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1. (2024·成都中考)在平面直角坐标系xOy中,点P(1,-4)关于原点对称的点的坐标是 (
A.(1,-4)
B.(-1,4)
C.(1,4)
D.(-1,-4)
B
)A.(1,-4)
B.(-1,4)
C.(1,4)
D.(-1,-4)
答案
1. B 解析:点P(1,-4)关于原点对称的点的坐标为(-1,4).故选B.
解析
【分析】
要解决求已知点关于原点对称的点的坐标问题，首先要明确平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标规律：两个点关于原点对称时，它们的横坐标、纵坐标均互为相反数。解题时只需将原点点的横、纵坐标分别取相反数，就能得到对称点的坐标。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标特征：若原点点坐标为$(x,y)$，则其关于原点对称的点的坐标为$(-x,-y)$。
已知点$P$的坐标为$(1,-4)$，将横坐标1取相反数得$-1$，纵坐标$-4$取相反数得$4$，因此点$P(1,-4)$关于原点对称的点的坐标是$(-1,4)$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查关于原点对称的点的坐标变化规律，熟练记忆对应规则即可快速解答。
【难度系数】
0.9
要解决求已知点关于原点对称的点的坐标问题，首先要明确平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标规律：两个点关于原点对称时，它们的横坐标、纵坐标均互为相反数。解题时只需将原点点的横、纵坐标分别取相反数，就能得到对称点的坐标。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标特征：若原点点坐标为$(x,y)$，则其关于原点对称的点的坐标为$(-x,-y)$。
已知点$P$的坐标为$(1,-4)$，将横坐标1取相反数得$-1$，纵坐标$-4$取相反数得$4$，因此点$P(1,-4)$关于原点对称的点的坐标是$(-1,4)$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查关于原点对称的点的坐标变化规律，熟练记忆对应规则即可快速解答。
【难度系数】
0.9
2. 如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是$(-2,3)$,将线段OA绕点O顺时针旋转$90°$得到线段OB,则点B的坐标为 (
A.$(2,3)$
B.$(3,2)$
C.$(-3,-2)$
D.$(2,-3)$
B
)A.$(2,3)$
B.$(3,2)$
C.$(-3,-2)$
D.$(2,-3)$
答案
2. B 解析:已知点A的坐标是(-2,3),将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OB,则点B的坐标为(3,2).故选B.
解析
【分析】
要得到旋转后点B的坐标，可利用旋转的性质：旋转前后对应线段长度相等、夹角等于旋转角，通过构造直角三角形证明全等，结合点A的坐标推导点B的横纵坐标。首先过点A、B分别作x轴的垂线，得到两个直角三角形，利用同角的余角相等推出角相等，结合OA=OB证明两个直角三角形全等，即可得到对应边的长度，进而确定点B的坐标。
【解析】
过点A作$AC⊥ x$轴于点C，过点B作$BD⊥ x$轴于点D，因此$∠ ACO=∠ ODB=90°$。
已知点A的坐标为$(-2,3)$，可得$OC=2$，$AC=3$。
由旋转的性质可知：$OA=OB$，$∠ AOB=90°$，因此$∠ AOC + ∠ BOD=90°$。
在$Rt△ ACO$中，$∠ AOC + ∠ OAC=90°$，所以$∠ OAC=∠ BOD$。
