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1 [2025 江苏宿迁质检,中]观察下列等式:$3^1=3$,$3^2=9$,$3^3=27$,$3^4=81$,$3^5=243$,$···$,则$3^{2024}$的个位数字是（
A.3
B.9
C.7
D.1
D
）A.3
B.9
C.7
D.1
答案
1.D 【解析】根据 $3^1=3,3^2=9,3^3=27,3^4=81$,$3^5=243,\dots$,可得$3^n$($n$为正整数)的个位数字按3,9,7,1循环出现. $2\ 024÷4=506$,所以$3^{2024}$的个位数字是1. 故选 D.
2[2026江苏盐城质检,中]如图,一条数轴上有从左至右5个点A,B,C,D,E,其中点A表示的数为4,点E表示的数为$4^{100}$,且$AB=BC=CD=DE$,则数$4^{99}$对应的点所在线段是 (
A.AB
B.BC
C.CD
D.DE
A
)A.AB
B.BC
C.CD
D.DE
答案
2.A 【解析】因为点 A 表示的数为4,点 E 表示的数为$4^{100}$,所以$AE=4^{100}-4$. 因为$AB=BC=CD=DE$,所以$AB=BC=CD=DE=\dfrac{1}{4}AE=4^{99}-1$,所以点 B 表示的数为$4+4^{99}-1=4^{99}+3$. 因为$4＜4^{99}＜4^{99}+3$,所以数$4^{99}$对应的点所在线段是AB. 故选 A.
3 [2025 江苏泰州期中，中]将$-0.5^{4},(-0.2)^{3},(-0.3)^{4}$用“＞”连接为
$(-0.3)^4 ＞ (-0.2)^3 ＞ -0.5^4$
。答案
3.$(-0.3)^4 ＞ (-0.2)^3 ＞ -0.5^4$ 【解析】因为$-0.5^4=-(\dfrac{1}{2})^4=-\dfrac{1}{16}$,$(-0.2)^3=(-\dfrac{1}{5})^3=-\dfrac{1}{125}$,$(-0.3)^4=(\dfrac{3}{10})^4=\dfrac{81}{10\ 000}$,$\dfrac{81}{10\ 000}＞0＞-\dfrac{1}{125}＞-\dfrac{1}{16}$,所以$(-0.3)^4 ＞ (-0.2)^3 ＞ -0.5^4$,故答案为$(-0.3)^4 ＞ (-0.2)^3 ＞ -0.5^4$.
4[2026江苏连云港质检,较难]【探索发现】
如图(1),将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分,部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半,部分②的面积是部分①面积的一半,部分③的面积是部分②面积的一半,依次类推.
(1)①阴影部分的面积是
②请根据①的结论计算$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^6}$.
【问题解决】如图(2),第1次分割,把正方形的面积三等分,部分①是其中的2份;第2次分割,把上次分割图中的1份的面积继续三等分,部分②是其中的2份;第3次分割,把上次分割图中的1份的面积继续三等分,部分③是其中的2份;…,根据以上信息解决问题:
(2)计算:$\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\dots+\frac{1}{3^n}$.
刷素养 →……………………走向重高
如图(1),将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分,部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半,部分②的面积是部分①面积的一半,部分③的面积是部分②面积的一半,依次类推.
(1)①阴影部分的面积是
$\dfrac{1}{64}$
;②请根据①的结论计算$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^6}$.
【问题解决】如图(2),第1次分割,把正方形的面积三等分,部分①是其中的2份;第2次分割,把上次分割图中的1份的面积继续三等分,部分②是其中的2份;第3次分割,把上次分割图中的1份的面积继续三等分,部分③是其中的2份;…,根据以上信息解决问题:
(2)计算:$\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\dots+\frac{1}{3^n}$.
刷素养 →……………………走向重高
答案
4.【解】(1)①观察题图(1)可知,部分①的面积为$\dfrac{1}{2}$,部分②的面积为$\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{4}$,部分③的面积为$\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}$,部分④的面积为$\dfrac{1}{2^4}=\dfrac{1}{16}$,部分⑤的面积为$\dfrac{1}{2^5}=\dfrac{1}{32}$,所以阴影部分的面积是$\dfrac{1}{2^6}=\dfrac{1}{64}$,故答案为$\dfrac{1}{64}$.
②观察题图(1)可知,$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dots+\dfrac{1}{2^6}=S_{①}+S_{②}+S_{③}+S_{④}+S_{⑤}+S_{⑥}=S_{正方形}-S_{阴影}=1-\dfrac{1}{64}=\dfrac{63}{64}$.
