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三、解答题
7. 如图，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的三角形叫作格点三角形.根据图形解答下列问题：
（1）图中的格点三角形 DEF 是由格点三角形 ABC 通过怎样的变换得到的？（写出变换过程）
（2）在图中建立适当的平面直角坐标系，写出此时$△ DEF$各顶点的坐标.
7. 如图，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的三角形叫作格点三角形.根据图形解答下列问题：
（1）图中的格点三角形 DEF 是由格点三角形 ABC 通过怎样的变换得到的？（写出变换过程）
（2）在图中建立适当的平面直角坐标系，写出此时$△ DEF$各顶点的坐标.
答案
解：
（1）变换过程答案不唯一，合理即可，示例：先将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转90°，再将所得图形向右平移2个单位长度，即可得到△DEF。
（2）以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系，规定每个小正方形的边长为1个单位长度，
此时△DEF各顶点的坐标为：$D(7,-2)$，$E(10,-3)$，$F(9,0)$。
（1）变换过程答案不唯一，合理即可，示例：先将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转90°，再将所得图形向右平移2个单位长度，即可得到△DEF。
（2）以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系，规定每个小正方形的边长为1个单位长度，
此时△DEF各顶点的坐标为：$D(7,-2)$，$E(10,-3)$，$F(9,0)$。
解析
【分析】
（1）首先观察到△ABC和△DEF是全等的格点三角形，可通过旋转、平移的组合变换得到：先确定旋转中心、旋转方向和旋转角度，使△ABC旋转后和△DEF方向一致，再通过平移让两个三角形完全重合即可，变换过程表述合理即可。
（2）建立平面直角坐标系需要先确定原点、坐标轴正方向、单位长度三个要素，选择合适的点作为原点，明确坐标轴方向和单位长度后，根据各点在坐标系中的横、纵向位置即可写出对应坐标。
【解析】
（1）变换过程不唯一，示例：
第一步：将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转90°，得到和△DEF方向一致的全等三角形；
第二步：将旋转后得到的图形向右平移2个单位长度，即可得到△DEF。
（2）我们以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，规定水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，每个小正方形的边长为1个单位长度，建立平面直角坐标系：
观察格点位置可得：点D距离y轴7个单位，在x轴下方2个单位，坐标为(7,-2)；点E距离y轴10个单位，在x轴下方3个单位，坐标为(10,-3)；点F距离y轴9个单位，在x轴上，坐标为(9,0)。
【答案】
（1）示例：先将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转90°，再将所得图形向右平移2个单位长度，即可得到△DEF（答案不唯一，合理即可）。
（2）以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，每个小正方形边长为1个单位长度建立平面直角坐标系时，△DEF各顶点坐标为$D(7,-2)$，$E(10,-3)$，$F(9,0)$（建系方式不唯一，坐标与建系对应正确即可）。
【知识点】
图形的旋转；图形的平移；平面直角坐标系
【点评】