在$△ AOC$和$△ OBD$中：
$\begin{cases}∠ ACO=∠ ODB \\∠ OAC=∠ BOD \\OA=OB\end{cases}$
$\therefore △ AOC≌△ OBD(\mathrm{AAS})$
$\therefore OD=AC=3$，$BD=OC=2$，
又因为点B位于第一象限，因此点B的坐标为$(3,2)$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题是平面直角坐标系中旋转变换的基础题，通过构造全等三角形推导坐标是通用解法，也可总结规律：点$(x,y)$绕原点顺时针旋转$90°$后对应点的坐标为$(y,-x)$，熟练掌握规律可快速解题。
【难度系数】
0.7
要得到旋转后点B的坐标，可利用旋转的性质：旋转前后对应线段长度相等、夹角等于旋转角，通过构造直角三角形证明全等，结合点A的坐标推导点B的横纵坐标。首先过点A、B分别作x轴的垂线，得到两个直角三角形，利用同角的余角相等推出角相等，结合OA=OB证明两个直角三角形全等，即可得到对应边的长度，进而确定点B的坐标。
【解析】
过点A作$AC⊥ x$轴于点C，过点B作$BD⊥ x$轴于点D，因此$∠ ACO=∠ ODB=90°$。
已知点A的坐标为$(-2,3)$，可得$OC=2$，$AC=3$。
由旋转的性质可知：$OA=OB$，$∠ AOB=90°$，因此$∠ AOC + ∠ BOD=90°$。
在$Rt△ ACO$中，$∠ AOC + ∠ OAC=90°$，所以$∠ OAC=∠ BOD$。
在$△ AOC$和$△ OBD$中：
$\begin{cases}∠ ACO=∠ ODB \\∠ OAC=∠ BOD \\OA=OB\end{cases}$
$\therefore △ AOC≌△ OBD(\mathrm{AAS})$
$\therefore OD=AC=3$，$BD=OC=2$，
又因为点B位于第一象限，因此点B的坐标为$(3,2)$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题是平面直角坐标系中旋转变换的基础题，通过构造全等三角形推导坐标是通用解法，也可总结规律：点$(x,y)$绕原点顺时针旋转$90°$后对应点的坐标为$(y,-x)$，熟练掌握规律可快速解题。
【难度系数】
0.7
3. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为$(2,0)$，将OA绕原点按逆时针方向旋转$60°$得OB，则点B的坐标为 (
A.$(1,\sqrt{3})$
B.$(1,-\sqrt{3})$
C.$(0,2)$
D.$(2,0)$
A
)A.$(1,\sqrt{3})$
B.$(1,-\sqrt{3})$
C.$(0,2)$
D.$(2,0)$
答案
3. A 解析:作BC⊥x轴于点C,如图
.∵ 点A的坐标为(2,0),将OA绕原点按逆时针方向旋转60°得OB,
∴ OB=OA=2,∠BOC=60°,
∴ OC=1,BC=√3,
∴ 点B的坐标为(1,√3).故选A.
解析
【分析】
本题是平面直角坐标系中的旋转变换求点坐标的问题，解题思路如下：首先根据旋转的性质，旋转前后对应线段长度不变，可得到OB与OA长度相等，同时确定OB和x轴正方向的夹角为旋转角60°；要得到点B的坐标，可过B向x轴作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系分别计算出点B的横、纵坐标，再结合点B所在象限即可确定最终坐标。
【解析】
作BC⊥x轴于点C，如图。
∵ 点A的坐标为$(2,0)$，
∴ $OA=2$。
∵ 将OA绕原点按逆时针方向旋转$60°$得OB，
∴ $OB=OA=2$，$∠ BOC=60°$。
在$Rt△ OBC$中：
$OC=OB×\cos60°=2×\frac{1}{2}=1$，