(2)设正方形的面积为1,第1次分割,把正方形的面积三等分,部分①的面积为$\dfrac{2}{3}$,剩余部分面积为$\dfrac{1}{3}$;第2次分割,把上次分割图中的1份的面积继续三等分,部分①和部分②的面积之和为$\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3^2}=\dfrac{8}{9}$,剩余部分面积为$\dfrac{1}{3^2}$;第3次分割,把上次分割图中的1份的面积继续三等分,部分①,部分②及部分③的面积之和为$\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3^2}+\dfrac{2}{3^3}=\dfrac{26}{27}$,剩余部分面积为$\dfrac{1}{3^3}$;…,则第$n$次分割,各部分的面积和为$\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3^2}+\dfrac{2}{3^3}+\dots+\dfrac{2}{3^n}=1-\dfrac{1}{3^n}$,两边同除以2,得$\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}+\dots+\dfrac{1}{3^n}=\dfrac{1}{2}(1-\dfrac{1}{3^n})$,所以$\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{27}+\dots+\dfrac{1}{3^n}=\dfrac{1}{2}(1-\dfrac{1}{3^n})$.
②观察题图(1)可知,$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dots+\dfrac{1}{2^6}=S_{①}+S_{②}+S_{③}+S_{④}+S_{⑤}+S_{⑥}=S_{正方形}-S_{阴影}=1-\dfrac{1}{64}=\dfrac{63}{64}$.
(2)设正方形的面积为1,第1次分割,把正方形的面积三等分,部分①的面积为$\dfrac{2}{3}$,剩余部分面积为$\dfrac{1}{3}$;第2次分割,把上次分割图中的1份的面积继续三等分,部分①和部分②的面积之和为$\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3^2}=\dfrac{8}{9}$,剩余部分面积为$\dfrac{1}{3^2}$;第3次分割,把上次分割图中的1份的面积继续三等分,部分①,部分②及部分③的面积之和为$\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3^2}+\dfrac{2}{3^3}=\dfrac{26}{27}$,剩余部分面积为$\dfrac{1}{3^3}$;…,则第$n$次分割,各部分的面积和为$\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3^2}+\dfrac{2}{3^3}+\dots+\dfrac{2}{3^n}=1-\dfrac{1}{3^n}$,两边同除以2,得$\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}+\dots+\dfrac{1}{3^n}=\dfrac{1}{2}(1-\dfrac{1}{3^n})$,所以$\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{27}+\dots+\dfrac{1}{3^n}=\dfrac{1}{2}(1-\dfrac{1}{3^n})$.
5 核心素养抽象能力 [2025山东青岛质检,较难]
【概念学习】
规定:若干个相同的有理数(均不等于0)的连除运算叫作“除方”.
例如:$2÷2÷2$,记作$2^{③}$,读作“2的圈3次方”;
$(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$,记作$(-3)^{④}$,读作“-3的圈4次方”.
一般地,把$\underbrace{a÷a÷a÷…÷a}_{n个a}(a≠0,n为大于等于2的整数)$记作$a^{ⓝ}$,读作“a的圈n次方”.
【初步探究】
(1)直接写出计算结果:$3^{③}=$
$(-\frac{1}{4})^{⑤}=$
(2)关于“除方”,下列说法错误的是
A.任何非零数的圈2次方都等于1
B.对于任何大于等于2的整数$m,1^{ⓜ}=1$
C.$8^{⑨}=9^{⑧}$
D.负数的圈奇数次方是负数,负数的圈偶数次方是正数
【深入思考】
我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,而有理数的“除方”运算也可以转化为乘方运算.例如:$2^{④}=2÷2÷2÷2=2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^{2}$.
(3)仿照上面的算式,将下列运算结果直接写成幂的形式:$(-5)^{⑥}=$
(4)将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式.
【概念学习】
规定:若干个相同的有理数(均不等于0)的连除运算叫作“除方”.
例如:$2÷2÷2$,记作$2^{③}$,读作“2的圈3次方”;
$(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$,记作$(-3)^{④}$,读作“-3的圈4次方”.
一般地,把$\underbrace{a÷a÷a÷…÷a}_{n个a}(a≠0,n为大于等于2的整数)$记作$a^{ⓝ}$,读作“a的圈n次方”.
【初步探究】
(1)直接写出计算结果:$3^{③}=$
$\dfrac{1}{3}$
;$(-\frac{1}{4})^{⑤}=$
-64
.(2)关于“除方”,下列说法错误的是
C
.A.任何非零数的圈2次方都等于1
B.对于任何大于等于2的整数$m,1^{ⓜ}=1$
C.$8^{⑨}=9^{⑧}$
D.负数的圈奇数次方是负数,负数的圈偶数次方是正数
【深入思考】
我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,而有理数的“除方”运算也可以转化为乘方运算.例如:$2^{④}=2÷2÷2÷2=2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^{2}$.
(3)仿照上面的算式,将下列运算结果直接写成幂的形式:$(-5)^{⑥}=$
$(-\dfrac{1}{5})^4$
, $(\frac{1}{2})^{⑧}=$$2^6$
.(4)将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式.