本题考查图形全等变换的应用和平面直角坐标系的基础操作，掌握旋转、平移的性质是解决第一问的核心，建立坐标系时明确三要素才能准确写出点的坐标，解题时注意变换过程的描述要清晰准确，建系符合规则即可。
【难度系数】
0.7
（1）首先观察到△ABC和△DEF是全等的格点三角形，可通过旋转、平移的组合变换得到：先确定旋转中心、旋转方向和旋转角度，使△ABC旋转后和△DEF方向一致，再通过平移让两个三角形完全重合即可，变换过程表述合理即可。
（2）建立平面直角坐标系需要先确定原点、坐标轴正方向、单位长度三个要素，选择合适的点作为原点，明确坐标轴方向和单位长度后，根据各点在坐标系中的横、纵向位置即可写出对应坐标。
【解析】
（1）变换过程不唯一，示例：
第一步：将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转90°，得到和△DEF方向一致的全等三角形；
第二步：将旋转后得到的图形向右平移2个单位长度，即可得到△DEF。
（2）我们以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，规定水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，每个小正方形的边长为1个单位长度，建立平面直角坐标系：
观察格点位置可得：点D距离y轴7个单位，在x轴下方2个单位，坐标为(7,-2)；点E距离y轴10个单位，在x轴下方3个单位，坐标为(10,-3)；点F距离y轴9个单位，在x轴上，坐标为(9,0)。
【答案】
（1）示例：先将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转90°，再将所得图形向右平移2个单位长度，即可得到△DEF（答案不唯一，合理即可）。
（2）以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，每个小正方形边长为1个单位长度建立平面直角坐标系时，△DEF各顶点坐标为$D(7,-2)$，$E(10,-3)$，$F(9,0)$（建系方式不唯一，坐标与建系对应正确即可）。
【知识点】
图形的旋转；图形的平移；平面直角坐标系
【点评】
本题考查图形全等变换的应用和平面直角坐标系的基础操作，掌握旋转、平移的性质是解决第一问的核心，建立坐标系时明确三要素才能准确写出点的坐标，解题时注意变换过程的描述要清晰准确，建系符合规则即可。
【难度系数】
0.7
8. 图(1)(2)都是由边长为1的等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：
(1) 使图(1)中得到的6个阴影等边三角形组成一个轴对称图形；
(2) 使图(2)中得到的6个阴影等边三角形组成一个中心对称图形。
(1) 使图(1)中得到的6个阴影等边三角形组成一个轴对称图形；
(2) 使图(2)中得到的6个阴影等边三角形组成一个中心对称图形。
答案
解：
(1) 在图(1)中，选取位于图形竖直对称轴上、现有最下方阴影三角形正下方的空白倒等边三角形涂上阴影，得到的6个阴影等边三角形沿过图形中心的竖直直线折叠后，直线两侧部分完全重合，组成轴对称图形。（涂法不唯一，符合轴对称定义即可）
(2) 在图(2)中，选取现有阴影图形右上方、第一行从左数第三个空白等边三角形涂上阴影，得到的6个阴影等边三角形绕图形中心旋转180°后，能与自身完全重合，组成中心对称图形。（涂法不唯一，符合中心对称定义即可）
(1) 在图(1)中，选取位于图形竖直对称轴上、现有最下方阴影三角形正下方的空白倒等边三角形涂上阴影，得到的6个阴影等边三角形沿过图形中心的竖直直线折叠后，直线两侧部分完全重合，组成轴对称图形。（涂法不唯一，符合轴对称定义即可）
(2) 在图(2)中，选取现有阴影图形右上方、第一行从左数第三个空白等边三角形涂上阴影，得到的6个阴影等边三角形绕图形中心旋转180°后，能与自身完全重合，组成中心对称图形。（涂法不唯一，符合中心对称定义即可）
解析
【分析】