$BC=OB×\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
∵ 点B在第一象限，横、纵坐标均为正，
∴ 点B的坐标为$(1,\sqrt{3})$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质，直角三角形边角计算，平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题属于基础常考题，将旋转变换和直角三角形的计算相结合，解题的关键是利用旋转的不变性得到相等的线段和固定的夹角，通过作垂线构造直角三角形，把求点坐标的问题转化为求直角三角形边长的问题。
【难度系数】
0.8
本题是平面直角坐标系中的旋转变换求点坐标的问题，解题思路如下：首先根据旋转的性质，旋转前后对应线段长度不变，可得到OB与OA长度相等，同时确定OB和x轴正方向的夹角为旋转角60°；要得到点B的坐标，可过B向x轴作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系分别计算出点B的横、纵坐标，再结合点B所在象限即可确定最终坐标。
【解析】
作BC⊥x轴于点C，如图
。∵ 点A的坐标为$(2,0)$，
∴ $OA=2$。
∵ 将OA绕原点按逆时针方向旋转$60°$得OB，
∴ $OB=OA=2$，$∠ BOC=60°$。
在$Rt△ OBC$中：
$OC=OB×\cos60°=2×\frac{1}{2}=1$，
$BC=OB×\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
∵ 点B在第一象限，横、纵坐标均为正，
∴ 点B的坐标为$(1,\sqrt{3})$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质，直角三角形边角计算，平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题属于基础常考题，将旋转变换和直角三角形的计算相结合，解题的关键是利用旋转的不变性得到相等的线段和固定的夹角，通过作垂线构造直角三角形，把求点坐标的问题转化为求直角三角形边长的问题。
【难度系数】
0.8
4. ★★★ 如图，$△ OAB$是等腰直角三角形，$O(0,0),B(4,0)$，将$△ OAB$绕点$O$旋转$180°$，得到$△ OA'B'$，此时点$A'$的坐标为
(-2,-2)
。答案
4. (-2,-2) 解析:过点A作AC⊥x轴于点C,如图
.∵ △OAB是等腰直角三角形,O(0,0),B(4,0),
∴ 点C是OB的中点,
∴ AC=1/2 OB=2,
∴ A(2,2).将△OAB绕点O旋转180°,得到△OA'B',此时点A'与点A关于原点O对称,
∴ 点A'的坐标为(-2,-2).
解析
【分析】
要得到旋转后点A'的坐标，需先求出原等腰直角三角形中点A的坐标，再利用旋转180°的坐标变化规律求解。首先根据等腰直角三角形的性质，结合O、B的坐标，可推出点A的横、纵坐标；再根据绕原点旋转180°的点与原点点关于原点对称，横、纵坐标均变为原坐标的相反数，即可求出A'的坐标。
【解析】
过点A作AC⊥x轴于点C，如图。
∵ △OAB是等腰直角三角形，O(0,0)，B(4,0)，
∴ OB=4，AC是斜边OB上的中线和高，
∴ OC=BC=$\frac{1}{2}$OB=2，AC=$\frac{1}{2}$OB=2，
∴ 点A的坐标为(2,2)。
∵ 将△OAB绕点O旋转180°得到△OA'B'，
∴ 点A'与点A关于原点O中心对称，关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，
∴ 点A'的坐标为(-2,-2)。
【答案】
(-2,-2)
【知识点】
等腰直角三角形的性质，关于原点对称的坐标特征，图形的旋转变换
【点评】
