4. [2023长沙模拟]定义:从$∠AOB$的顶点出发,在角的内部引一条射线OC,把$∠AOB$分成$1:2$的两部分,射线OC叫作$∠AOB$的三等分线.若在$∠MON$中,射线OP是$∠MON$的三等分线,射线OQ是$∠MOP$的三等分线,设$∠MOQ=α$,则$∠MON$用含α的代数式表示为 ()

A.$\frac{9}{4}α$ 或 $3α$ 或 $\frac{9}{2}α$
B.$\frac{9}{4}α$ 或 $3α$ 或 $9α$
C.$\frac{9}{4}α$ 或 $\frac{9}{2}α$ 或 $9α$
D.$3α$ 或 $\frac{9}{2}α$ 或 $9α$

C

5. 如图①，已知$∠ AOB=120°$，$∠ COD=60°$，$OM$在$∠ AOC$内，$ON$在$∠ BOD$内，$∠ AOM=\frac{1}{3}∠ AOC$，$∠ BON=\frac{1}{3}∠ BOD$.(本题中所有角均大于$0°$且小于等于$180°$)
(1)如图②，当$∠ COD$绕点$O$逆时针旋转到$OC$与$OB$重合时，则$∠ MON=$ $°$；
(2)如图③，当$∠ COD$从图②中的位置绕点$O$逆时针旋转$80°$(即$∠ BOC=80°$)时，求$∠ MON$的度数；

(3)当$∠ COD$从图②中的位置绕点$O$逆时针旋转$n°$(即$∠ BOC=n°$，$0＜n＜180$且$n≠ 60a$，其中$a$为正整数)时，求$∠ MON$的度数.
6.[2024长沙模拟]如图①，已知数轴上的点$A$，$B$对应的数分别是$-5$和$1$，点$O$为原点.

(1)若点$P$到点$A$，$B$的距离相等，则点$P$对应的数为 .
(2)动点$P$从点$A$出发，以$2$个单位长度/s的速度向右运动，设运动时间为$t$ s，问：是否存在某个时刻$t$，恰好使得点$P$到点$A$的距离是点$P$到点$B$的距离的$2$倍？若存在，请求出$t$的值；若不存在，请说明理由.
(3)如图②，在数轴上的点$M$和点$N$处各竖立一个挡板(点$M$在原点左侧，点$N$在原点右侧，且$OM＞ON$)，数轴上甲、乙两个弹珠同时从原点出发，甲弹珠以$2$个单位长度/s的速度沿数轴向右运动，乙弹珠以$5$个单位长度/s的速度沿数轴向左运动.当弹珠遇到挡板后立即以原速度向反方向运动，若甲、乙两个弹珠相遇的位置恰好到点$M$和点$N$的距离相等，试探究点$M$对应的数$m$与点$N$对应的数$n$是否满足某种数量关系，请写出它们的关系式，并说明理由.

7.已知$(a+2)x^3+20x^2+(b-9)x+5$是关于$x$的二次二项式，$A$，$B$是数轴上两点，且点$A$，$B$对应的数分别为$a$，$b$.
(1)$a=$ ，$b=$ ，$AB=$ .
(2)若小虫甲到点$B$后就沿着数轴以每秒$5$个单位长度的速度向右爬行，同时另两只小虫乙、丙分别从点$A$和原点$O$出发向右爬行，乙的速度是每秒$2$个单位长度，丙的速度是每秒$1$个单位长度，假设三只小虫同时运动$t$ s后，甲、乙、丙三只小虫对应的点分别是点$D$，$E$，$F$，则$4DE-3DF$是定值吗？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.
(3)如图，在数轴上方从点$C$出发引出射线$CD$，$CE$，$CF$，$CG$，且$CF$平分$∠ ACD$，$CG$平分$∠ BCE$，已知$∠ DCE=20°$，$∠ ACE=30°$，当$∠ DCE$绕着点$C$以$2°$/s的速度逆时针旋转$t$ s($0＜t＜155$)时，$∠ ACF$和$∠ BCG$中的一个角的度数恰好是另一个角度数的$2$倍，求$t$的值.

5.(1)$100$
(2)$∠ MON=100°$
(3)$∠ MON$的度数为$100°$
6.(1)$-2$
(2)存在,$t$的值为$6$或$2$
(3)$m+13n=0$,理由略
7.(1)$-2$；$9$；$11$
(2)$4DE-3DF$是定值,为$17$
(3)$t$的值为$\frac{25}{3}$或$\frac{125}{3}$或$\frac{205}{3}$或$\frac{215}{3}$或$\frac{305}{3}$或$\frac{385}{3}$