解决本题首先要明确两个核心图形的定义：①轴对称图形是沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形；②中心对称图形是绕某一个点旋转180°后，能和自身完全重合的图形。
对于第(1)问，可先确定一条对称轴（如过图(1)中心的竖直直线），再观察现有阴影的分布，找到对称位置的空白三角形补上，使所有阴影沿该直线折叠后完全重合即可，涂法不唯一。
对于第(2)问，先确定图(2)的几何中心，将现有阴影绕中心旋转180°，找到空缺的对应空白三角形补上，使所有阴影旋转180°后与原阴影完全重合即可，涂法不唯一。
【解析】
(1) 选取过图(1)中心的竖直直线为对称轴，观察现有阴影的分布，现有最下方阴影三角形的正下方、位于竖直对称轴上的空白倒等边三角形是缺失的对称部分，将其涂上阴影后，沿该竖直直线折叠，直线两侧的阴影部分完全重合，符合轴对称图形的要求。
(2) 确定图(2)的几何中心，将现有5个阴影三角形分别绕该中心旋转180°，观察对应位置，选取现有阴影图形右上方、第一行从左数第三个空白等边三角形涂上阴影，此时所有阴影绕中心旋转180°后能与原阴影完全重合，符合中心对称图形的要求。
注：两小问均有多种涂法，只要分别符合轴对称、中心对称的定义均正确。
【答案】
(1) 示例：将图(1)中现有最下方阴影三角形正下方、位于竖直对称轴上的空白倒等边三角形涂上阴影（涂法不唯一，符合轴对称图形定义即可）；
(2) 示例：将图(2)中第一行从左数第三个空白等边三角形涂上阴影（涂法不唯一，符合中心对称图形定义即可）。
【知识点】
轴对称图形、中心对称图形、网格作图
【点评】
本题依托等边三角形网格考查对轴对称和中心对称图形概念的掌握，解题时紧扣图形定义，结合网格结构特征寻找对应位置即可，答案具有开放性，能有效锻炼图形感知能力和空间想象能力。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确两个核心图形的定义：①轴对称图形是沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形；②中心对称图形是绕某一个点旋转180°后，能和自身完全重合的图形。
对于第(1)问，可先确定一条对称轴（如过图(1)中心的竖直直线），再观察现有阴影的分布，找到对称位置的空白三角形补上，使所有阴影沿该直线折叠后完全重合即可，涂法不唯一。
对于第(2)问，先确定图(2)的几何中心，将现有阴影绕中心旋转180°，找到空缺的对应空白三角形补上，使所有阴影旋转180°后与原阴影完全重合即可，涂法不唯一。
【解析】
(1) 选取过图(1)中心的竖直直线为对称轴，观察现有阴影的分布，现有最下方阴影三角形的正下方、位于竖直对称轴上的空白倒等边三角形是缺失的对称部分，将其涂上阴影后，沿该竖直直线折叠，直线两侧的阴影部分完全重合，符合轴对称图形的要求。
(2) 确定图(2)的几何中心，将现有5个阴影三角形分别绕该中心旋转180°，观察对应位置，选取现有阴影图形右上方、第一行从左数第三个空白等边三角形涂上阴影，此时所有阴影绕中心旋转180°后能与原阴影完全重合，符合中心对称图形的要求。
注：两小问均有多种涂法，只要分别符合轴对称、中心对称的定义均正确。
【答案】
(1) 示例：将图(1)中现有最下方阴影三角形正下方、位于竖直对称轴上的空白倒等边三角形涂上阴影（涂法不唯一，符合轴对称图形定义即可）；
(2) 示例：将图(2)中第一行从左数第三个空白等边三角形涂上阴影（涂法不唯一，符合中心对称图形定义即可）。
【知识点】
轴对称图形、中心对称图形、网格作图
【点评】
本题依托等边三角形网格考查对轴对称和中心对称图形概念的掌握，解题时紧扣图形定义，结合网格结构特征寻找对应位置即可，答案具有开放性，能有效锻炼图形感知能力和空间想象能力。
【难度系数】
0.7
9. 如图，AD是$△ ABC$的边BC上的中线.
（1）画出以点D为对称中心，与$△ ABD$成中心对称的三角形；
（2）若$AB=10$，$AD=8$，求AC长的取值范围.
（1）画出以点D为对称中心，与$△ ABD$成中心对称的三角形；
（2）若$AB=10$，$AD=8$，求AC长的取值范围.