本题属于基础题，主要考查等腰直角三角形的性质和旋转变换的坐标规律，解题的关键是先确定点A的坐标，再利用中心对称的坐标特点求解，是平面直角坐标系中图形变换的典型考题。
【难度系数】
0.7
要得到旋转后点A'的坐标，需先求出原等腰直角三角形中点A的坐标，再利用旋转180°的坐标变化规律求解。首先根据等腰直角三角形的性质，结合O、B的坐标，可推出点A的横、纵坐标；再根据绕原点旋转180°的点与原点点关于原点对称，横、纵坐标均变为原坐标的相反数，即可求出A'的坐标。
【解析】
过点A作AC⊥x轴于点C，如图
。∵ △OAB是等腰直角三角形，O(0,0)，B(4,0)，
∴ OB=4，AC是斜边OB上的中线和高，
∴ OC=BC=$\frac{1}{2}$OB=2，AC=$\frac{1}{2}$OB=2，
∴ 点A的坐标为(2,2)。
∵ 将△OAB绕点O旋转180°得到△OA'B'，
∴ 点A'与点A关于原点O中心对称，关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，
∴ 点A'的坐标为(-2,-2)。
【答案】
(-2,-2)
【知识点】
等腰直角三角形的性质，关于原点对称的坐标特征，图形的旋转变换
【点评】
本题属于基础题，主要考查等腰直角三角形的性质和旋转变换的坐标规律，解题的关键是先确定点A的坐标，再利用中心对称的坐标特点求解，是平面直角坐标系中图形变换的典型考题。
【难度系数】
0.7
5. |教材P11习题T8变式（2025·黄山期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，$△ ABC$的顶点都在格点上。
(1)将$△ ABC$向左平移6个单位长度得到$△ A_1B_1C_1$，请画出$△ A_1B_1C_1$；
(2)画出$△ A_1B_1C_1$关于点O的中心对称图形$△ A_2B_2C_2$；
(3)若将$△ ABC$绕某一点旋转可得到$△ A_2B_2C_2$，那么旋转中心的坐标为
(1)将$△ ABC$向左平移6个单位长度得到$△ A_1B_1C_1$，请画出$△ A_1B_1C_1$；
(2)画出$△ A_1B_1C_1$关于点O的中心对称图形$△ A_2B_2C_2$；
(3)若将$△ ABC$绕某一点旋转可得到$△ A_2B_2C_2$，那么旋转中心的坐标为
(3,0)
，旋转角度为180
°。答案
5. (1)如图
,△A₁B₁C₁即为所作.(2)如图
,△A₂B₂C₂即为所作.(3)(3,0) 180 解析:如图
,因为将△ABC绕某一点旋转可得到△A₂B₂C₂,连接AA₂,BB₂,CC₂,所以旋转中心P的坐标为(3,0),旋转角度为180°.故答案为(3,0);180.解析
【分析】
(1) 平移变换中图形所有点按相同规律移动，本题向左平移6个单位，只需将△ABC三个顶点的横坐标减6、纵坐标不变，得到对应点后依次连接即可画出△A₁B₁C₁。
(2) 关于原点中心对称的点横、纵坐标均互为相反数，据此求出△A₁B₁C₁三个顶点的对称点坐标，描点连线即可得到△A₂B₂C₂。
(3) 旋转中心是所有对应点连线的公共交点，旋转180°时对应点连线的中点就是旋转中心，求出交点坐标后，根据对应点与旋转中心的位置关系可判断旋转角度。
【解析】
(1) 先确定△ABC各顶点坐标：A(2,4)，B(1,1)，C(4,3)。根据平移规律，向左平移6个单位后，对应点坐标为A₁(-4,4)、B₁(-5,1)、C₁(-2,3)，描点后依次连接三点，得到△A₁B₁C₁。
(2) 根据原点中心对称的坐标特征，得△A₁B₁C₁顶点的对称点坐标为A₂(4,-4)、B₂(5,-1)、C₂(2,-3)，描点后依次连接三点，得到△A₂B₂C₂。
(3) 连接AA₂、BB₂，两条线段交点P的坐标为(3,0)，验证可知CC₂也过该点，因此旋转中心为(3,0)；观察对应点与P的连线在同一直线上且方向相反，故旋转角度为180°。
【答案】
(1)如图,△A₁B₁C₁即为所作.
(2)如图,△A₂B₂C₂即为所作.
