内切圆，切点分别为$D$，$E$，$F$，又$∠ C = 90°$，$AB = 13$，$BC=12$.
(1)求切线$BF$的长；
(2)求$\odot O$的半径$r$.
(1)求切线$BF$的长；
(2)求$\odot O$的半径$r$.
答案
7. (1)
∵ 在 Rt△ABC 中, ∠C = 90°, AB = 13, BC = 12,
∴ AC = $\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$.
∵ ⊙O 为 Rt△ABC 的内切圆,切点分别为 D,E,F,
∴ BD=BF,AD=AE,CF=CE.
设 BF=BD=x,则 AD=AE=13-x,CF=CE=12-x,
∵ AE+EC=AC=5,
∴ 13-x+12-x=5,
∴ x=10,
∴ BF=10.
(2)如图,连接 OA,OB,OC,OD,OE,OF.
∵ ⊙O 为 Rt△ABC 的内切圆,切点分别为 D,E,F,
∴ OD ⊥ AB,OE⊥AC,OF⊥BC,且 OD = OE = OF.在 Rt△ABC 中, 由勾股定理得 AC = $\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$,
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC · AC=\frac{1}{2}×12×5=30$.
∵ $S_{△OAB}+S_{△OBC}+S_{△OCA}=S_{△ABC}$,
∴ $\frac{1}{2}AB×OD+\frac{1}{2}AC×OE+\frac{1}{2}BC×OF=30$,即 $\frac{1}{2}×(13+5+12)×OD=30$,
∴ OD=2,即⊙O的半径 r 为 2.
解析
【分析】
(1) 解题第一步先处理已知的直角三角形：已知Rt△ABC的斜边AB和直角边BC，可先通过勾股定理计算出直角边AC的长度。再结合内切圆的切点条件，联想到切线长定理：圆外一点引圆的两条切线长度相等，可得BD=BF、AD=AE、CF=CE三组等量关系。设BF为x，用x表示出AE和CE的长度，再根据AE+CE=AC列一元一次方程，解方程即可求出BF的长。
(2) 求内切圆半径可采用等面积法：连接圆心O与三角形三个顶点、以及O与三个切点，可将△ABC分割为三个分别以AB、BC、AC为底，内切圆半径r为高的小三角形。三个小三角形的面积之和等于△ABC的面积，先求出△ABC的总面积，再代入面积等量关系即可求出r的值。
【解析】
(1) 在 Rt△ABC 中, ∠C = 90°, AB = 13, BC = 12，
由勾股定理得 $AC = \sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$。
∵ ⊙O 为 Rt△ABC 的内切圆，切点分别为 D,E,F，
根据切线长定理可得：$BD=BF$，$AD=AE$，$CF=CE$。
设 $BF=BD=x$，则 $AD=AE=13-x$，$CF=CE=12-x$，
∵ $AE+EC=AC=5$，
∴ $13-x+12-x=5$，
解得$x=10$，即 $BF=10$。
(2) 如图，连接 OA,OB,OC,OD,OE,OF。
∵ ⊙O 为 Rt△ABC 的内切圆，切点分别为 D,E,F，
∴ $OD ⊥ AB$，$OE⊥AC$，$OF⊥BC$，且 $OD = OE = OF = r$。
先计算Rt△ABC的面积：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC · AC=\frac{1}{2}×12×5=30$。
又
∵ $S_{△OAB}+S_{△OBC}+S_{△OCA}=S_{△ABC}$，
代入面积公式得：$\frac{1}{2}AB×r+\frac{1}{2}AC×r+\frac{1}{2}BC×r=30$，
整理得$\frac{1}{2}×(13+5+12)×r=30$，
解得$r=2$，即⊙O的半径r为2。
【答案】
(1) $\boldsymbol{BF=10}$；
(2) $\boldsymbol{r=2}$。
【知识点】
切线长定理，勾股定理，三角形内切圆性质
【点评】
本题是三角形内切圆的典型基础题，主要考查切线长定理和面积法求内切圆半径，解题时需灵活运用方程思想和等面积法，熟记三角形内切圆相关性质能有效提高解题效率。
【难度系数】
0.75
(1) 解题第一步先处理已知的直角三角形：已知Rt△ABC的斜边AB和直角边BC，可先通过勾股定理计算出直角边AC的长度。再结合内切圆的切点条件，联想到切线长定理：圆外一点引圆的两条切线长度相等，可得BD=BF、AD=AE、CF=CE三组等量关系。设BF为x，用x表示出AE和CE的长度，再根据AE+CE=AC列一元一次方程，解方程即可求出BF的长。
(2) 求内切圆半径可采用等面积法：连接圆心O与三角形三个顶点、以及O与三个切点，可将△ABC分割为三个分别以AB、BC、AC为底，内切圆半径r为高的小三角形。三个小三角形的面积之和等于△ABC的面积，先求出△ABC的总面积，再代入面积等量关系即可求出r的值。
【解析】
(1) 在 Rt△ABC 中, ∠C = 90°, AB = 13, BC = 12，
由勾股定理得 $AC = \sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$。
∵ ⊙O 为 Rt△ABC 的内切圆，切点分别为 D,E,F，
根据切线长定理可得：$BD=BF$，$AD=AE$，$CF=CE$。
设 $BF=BD=x$，则 $AD=AE=13-x$，$CF=CE=12-x$，
∵ $AE+EC=AC=5$，
∴ $13-x+12-x=5$，
解得$x=10$，即 $BF=10$。
(2) 如图，连接 OA,OB,OC,OD,OE,OF。
∵ ⊙O 为 Rt△ABC 的内切圆，切点分别为 D,E,F，
∴ $OD ⊥ AB$，$OE⊥AC$，$OF⊥BC$，且 $OD = OE = OF = r$。
先计算Rt△ABC的面积：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC · AC=\frac{1}{2}×12×5=30$。
又
∵ $S_{△OAB}+S_{△OBC}+S_{△OCA}=S_{△ABC}$，
代入面积公式得：$\frac{1}{2}AB×r+\frac{1}{2}AC×r+\frac{1}{2}BC×r=30$，
整理得$\frac{1}{2}×(13+5+12)×r=30$，
解得$r=2$，即⊙O的半径r为2。
【答案】
(1) $\boldsymbol{BF=10}$；
(2) $\boldsymbol{r=2}$。
【知识点】
切线长定理，勾股定理，三角形内切圆性质
【点评】
本题是三角形内切圆的典型基础题，主要考查切线长定理和面积法求内切圆半径，解题时需灵活运用方程思想和等面积法，熟记三角形内切圆相关性质能有效提高解题效率。
【难度系数】
0.75