答案
5.【解】(1)$3^{③}=3÷3÷3=1÷3=\dfrac{1}{3}$,$(-\dfrac{1}{4})^{⑤}=(-\dfrac{1}{4})÷(-\dfrac{1}{4})÷(-\dfrac{1}{4})÷(-\dfrac{1}{4})÷(-\dfrac{1}{4})=-64$,故答案为$\dfrac{1}{3},-64$.
(2)A选项,$a÷a=1(a≠0)$,即任何非零数的圈2次方都等于1,故该选项正确;B选项,$1^{ⓜ}=\underbrace{1÷1÷1÷\dots÷1}_{m个1}=\underbrace{1×1×1×\dots×1}_{m个1}=1$,故该选项正确;C选项,$8^{⑨}=\underbrace{8÷8÷8÷\dots÷8}_{9个8}=8×\dfrac{1}{8}×\dfrac{1}{8}×\dots×\dfrac{1}{8}=(\dfrac{1}{8})^7$,$9^{⑧}=\underbrace{9÷9÷9÷\dots÷9}_{8个9}=9×\dfrac{1}{9}×\dfrac{1}{9}×\dots×\dfrac{1}{9}=(\dfrac{1}{9})^6$,所以$8^{⑨}≠9^{⑧}$,故该选项错误;D选项,负数的圈奇数次方是负数,负数的圈偶数次方是正数,故该选项正确,故选 C.
(3)$(-5)^{⑥}=(-5)÷(-5)÷(-5)÷(-5)÷(-5)÷(-5)=(-5)×(-\dfrac{1}{5})×(-\dfrac{1}{5})×(-\dfrac{1}{5})×(-\dfrac{1}{5})×(-\dfrac{1}{5})=(-\dfrac{1}{5})^4$,$(\dfrac{1}{2})^{⑧}=\dfrac{1}{2}÷\dfrac{1}{2}÷\dfrac{1}{2}÷\dfrac{1}{2}÷\dfrac{1}{2}÷\dfrac{1}{2}÷\dfrac{1}{2}÷\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}×2×2×2×2×2×2×2=2^6$,故答案为$(-\dfrac{1}{5})^4,2^6$.
(4)将一个非零有理数$a$的圈$n$次方写成幂的形式为$a^{ⓝ}=\underbrace{a÷a÷a÷\dots÷a}_{n个a}=a×\dfrac{1}{a}×\dfrac{1}{a}×\dots×\dfrac{1}{a}×\dfrac{1}{a}=(\dfrac{1}{a})^{n-2}$,即$a^{ⓝ}=(\dfrac{1}{a})^{n-2}$.
(2)A选项,$a÷a=1(a≠0)$,即任何非零数的圈2次方都等于1,故该选项正确;B选项,$1^{ⓜ}=\underbrace{1÷1÷1÷\dots÷1}_{m个1}=\underbrace{1×1×1×\dots×1}_{m个1}=1$,故该选项正确;C选项,$8^{⑨}=\underbrace{8÷8÷8÷\dots÷8}_{9个8}=8×\dfrac{1}{8}×\dfrac{1}{8}×\dots×\dfrac{1}{8}=(\dfrac{1}{8})^7$,$9^{⑧}=\underbrace{9÷9÷9÷\dots÷9}_{8个9}=9×\dfrac{1}{9}×\dfrac{1}{9}×\dots×\dfrac{1}{9}=(\dfrac{1}{9})^6$,所以$8^{⑨}≠9^{⑧}$,故该选项错误;D选项,负数的圈奇数次方是负数,负数的圈偶数次方是正数,故该选项正确,故选 C.
(3)$(-5)^{⑥}=(-5)÷(-5)÷(-5)÷(-5)÷(-5)÷(-5)=(-5)×(-\dfrac{1}{5})×(-\dfrac{1}{5})×(-\dfrac{1}{5})×(-\dfrac{1}{5})×(-\dfrac{1}{5})=(-\dfrac{1}{5})^4$,$(\dfrac{1}{2})^{⑧}=\dfrac{1}{2}÷\dfrac{1}{2}÷\dfrac{1}{2}÷\dfrac{1}{2}÷\dfrac{1}{2}÷\dfrac{1}{2}÷\dfrac{1}{2}÷\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}×2×2×2×2×2×2×2=2^6$,故答案为$(-\dfrac{1}{5})^4,2^6$.
(4)将一个非零有理数$a$的圈$n$次方写成幂的形式为$a^{ⓝ}=\underbrace{a÷a÷a÷\dots÷a}_{n个a}=a×\dfrac{1}{a}×\dfrac{1}{a}×\dots×\dfrac{1}{a}×\dfrac{1}{a}=(\dfrac{1}{a})^{n-2}$,即$a^{ⓝ}=(\dfrac{1}{a})^{n-2}$.