(3)(3,0)；180
【知识点】
平移的坐标变换、中心对称的性质、旋转中心的确定
【点评】
本题是坐标系图形变换的典型基础题，综合考查平移、中心对称、旋转的作图与性质应用，要求学生熟练掌握各类变换下的坐标变化规律，能准确作图并结合坐标特征求解旋转相关参数。
【难度系数】
0.7
(1) 平移变换中图形所有点按相同规律移动，本题向左平移6个单位，只需将△ABC三个顶点的横坐标减6、纵坐标不变，得到对应点后依次连接即可画出△A₁B₁C₁。
(2) 关于原点中心对称的点横、纵坐标均互为相反数，据此求出△A₁B₁C₁三个顶点的对称点坐标，描点连线即可得到△A₂B₂C₂。
(3) 旋转中心是所有对应点连线的公共交点，旋转180°时对应点连线的中点就是旋转中心，求出交点坐标后，根据对应点与旋转中心的位置关系可判断旋转角度。
【解析】
(1) 先确定△ABC各顶点坐标：A(2,4)，B(1,1)，C(4,3)。根据平移规律，向左平移6个单位后，对应点坐标为A₁(-4,4)、B₁(-5,1)、C₁(-2,3)，描点后依次连接三点，得到△A₁B₁C₁。
(2) 根据原点中心对称的坐标特征，得△A₁B₁C₁顶点的对称点坐标为A₂(4,-4)、B₂(5,-1)、C₂(2,-3)，描点后依次连接三点，得到△A₂B₂C₂。
(3) 连接AA₂、BB₂，两条线段交点P的坐标为(3,0)，验证可知CC₂也过该点，因此旋转中心为(3,0)；观察对应点与P的连线在同一直线上且方向相反，故旋转角度为180°。
【答案】
(1)如图
,△A₁B₁C₁即为所作.(2)如图
,△A₂B₂C₂即为所作.(3)(3,0)；180
【知识点】
平移的坐标变换、中心对称的性质、旋转中心的确定
【点评】
本题是坐标系图形变换的典型基础题，综合考查平移、中心对称、旋转的作图与性质应用，要求学生熟练掌握各类变换下的坐标变化规律，能准确作图并结合坐标特征求解旋转相关参数。
【难度系数】
0.7
6. ★★★ 如图所示的正方形网格中(每个小正方形的边长是1),△ABC的顶点均在格点上,请在所给平面直角坐标系中按要求作图和解答下列问题:
(1)以点B为旋转中心,将△ABC绕点B顺时针旋转90°得△DBE,画出△DBE(其中点A,C的对应点分别为点D,E);
(2)画出△ABC关于点O成中心对称的△FGH(其中点A,C的对应点分别为点F,H);
(3)若连接AG,BF,则四边形ABFG的形状是
(1)以点B为旋转中心,将△ABC绕点B顺时针旋转90°得△DBE,画出△DBE(其中点A,C的对应点分别为点D,E);
(2)画出△ABC关于点O成中心对称的△FGH(其中点A,C的对应点分别为点F,H);
(3)若连接AG,BF,则四边形ABFG的形状是
矩形
.答案
6. (1)如图
①,△DBE为所作.(2)如图
②,△FGH为所作.(3)矩形 解析:如图
②,∵ 由网格的特点可得,AB=FG,AB//FG,
∴ 四边形ABFG是平行四边形.连接AF,BG,
∵ AF=GB,
∴ 平行四边形ABFG是矩形.故答案为矩形.
解析
【分析】
(1) 旋转作图思路：明确旋转中心为点B，旋转方向是顺时针，旋转角为90°。只需分别找到点A、C绕点B顺时针旋转90°后的对应点D、E，保证旋转前后对应线段长度相等、对应线段与旋转中心的夹角为90°，再顺次连接三点即可，可通过数网格格数快速确定对应点位置。
(2) 中心对称作图思路：关于原点O成中心对称的两点，横、纵坐标均互为相反数。先确定△ABC三个顶点的坐标，再求出对应点F、G、H的坐标，在网格中标出对应点后顺次连接即可。
(3) 四边形形状判定思路：先通过对边平行且相等判定四边形是平行四边形，再验证对角线相等，即可推导得出是矩形。
【解析】
(1) ①将线段BC绕点B顺时针旋转90°，BC原方向为竖直向上2个单位，旋转后变为水平向右2个单位，得到点E；
②将线段BA绕点B顺时针旋转90°，根据网格找到对应点D，满足BD=BA，∠ABD=90°；
③顺次连接D、B、E，得到△DBE。
(2) ①设每个小正方形边长为1，可得A(1,3)、B(3,1)、C(3,3)；
②关于原点中心对称的点横、纵坐标均为原坐标的相反数，因此对应点F(-1,-3)、G(-3,-1)、H(-3,-3)；
③在坐标系中找到F、G、H三点，顺次连接得到△FGH。
(3) 首先判断对边关系：
AB的斜率为$\frac{1-3}{3-1}=-1$，长度$AB=\sqrt{(3-1)^2+(1-3)^2}=2\sqrt{2}$；
FG的斜率为$\frac{-1-(-3)}{-3-(-1)}=-1$，长度$FG=\sqrt{(-3+1)^2+(-1+3)^2}=2\sqrt{2}$；
因此AB//FG且AB=FG，四边形ABFG是平行四边形。
再验证对角线：
对角线$AF=\sqrt{(-1-1)^2+(-3-3)^2}=\sqrt{40}$，$BG=\sqrt{(-3-3)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{40}$，即AF=BG；
根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可知四边形ABFG是矩形。
【答案】
(1)如图①,△DBE为所作.
