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1. 已知 $a^{2}-a-5=0$, 求 $(3a^{2}-7a)-2(a^{2}-$$3a+2)$的值.
答案
因为 $a^{2}-a-5=0$,所以 $a^{2}-a=5$,
所以原式$=3a^{2}-7a-2a^{2}+6a-4=a^{2}-a-4=5-4=1.$
所以原式$=3a^{2}-7a-2a^{2}+6a-4=a^{2}-a-4=5-4=1.$
解析
【分析】
本题的解题思路是先对所求代数式进行去括号、合并同类项的化简操作，将其转化为含有$a^2 - a$的形式；再根据已知条件$a^2 - a -5=0$，求出$a^2 - a$的值；最后利用整体代入的方法，将$a^2 - a$的值代入化简后的代数式计算结果，避免求解$a$的具体值，简化计算过程。
【解析】
1. 化简所求代数式：
$\begin{aligned}&(3a^2 -7a) -2(a^2 -3a +2)\\=&3a^2 -7a -2a^2 +6a -4\\=&(3a^2 -2a^2) + (-7a +6a) -4\\=&a^2 -a -4\end{aligned}$
2. 由已知$a^2 -a -5=0$，可得$a^2 -a =5$。
3. 将$a^2 -a =5$代入化简后的式子：$5 -4 =1$。
【答案】
1
【知识点】
整式的加减、代数式求值、整体代入法
【点评】
本题是整式化简求值的基础题型，核心是运用整式加减运算（去括号、合并同类项）化简代数式，通过整体代入思想简化计算，无需求解未知数具体值，是初中代数常用解题技巧，学生掌握相关规则即可解答。
【难度系数】
0.6
本题的解题思路是先对所求代数式进行去括号、合并同类项的化简操作，将其转化为含有$a^2 - a$的形式；再根据已知条件$a^2 - a -5=0$，求出$a^2 - a$的值；最后利用整体代入的方法，将$a^2 - a$的值代入化简后的代数式计算结果，避免求解$a$的具体值，简化计算过程。
【解析】
1. 化简所求代数式：
$\begin{aligned}&(3a^2 -7a) -2(a^2 -3a +2)\\=&3a^2 -7a -2a^2 +6a -4\\=&(3a^2 -2a^2) + (-7a +6a) -4\\=&a^2 -a -4\end{aligned}$
2. 由已知$a^2 -a -5=0$，可得$a^2 -a =5$。
3. 将$a^2 -a =5$代入化简后的式子：$5 -4 =1$。
【答案】
1
【知识点】
整式的加减、代数式求值、整体代入法
【点评】
本题是整式化简求值的基础题型，核心是运用整式加减运算（去括号、合并同类项）化简代数式，通过整体代入思想简化计算，无需求解未知数具体值，是初中代数常用解题技巧，学生掌握相关规则即可解答。
【难度系数】
0.6
2. 计算：$-6(a - b + c) + 4(a + b - c) + 8(a - b + c) + 3(c - a - b).$
答案
原式$=-6(a-b+c)+4(a+b-c)+8(a-b+c)-3(a+b-c)=[-6(a-b+c)+8(a-b+c)]+[4(a+b-c)-3(a+b-c)]=2(a-b+c)+(a+b-c)=3a-b+c.$
解析
【分析】
这道题是整式的加减运算，解题思路是：先观察式子中的各项，发现存在相同的多项式整体（如$a - b + c$和$a + b - c$），先将$3(c - a - b)$变形为$-3(a + b - c)$，把式子转化为含相同整体的形式，再利用整体思想分组合并同类项，最后展开化简得到结果。
【解析】
解：先对原式中的$3(c - a - b)$变形，得：
原式$=-6(a - b + c) + 4(a + b - c) + 8(a - b + c) - 3(a + b - c)$
然后分组合并同类项，将含$(a - b + c)$的项和含$(a + b - c)$的项分别合并：
$=[-6(a - b + c) + 8(a - b + c)] + [4(a + b - c) - 3(a + b - c)]$
计算每组的系数：
$=2(a - b + c) + (a + b - c)$
再展开括号化简：
$=2a - 2b + 2c + a + b - c$
合并同类项得：
$=3a - b + c$
【答案】
$3a - b + c$
【知识点】
整式的加减、合并同类项、整体思想
【点评】
本题主要考查整式的加减运算，核心是运用整体思想简化计算，将相同的多项式当作整体合并，避免了繁琐的展开步骤，是整式加减中的基础题型，适合巩固同类项合并的知识点。
【难度系数】
0.6
这道题是整式的加减运算，解题思路是：先观察式子中的各项，发现存在相同的多项式整体（如$a - b + c$和$a + b - c$），先将$3(c - a - b)$变形为$-3(a + b - c)$，把式子转化为含相同整体的形式，再利用整体思想分组合并同类项，最后展开化简得到结果。
【解析】
解：先对原式中的$3(c - a - b)$变形，得：
原式$=-6(a - b + c) + 4(a + b - c) + 8(a - b + c) - 3(a + b - c)$
