1. (兰州中考)在下列二次函数中,其图象的对称轴为直线$x=-2$的是 ()

A.$y=(x+2)^2$
B.$y=2x^2-2$
C.$y=-2x^2-2$
D.$y=2(x-2)^2$

A 解析：$y=(x+2)^2$图象的对称轴为直线$x=-2$,$y=2x^2-2$和$y=-2x^2-2$图象的对称轴为$y$轴, $y=2(x-2)^2$图象的对称轴为直线$x=2$.故选 A.

2. (百色中考)把抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$向右平移2个单位长度,则平移后所得抛物线的表达式为 ()

A.$y=-\frac{1}{2}x^2+2$
B.$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2$
C.$y=-\frac{1}{2}x^2-2$
D.$y=-\frac{1}{2}(x-2)^2$

D 解析：根据二次函数图象的平移规律可得,把抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$向右平移2个单位长度后所得抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}(x-2)^2$.

3. (南充中考)若点$P(m,n)$在抛物线$y=ax^2(a≠0)$上，则下列各点在抛物线$y=a(x+1)^2$上的是 ()

A.$(m,n+1)$
B.$(m+1,n)$
C.$(m,n-1)$
D.$(m-1,n)$

D 解析:
∵ 抛物线$y=a(x+1)^2$是抛物线$y=ax^2(a≠0)$向左平移1个单位长度得到的,
∴ 抛物线$y=ax^2$上点$P(m,n)$向左平移1个单位长度后,会在抛物线$y=a(x+1)^2$上,
∴ 点$(m-1,n)$在抛物线$y=a(x+1)^2$上.

4. 原创题 关于二次函数$y=-2(x+c)^2$的图象，下列说法：①最大值为0；②对称轴为直线$x=c$；③开口向上；④与$y$轴不相交.其中正确的有.(填序号)

① 解析:$y=-2(x+c)^2$的图象的对称轴为直线$x=-c$,故②错误.
∵$-2＜0$,
∴ 图象开口向下,故③错误.函数图象在$x=-c$时有最大值0,故①正确.图象与$y$轴交于点$(0,-2c^2)$,故④错误.故答案为①.

5. (1)与抛物线$y=-\sqrt{3}x^2$的形状相同，开口方向相反，顶点坐标是$(2,0)$的抛物线表达式是。
(2)抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$上的各个点横坐标都减3，则得到的新抛物线表达式是。

(1)$y=\sqrt{3}(x-2)^2$ 解析:与抛物线$y=-\sqrt{3}x^2$的形状相同,开口方向相反的抛物线表达式是$y=\sqrt{3}x^2$.
∵ 顶点坐标是$(2,0)$,
∴ 将$y=\sqrt{3}x^2$向右平移2个单位长度得到$y=\sqrt{3}(x-2)^2$.
(2)$y=\frac{1}{2}(x+3)^2$ 解析:抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$上的各个点横坐标都减3,即将抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$向左平移3个单位长度得到$y=\frac{1}{2}(x+3)^2$.
归纳总结 抛物线上的各个点横坐标都减n,等于抛物线向左平移n个单位长度;反之,各个点横坐标都加n,等于抛物线向右平移n个单位长度.

6. 若抛物线$y=2(x+a)^{a^2 -7}$的顶点在x轴负半轴上，则a的值为。

3 解析:$a^2-7=2$,$a^2=9$,$a=±3$,
∵ 抛物线顶点为$(-a,0)$,且在$x$轴负半轴上,
∴$-a＜0$,$a＞0$,故$a=3$.

7. 已知$A(-2,y_1),B(1,y_2),C(2,y_3)$三点都在二次函数$y=-2(x-1)^2$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为。

$y_1＜y_3＜y_2$ 解析:
∵$y=-2(x-1)^2$,
∴ 抛物线开口向下,对称轴为直线$x=1$.
∵$A(-2,y_1),B(1,y_2),C(2,y_3)$三点都在二次函数$y=-2(x-1)^2$的图象上,
∴$A(-2,y_1)$到对称轴的距离最远,$B(1,y_2)$在对称轴上,
∴$y_1＜y_3＜y_2$.

