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13. 把多项式$x^2y^5 - xy^n z$因式分解时，提取的公因式是$xy^5$，则$n$的值可能为（
A.6
B.4
C.3
D.2
A
）A.6
B.4
C.3
D.2
答案
13.A 把多项式$x^2y^5 - xy^n z$因式分解时,提取的公因式是$xy^5$,则$n≥5.$
14. 计算$(-2)^{101} + (-2)^{100}$的结果是（
A.$-2$
B.$-2^{100}$
C.$2$
D.$2^{100}$
B
）A.$-2$
B.$-2^{100}$
C.$2$
D.$2^{100}$
答案
14.B $(-2)^{101} + (-2)^{100} = (-2)^{100} × (-2 + 1) = -(-2)^{100} = -2^{100}.$
15. 先因式分解,再求值:$(3a - 4b)(7a - 8b) + (11a - 12b)(7a - 8b)$,其中$a = 2,b = 1$.
答案
15. 解:$(3a - 4b)(7a - 8b) + (11a - 12b)(7a - 8b)$
$=(7a - 8b)(3a - 4b + 11a - 12b)$
$=(7a - 8b)(14a - 16b)$
$=2(7a - 8b)(7a - 8b)$
$=2(7a - 8b)^2.$
当$a=2,b=1$时,原式$=2×(7×2 - 8×1)^2=72.$
$=(7a - 8b)(3a - 4b + 11a - 12b)$
$=(7a - 8b)(14a - 16b)$
$=2(7a - 8b)(7a - 8b)$
$=2(7a - 8b)^2.$
当$a=2,b=1$时,原式$=2×(7×2 - 8×1)^2=72.$
16. 新趋势·代数推理“回文诗”是我国古典文学作品中的特殊体裁，如“遥望四边云接水，碧峰千点数鸿轻”，倒过来便是“轻鸿数点千峰碧，水接云边四望遥”.在数学中也有类似的自然数，称为“回文数”，如11,343等，试说明:任意一个四位数的“回文数”M一定是11的倍数.
答案
16. 解:设任意四位数的“回文数”M的千位,百位,十位和个位上的数字分别为$a,b,b,a$,
则$M=1000a + 100b + 10b + a = 1001a + 110b = 11×91a + 11×10b = 11(91a + 10b),$
$\therefore M$是11的倍数.
则$M=1000a + 100b + 10b + a = 1001a + 110b = 11×91a + 11×10b = 11(91a + 10b),$
$\therefore M$是11的倍数.
17. [2025 苏州姑苏区期中]【阅读材料，掌握知识】
分解因式：$3x^2 + 3xy -5x -5y.$
解法一：$3x^2 + 3xy -5x -5y = (3x^2 +3xy) - (5x +5y) =3x(x+y)-5(x+y)=(x+y)(3x-5).$
解法二：$3x^2 +3xy -5x -5y=(3x^2 -5x)+(3xy -5y)=x(3x-5)+y(3x-5)=(3x-5)(x+y).$
小结：当项数较多的多项式无法直接分解因式时，可将多项式先分为若干组，再分解因式，即分组分解。
【理解知识，尝试应用】
(1)分解因式：$ab + bc -ac -b^2.$
【提炼思想，拓展应用】
(2)$△ ABC$的三边长分别是$a,b,c$，且$(a -c)^2 +ab -bc =0$，试判断这个三角形的形状，并说明理由。
分解因式：$3x^2 + 3xy -5x -5y.$
解法一：$3x^2 + 3xy -5x -5y = (3x^2 +3xy) - (5x +5y) =3x(x+y)-5(x+y)=(x+y)(3x-5).$
解法二：$3x^2 +3xy -5x -5y=(3x^2 -5x)+(3xy -5y)=x(3x-5)+y(3x-5)=(3x-5)(x+y).$
小结：当项数较多的多项式无法直接分解因式时，可将多项式先分为若干组，再分解因式，即分组分解。
【理解知识，尝试应用】
(1)分解因式：$ab + bc -ac -b^2.$
【提炼思想，拓展应用】
(2)$△ ABC$的三边长分别是$a,b,c$，且$(a -c)^2 +ab -bc =0$，试判断这个三角形的形状，并说明理由。
答案
17. 解:(1)$ab + bc - ac - b^2 = (ab - ac) + (bc - b^2) = a(b - c) + b(c - b) = (a - b)(b - c).$
(2)这个三角形为等腰三角形.理由如下:
$\because (a - c)^2 + ab - bc = 0,$
$\therefore (a - c)^2 + b(a - c) = 0,\therefore (a - c)(a - c + b) = 0.$
$\because a,b,c$是$△ ABC$的三边长,
$\therefore a + b ＞ c$(三角形的两边之和大于第三边),
$\therefore a - c + b ≠ 0,\therefore a - c = 0,\therefore a = c,$
$\therefore$这个三角形为等腰三角形.
(2)这个三角形为等腰三角形.理由如下:
$\because (a - c)^2 + ab - bc = 0,$
$\therefore (a - c)^2 + b(a - c) = 0,\therefore (a - c)(a - c + b) = 0.$
$\because a,b,c$是$△ ABC$的三边长,
$\therefore a + b ＞ c$(三角形的两边之和大于第三边),
$\therefore a - c + b ≠ 0,\therefore a - c = 0,\therefore a = c,$
$\therefore$这个三角形为等腰三角形.
18. 运算能力 先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题.
$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^2 = (1 + x)[1 + x + x(x + 1)] = (1 + x)^2(1 + x) = (1 + x)^3$.
(1)上述分解因式的方法是
(2)分解因式：$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^2 + x(x + 1)^3 + x(x + 1)^4$；
(3)若分解$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^2 + \dots + x(x + 1)^n$，结果是
$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^2 = (1 + x)[1 + x + x(x + 1)] = (1 + x)^2(1 + x) = (1 + x)^3$.
(1)上述分解因式的方法是
提公因式法
，共应用了2
次；(2)分解因式：$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^2 + x(x + 1)^3 + x(x + 1)^4$；
(3)若分解$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^2 + \dots + x(x + 1)^n$，结果是
$(x+1)^{n+1}$
.($n$为正整数)答案
18. 解:(1)提公因式法 2
(2)$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^2 + x(x + 1)^3 + x(x + 1)^4$
$=(1 + x)[1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^2 + x(x + 1)^3]$
$=(1 + x)^2[1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^2]$
$=(1 + x)^3[1 + x + x(x + 1)]$
$=(1 + x)^4(1 + x) = (1 + x)^5.$
(3)$(x + 1)^{n+1}$
$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^2 + \dots + x(x + 1)^n = (1 + x)[1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^2 + \dots + x(x + 1)^{n-1}] = (1 + x)^2[1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^2 + \dots + x(x + 1)^{n-2}] = \dots = (1 + x)^{n+1}$(通过连续提公因式,得出提公因式的次数与结果的指数之间的关系).
(2)$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^2 + x(x + 1)^3 + x(x + 1)^4$
$=(1 + x)[1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^2 + x(x + 1)^3]$
$=(1 + x)^2[1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^2]$
$=(1 + x)^3[1 + x + x(x + 1)]$
$=(1 + x)^4(1 + x) = (1 + x)^5.$
(3)$(x + 1)^{n+1}$
$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^2 + \dots + x(x + 1)^n = (1 + x)[1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^2 + \dots + x(x + 1)^{n-1}] = (1 + x)^2[1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^2 + \dots + x(x + 1)^{n-2}] = \dots = (1 + x)^{n+1}$(通过连续提公因式,得出提公因式的次数与结果的指数之间的关系).