然后分组合并同类项，将含$(a - b + c)$的项和含$(a + b - c)$的项分别合并：
$=[-6(a - b + c) + 8(a - b + c)] + [4(a + b - c) - 3(a + b - c)]$
计算每组的系数：
$=2(a - b + c) + (a + b - c)$
再展开括号化简：
$=2a - 2b + 2c + a + b - c$
合并同类项得：
$=3a - b + c$
【答案】
$3a - b + c$
【知识点】
整式的加减、合并同类项、整体思想
【点评】
本题主要考查整式的加减运算，核心是运用整体思想简化计算，将相同的多项式当作整体合并，避免了繁琐的展开步骤，是整式加减中的基础题型，适合巩固同类项合并的知识点。
【难度系数】
0.6
3. 已知 $3a^{2}-3ab=33,3ab-3b^{2}=-21$, 求代数式 $a^{2}-b^{2}$ 和 $a^{2}-2ab+b^{2}$ 的值.
答案
因为$(3a^{2}-3ab)+(3ab-3b^{2})=3(a^{2}-b^{2})=33+(-21)=12$,所以$a^{2}-b^{2}=4.$
因为$(3a^{2}-3ab)-(3ab-3b^{2})=3(a^{2}-2ab+b^{2})=33-(-21)=54$,
所以$a^{2}-2ab+b^{2}=18.$
因为$(3a^{2}-3ab)-(3ab-3b^{2})=3(a^{2}-2ab+b^{2})=33-(-21)=54$,
所以$a^{2}-2ab+b^{2}=18.$
解析
【分析】
本题要求两个代数式的值，需观察已知等式与所求代数式的结构关系：对于$a^2 - b^2$，可将已知两式相加抵消中间项，得到$3(a^2 - b^2)$，进而求出结果；对于$a^2 - 2ab + b^2$，可将已知两式相减整理，得到$3(a^2 - 2ab + b^2)$，核心是利用整式加减和整体思想简化计算。
【解析】
1. 计算$a^2 - b^2$：
已知$3a^2 - 3ab = 33$，$3ab - 3b^2 = -21$，
两式相加得：$(3a^2 - 3ab) + (3ab - 3b^2) = 3a^2 - 3b^2 = 3(a^2 - b^2)$，
右边计算：$33 + (-21) = 12$，
因此$3(a^2 - b^2) = 12$，解得$a^2 - b^2 = 4$。
2. 计算$a^2 - 2ab + b^2$：
两式相减得：$(3a^2 - 3ab) - (3ab - 3b^2) = 3a^2 - 6ab + 3b^2 = 3(a^2 - 2ab + b^2)$，
右边计算：$33 - (-21) = 54$，
因此$3(a^2 - 2ab + b^2) = 54$，解得$a^2 - 2ab + b^2 = 18$。
【答案】
$a^2 - b^2 = 4$，$a^2 - 2ab + b^2 = 18$
【知识点】
整式的加减运算，代数式求值，整体思想
【点评】
本题为基础题型，考查整式加减与整体代入思想，解题关键是通过观察式子结构变形简化计算，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题要求两个代数式的值，需观察已知等式与所求代数式的结构关系：对于$a^2 - b^2$，可将已知两式相加抵消中间项，得到$3(a^2 - b^2)$，进而求出结果；对于$a^2 - 2ab + b^2$，可将已知两式相减整理，得到$3(a^2 - 2ab + b^2)$，核心是利用整式加减和整体思想简化计算。
【解析】
1. 计算$a^2 - b^2$：
已知$3a^2 - 3ab = 33$，$3ab - 3b^2 = -21$，
两式相加得：$(3a^2 - 3ab) + (3ab - 3b^2) = 3a^2 - 3b^2 = 3(a^2 - b^2)$，
右边计算：$33 + (-21) = 12$，
因此$3(a^2 - b^2) = 12$，解得$a^2 - b^2 = 4$。
2. 计算$a^2 - 2ab + b^2$：
两式相减得：$(3a^2 - 3ab) - (3ab - 3b^2) = 3a^2 - 6ab + 3b^2 = 3(a^2 - 2ab + b^2)$，
右边计算：$33 - (-21) = 54$，
因此$3(a^2 - 2ab + b^2) = 54$，解得$a^2 - 2ab + b^2 = 18$。
【答案】
$a^2 - b^2 = 4$，$a^2 - 2ab + b^2 = 18$
【知识点】
整式的加减运算，代数式求值，整体思想
【点评】
本题为基础题型，考查整式加减与整体代入思想，解题关键是通过观察式子结构变形简化计算，难度适中。
【难度系数】
0.6
4. 整体思想 [阅读材料]我们知道 $4a+3a-a=6a$, 类似地, 我们把 $x+y$ 看成一个整体, 则
$4(x+y)+(x+y)-2(x+y)=(4+1-2)·$
$(x+y)=3(x+y)$, “整体思想”是中学教学课题中的一种重要的思想方法, 它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.