(2)如图②,△FGH为所作.
(3)矩形
【知识点】
旋转变换作图；中心对称作图；矩形的判定
【点评】
本题结合网格考查图形变换作图和特殊四边形的判定，作图时要紧扣旋转、中心对称的性质找对应点，判定四边形形状时需按照定理逐步推导，注意不要漏过判定条件。
【难度系数】
0.7
(1) 旋转作图思路：明确旋转中心为点B，旋转方向是顺时针，旋转角为90°。只需分别找到点A、C绕点B顺时针旋转90°后的对应点D、E，保证旋转前后对应线段长度相等、对应线段与旋转中心的夹角为90°，再顺次连接三点即可，可通过数网格格数快速确定对应点位置。
(2) 中心对称作图思路：关于原点O成中心对称的两点，横、纵坐标均互为相反数。先确定△ABC三个顶点的坐标，再求出对应点F、G、H的坐标，在网格中标出对应点后顺次连接即可。
(3) 四边形形状判定思路：先通过对边平行且相等判定四边形是平行四边形，再验证对角线相等，即可推导得出是矩形。
【解析】
(1) ①将线段BC绕点B顺时针旋转90°，BC原方向为竖直向上2个单位，旋转后变为水平向右2个单位，得到点E；
②将线段BA绕点B顺时针旋转90°，根据网格找到对应点D，满足BD=BA，∠ABD=90°；
③顺次连接D、B、E，得到△DBE。
(2) ①设每个小正方形边长为1，可得A(1,3)、B(3,1)、C(3,3)；
②关于原点中心对称的点横、纵坐标均为原坐标的相反数，因此对应点F(-1,-3)、G(-3,-1)、H(-3,-3)；
③在坐标系中找到F、G、H三点，顺次连接得到△FGH。
(3) 首先判断对边关系：
AB的斜率为$\frac{1-3}{3-1}=-1$，长度$AB=\sqrt{(3-1)^2+(1-3)^2}=2\sqrt{2}$；
FG的斜率为$\frac{-1-(-3)}{-3-(-1)}=-1$，长度$FG=\sqrt{(-3+1)^2+(-1+3)^2}=2\sqrt{2}$；
因此AB//FG且AB=FG，四边形ABFG是平行四边形。
再验证对角线：
对角线$AF=\sqrt{(-1-1)^2+(-3-3)^2}=\sqrt{40}$，$BG=\sqrt{(-3-3)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{40}$，即AF=BG；
根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可知四边形ABFG是矩形。
【答案】
(1)如图
①,△DBE为所作.(2)如图
②,△FGH为所作.(3)矩形
【知识点】
旋转变换作图；中心对称作图；矩形的判定
【点评】
本题结合网格考查图形变换作图和特殊四边形的判定，作图时要紧扣旋转、中心对称的性质找对应点，判定四边形形状时需按照定理逐步推导，注意不要漏过判定条件。
【难度系数】
0.7