答案
解：
(1) 延长AD到点E，使DE=AD，连接CE，则△CDE即为以点D为对称中心，与△ABD成中心对称的三角形。
(2) ∵ △ABD与△ECD关于点D成中心对称，
∴ CE = AB = 10，
由构造过程可知DE = AD = 8，
∴ AE = AD + DE = 16。
在△ACE中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，
得 AE - CE ＜ AC ＜ AE + CE，
代入数值即 16 - 10 ＜ AC ＜ 16 + 10，
∴ AC长的取值范围是 $6 ＜ AC ＜ 26$。
(1) 延长AD到点E，使DE=AD，连接CE，则△CDE即为以点D为对称中心，与△ABD成中心对称的三角形。
(2) ∵ △ABD与△ECD关于点D成中心对称，
∴ CE = AB = 10，
由构造过程可知DE = AD = 8，
∴ AE = AD + DE = 16。
在△ACE中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，
得 AE - CE ＜ AC ＜ AE + CE，
代入数值即 16 - 10 ＜ AC ＜ 16 + 10，
∴ AC长的取值范围是 $6 ＜ AC ＜ 26$。
解析
【分析】
（1）作图思路：根据中心对称的性质，成中心对称的两个图形的对称点连线过对称中心，且被对称中心平分。已知D是对称中心，AD是BC的中线，因此B关于D的对称点是C，D的对称点是自身，只需找到A关于D的对称点：延长AD到E，使DE=AD，连接CE即可得到所求三角形。
（2）求边长范围思路：利用第一问构造的中心对称图形的性质，把AB转化为相等的CE，AD转化为相等的DE，得到AE的长度，此时AC、CE、AE在同一个△ACE中，直接用三角形三边关系即可求出AC的取值范围。
【解析】
(1) 作图步骤：延长AD到点E，使DE=AD，连接CE，则△CDE就是以点D为对称中心，与△ABD成中心对称的三角形。
(2) 解：
∵ △ABD与△ECD关于点D成中心对称，
∴ 根据中心对称对应边相等的性质，得$CE = AB = 10$，
由作图构造可知$DE = AD = 8$，因此$AE = AD + DE = 8+8=16$，
在△ACE中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，
可得$AE - CE ＜ AC ＜ AE + CE$，
代入数值计算得$16 - 10 ＜ AC ＜ 16 + 10$，
即$6 ＜ AC ＜ 26$。
【答案】
(1) 延长AD到点E，使DE=AD，连接CE，△CDE即为所求；
(2) $6 ＜ AC ＜ 26$
【知识点】
中心对称的性质；三角形三边关系；中心对称作图
【点评】
本题考查中心对称性质的实际应用，通过构造中心对称图形实现边的转移，将分散的条件集中到同一个三角形中，是几何中求解边长范围的常用技巧，需要熟练掌握该类辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.7
（1）作图思路：根据中心对称的性质，成中心对称的两个图形的对称点连线过对称中心，且被对称中心平分。已知D是对称中心，AD是BC的中线，因此B关于D的对称点是C，D的对称点是自身，只需找到A关于D的对称点：延长AD到E，使DE=AD，连接CE即可得到所求三角形。
（2）求边长范围思路：利用第一问构造的中心对称图形的性质，把AB转化为相等的CE，AD转化为相等的DE，得到AE的长度，此时AC、CE、AE在同一个△ACE中，直接用三角形三边关系即可求出AC的取值范围。
【解析】
(1) 作图步骤：延长AD到点E，使DE=AD，连接CE，则△CDE就是以点D为对称中心，与△ABD成中心对称的三角形。
(2) 解：
∵ △ABD与△ECD关于点D成中心对称，
∴ 根据中心对称对应边相等的性质，得$CE = AB = 10$，
由作图构造可知$DE = AD = 8$，因此$AE = AD + DE = 8+8=16$，
在△ACE中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，
可得$AE - CE ＜ AC ＜ AE + CE$，
代入数值计算得$16 - 10 ＜ AC ＜ 16 + 10$，
即$6 ＜ AC ＜ 26$。
【答案】
(1) 延长AD到点E，使DE=AD，连接CE，△CDE即为所求；
(2) $6 ＜ AC ＜ 26$
【知识点】
中心对称的性质；三角形三边关系；中心对称作图
【点评】
本题考查中心对称性质的实际应用，通过构造中心对称图形实现边的转移，将分散的条件集中到同一个三角形中，是几何中求解边长范围的常用技巧，需要熟练掌握该类辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.7