(1)[尝试应用]把 $a-b$ 看成一个整体, 合并$3(a-b)^2-4(a-b)^2+5(a-b)^2=$
(2)已知 $x^2-2y=1$, 求 $3x^2-6y-5$ 的值;
(3)[拓展探索]已知 $a-2b=2,2b-c=-5,c-d=9$, 求 $(a-c)+(2b-d)-(2b-c)$ 的值.
$4(x+y)+(x+y)-2(x+y)=(4+1-2)·$
$(x+y)=3(x+y)$, “整体思想”是中学教学课题中的一种重要的思想方法, 它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.
(1)[尝试应用]把 $a-b$ 看成一个整体, 合并$3(a-b)^2-4(a-b)^2+5(a-b)^2=$
4(a-b)²
;(2)已知 $x^2-2y=1$, 求 $3x^2-6y-5$ 的值;
(3)[拓展探索]已知 $a-2b=2,2b-c=-5,c-d=9$, 求 $(a-c)+(2b-d)-(2b-c)$ 的值.
答案
(1)$4(a-b)^2$
(2)$3x^{2}-6y-5=3(x^{2}-2y)-5$,
因为$x^{2}-2y=1$,所以原式$=3-5=-2.$
(3)$(a-c)+(2b-d)-(2b-c)=a-c+2b-d-2b+c=a-d$,
因为$a-d=(a-2b)+(c-d)+(2b-c)=2+9+(-5)=6$,
所以$(a-c)+(2b-d)-(2b-c)=6.$
(2)$3x^{2}-6y-5=3(x^{2}-2y)-5$,
因为$x^{2}-2y=1$,所以原式$=3-5=-2.$
(3)$(a-c)+(2b-d)-(2b-c)=a-c+2b-d-2b+c=a-d$,
因为$a-d=(a-2b)+(c-d)+(2b-c)=2+9+(-5)=6$,
所以$(a-c)+(2b-d)-(2b-c)=6.$
解析
【分析】
本题运用整体思想解决整式的化简与求值问题，核心思路是将某个式子看作一个整体，通过合并同类项、代数式变形等方式简化计算：(1)把$(a-b)^2$当作整体合并同类项；(2)将$x^2-2y$作为整体对所求代数式变形后代入；(3)先化简所求式子，再转化为已知条件中式子的和，用整体代入法求值。
【解析】
(1) 把$(a-b)^2$看作一个整体，合并同类项：
$3(a-b)^2 -4(a-b)^2 +5(a-b)^2=(3-4+5)(a-b)^2=4(a-b)^2$；
(2) 对所求代数式提取公因式变形：
$3x^2-6y-5=3(x^2-2y)-5$，
已知$x^2-2y=1$，代入得：$3×1 -5=-2$；
(3) 先化简所求式子：
$(a-c)+(2b-d)-(2b-c)=a-c+2b-d-2b+c=a-d$，
再将$a-d$转化为已知式子的和：
$a-d=(a-2b)+(2b-c)+(c-d)$，
代入已知值：$2+(-5)+9=6$，故原式的值为6；
【答案】
(1)$4(a-b)^2$；(2)$-2$；(3)$6$
【知识点】
整体思想、整式的加减、代数式求值
【点评】
本题围绕整体思想展开，考查整式合并同类项、化简及代数式求值，要求学生灵活运用整体思想简化计算，是初中数学重要的思想方法应用题型，注重考查学生的观察与变形能力。
【难度系数】
0.6
本题运用整体思想解决整式的化简与求值问题，核心思路是将某个式子看作一个整体，通过合并同类项、代数式变形等方式简化计算：(1)把$(a-b)^2$当作整体合并同类项；(2)将$x^2-2y$作为整体对所求代数式变形后代入；(3)先化简所求式子，再转化为已知条件中式子的和，用整体代入法求值。
【解析】
(1) 把$(a-b)^2$看作一个整体，合并同类项：
$3(a-b)^2 -4(a-b)^2 +5(a-b)^2=(3-4+5)(a-b)^2=4(a-b)^2$；
(2) 对所求代数式提取公因式变形：
$3x^2-6y-5=3(x^2-2y)-5$，
已知$x^2-2y=1$，代入得：$3×1 -5=-2$；
(3) 先化简所求式子：