8. 改编题 已知抛物线$y=-(x+h)^2$的对称轴为直线$x=-2$，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是，x值为时，函数有最值(填“大”或“小”)。

$x≥-2$ -2 大 解析:
∵ 抛物线$y=-(x+h)^2$的对称轴是直线$x=-2$,
∴$-h=-2$,解得$h=2$,
∴ 抛物线表达式为$y=-(x+2)^2$,
∴ 抛物线开口向下,对称轴是直线$x=-2$,
∴ 当$x≥-2$时,y 随 x 的增大而减小,当$x=-2$时,函数有最大值0.

9. 如图,坐标平面上有一顶点为A的抛物线,此抛物线与直线$y=2$交于B,C两点,$△ ABC$为等边三角形.若A点坐标为$(-3,0)$,则此抛物线与y轴的交点坐标是.

$(0,\frac{27}{2})$ 解析:
∵ 顶点 A 的坐标为$(-3,0)$,
∴ 设抛物线的函数表达式为$y=a(x+3)^2$.设点$B(-3-m,2),C(-3+m,2)$($m＞0$),
∴$BC=2m$.
∵$△ ABC$为等边三角形,
∴$AC=BC=2m$,$∠BAC=60°$.过点 C 作$CD⊥AO$于点 D,易得$∠ACD=30°$,
∴$AD=m$,
∴ 由勾股定理得$CD=\sqrt{3}m$,
∴$\sqrt{3}m=2$,
∴$m=\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
∴$C(-3+\frac{2\sqrt{3}}{3},2)$,
∴$a(-3+\frac{2\sqrt{3}}{3}+3)^2=2$,
∴$a=\frac{3}{2}$,
∴$y=\frac{3}{2}(x+3)^2$,当$x=0$时,$y=\frac{27}{2}$.

10. 原创题 已知抛物线$C_0$的表达式为$y=(x+1)^2$，将抛物线$C_0$每次向右平移2个单位长度，平移$n$次，依次得到抛物线$C_1,C_2,C_3,\dots,C_n$($n$为正整数)，则抛物线$C_n$的表达式为________。

$y=(x-2n+1)^2$(或$y=x^2-(4n-2)x+4n^2-4n+1$) 解析:由于点$(-1,0)$向右平移$2n$个单位长度得到$C_n$的顶点坐标为$(2n-1,0)$,则抛物线$C_n$的表达式为$y=[x-(2n-1)]^2=(x-2n+1)^2=x^2-(4n-2)x+4n^2-4n+1$.

11. 如图,将抛物线$y=x^2$向右平移$a$个单位长度,顶点为$A$,与$y$轴交于点$B$,且$△ AOB$为等腰直角三角形.
(1)求$a$的值.
(2)在图中的抛物线上是否存在点$C$,使$△ ABC$为等腰直角三角形?若存在,求点$C$的坐标及$S_{△ ABC}$;若不存在,请说明理由.

(1)平移后的抛物线的表达式为$y=(x-a)^2=x^2-2ax+a^2$,令$y=x^2-2ax+a^2$中的$x=0$,则$y=a^2$,
∴$B(0,a^2)$.
∵$△ AOB$为等腰直角三角形,
∴$a=a^2$,解得$a=1$或$a=0$(舍去).故$a$的值为1.
(2)存在,点$C(2,1)$,$S_{△ABC}=1$.理由：
作点 B 关于抛物线的对称轴对称的点 C,连接 AC,BC,BC 交抛物线的对称轴于点 D,如图所示.
∵$△ AOB$为等腰直角三角形,
∴$△ ABD$为等腰直角三角形,
∴$∠BAD=45°$.
∵ 直线 AD 为抛物线的对称轴,
∴$AB=AC$,$∠CAD=∠BAD=45°$,
∴$∠BAC=90°$,
∴$△ ABC$为等腰直角三角形.
∵ 点$B(0,1)$,抛物线的对称轴为直线$x=1$,
∴ 点 C 的坐标为$(2,1)$,
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1$,故在图中的抛物线上存在点 C,使$△ ABC$为等腰直角三角形,点 C 的坐标为$(2,1)$,且$S_{△ABC}=1$.
知识拓展 二次函数$y=ax^2+bx+c(a＞0)$的图象与 x 轴分别交于 A,B 两点,抛物线顶点为 C,则$△ ABC$为等腰三角形.特别地,当$b^2-4ac=4$时,$△ ABC$是等腰直角三角形;当$b^2-4ac=12$时,$△ ABC$是等边三角形.