$(a-c)+(2b-d)-(2b-c)=a-c+2b-d-2b+c=a-d$，
再将$a-d$转化为已知式子的和：
$a-d=(a-2b)+(2b-c)+(c-d)$，
代入已知值：$2+(-5)+9=6$，故原式的值为6；
【答案】
(1)$4(a-b)^2$；(2)$-2$；(3)$6$
【知识点】
整体思想、整式的加减、代数式求值
【点评】
本题围绕整体思想展开，考查整式合并同类项、化简及代数式求值，要求学生灵活运用整体思想简化计算，是初中数学重要的思想方法应用题型，注重考查学生的观察与变形能力。
【难度系数】
0.6
5. 有一道题目是求一个已知多项式减去 $3x^{2}-$ $6x+10$ 所得的差,粗心的小华误将求差当成了求和计算,结果得到 $x^{2}-2x+4$,试问正确的结果应该是多少？
精题详解
精题详解
答案
设已知多项式为A.
由题意,得$A+(3x^{2}-6x+10)=x^{2}-2x+4$,
所以$A=(x^{2}-2x+4)-(3x^{2}-6x+10)=-2x^{2}+4x-6.$
故正确的结果为$(-2x^{2}+4x-6)-(3x^{2}-6x+10)=-5x^{2}+10x-16.$
由题意,得$A+(3x^{2}-6x+10)=x^{2}-2x+4$,
所以$A=(x^{2}-2x+4)-(3x^{2}-6x+10)=-2x^{2}+4x-6.$
故正确的结果为$(-2x^{2}+4x-6)-(3x^{2}-6x+10)=-5x^{2}+10x-16.$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要求出未知的多项式A。小华误将“求差”当成“求和”，即错误计算为A加上给定多项式得到结果，因此先通过错误的和求出A，再用A减去给定多项式就能得到正确的差。
【解析】
设已知多项式为A。
根据题意，小华误算的式子为：$A + (3x^2 - 6x + 10) = x^2 - 2x + 4$，
所以$A = (x^2 - 2x + 4) - (3x^2 - 6x + 10)$，
计算得：$A = x^2 - 2x + 4 - 3x^2 + 6x - 10 = -2x^2 + 4x - 6$。
正确结果为A减去$(3x^2 - 6x + 10)$，即：
$(-2x^2 + 4x - 6) - (3x^2 - 6x + 10)$
$= -2x^2 + 4x - 6 - 3x^2 + 6x - 10$
$= -5x^2 + 10x - 16$。
【答案】
$-5x^2 + 10x - 16$
【知识点】
整式的加减，多项式运算
【点评】
本题考查整式加减的实际应用，核心是先根据错误运算结果求出未知多项式，再进行正确的差运算，需注意去括号时的符号变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需要求出未知的多项式A。小华误将“求差”当成“求和”，即错误计算为A加上给定多项式得到结果，因此先通过错误的和求出A，再用A减去给定多项式就能得到正确的差。
【解析】
设已知多项式为A。
根据题意，小华误算的式子为：$A + (3x^2 - 6x + 10) = x^2 - 2x + 4$，
所以$A = (x^2 - 2x + 4) - (3x^2 - 6x + 10)$，
计算得：$A = x^2 - 2x + 4 - 3x^2 + 6x - 10 = -2x^2 + 4x - 6$。
正确结果为A减去$(3x^2 - 6x + 10)$，即：
$(-2x^2 + 4x - 6) - (3x^2 - 6x + 10)$
$= -2x^2 + 4x - 6 - 3x^2 + 6x - 10$
$= -5x^2 + 10x - 16$。
【答案】
$-5x^2 + 10x - 16$
【知识点】
整式的加减，多项式运算
【点评】
本题考查整式加减的实际应用，核心是先根据错误运算结果求出未知多项式，再进行正确的差运算，需注意去括号时的符号变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.6
