1 [中]学校一长方形草地中需修建一条等宽的小路，为了达到“曲径通幽”的效果，有下列四种设计方案，其中有一种方案修建小路后剩余草坪面积与其他三种方案不等，它是()
A.
B.
C.
D.
]

1. C 【解析】A、B、D 选项方案中剩余草坪面积都是(长方形的长 - 小路的宽) $ × $ 长方形的宽，而 C 选项方案中小路的面积比其他三种方案的大，故选 C.

2 [2025 广东中山质检，中]如图，长方形 ABCD 中，AB = 7。第 1 次平移：将长方形 ABCD 沿 AB 的方向向右平移 5 个单位，得到长方形 A₁B₁C₁D₁；第 2 次平移：将长方形 A₁B₁C₁D₁ 沿 A₁B₁ 的方向向右平移 5 个单位，得到长方形 A₂B₂C₂D₂；…；第 n 次平移：将长方形$ A_{n - 1}B_{n - 1}C_{n - 1}D_{n - 1} $沿$ A_{n - 1}B_{n - 1} $的方向向右平移 5 个单位，得到长方形 A_nB_nC_nD_n(n ＞ 2)，若 AB_n 的长度为 2 022，则 n 的值为()


A.403
B.404
C.405
D.406

2. A 【解析】因为 $ AB = 7 $，第 1 次平移是将长方形 $ ABCD $ 沿 $ AB $ 的方向向右平移 5 个单位，得到长方形 $ A_1B_1C_1D_1 $，第 2 次平移是将长方形 $ A_1B_1C_1D_1 $ 沿 $ A_1B_1 $ 的方向向右平移 5 个单位，得到长方形 $ A_2B_2C_2D_2 $，$ ··· $，所以 $ AA_1 = A_1A_2 = 5 $，$ A_2B_2 = A_1B_1 = AB = 7 $，所以 $ A_2B_1 = A_1B_1 - A_1A_2 = 7 - 5 = 2 $，所以 $ AB_1 = AA_1 + A_1A_2 + A_2B_1 = 5 + 5 + 2 = 12 = 5 × 2 + 2 $，所以 $ AB_2 = 5 + 5 + 7 = 17 = 5 × 3 + 2 $，$ ··· $，所以 $ AB_n = 5(n + 1) + 2 $. 令 $ 5(n + 1) + 2 = 2022 $，解得 $ n = 403 $. 故选 A.

3 [2025 江苏连云港调研，中]将图(1)中周长为 24 的长方形纸片剪成 1 号、2 号、3 号、4 号四个正方形和 5 号长方形，并将它们按图(2)的方式放入周长为 36 的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为。

]

3. 30 【解析】设 1 号正方形的边长为 $ x $，2 号正方形的边长为 $ y $，则 3 号正方形的边长为 $ x + y $，4 号正方形的边长为 $ 2x + y $，5 号长方形的长为 $ 3x + y $，宽为 $ y - x $. 由题图(1)中长方形的周长为 24 可得 $ x + y + y + y + 3x + y = 12 $，所以 $ x + y = 3 $.

如图，过点 $ A $ 作 $ AD ⊥ DC $ 于点 $ D $. 因为题图(2)中长方形的周长为 36，所以 $ AB + 2(x + y) + 2x + y + y - x = 18 $，所以 $ AB = 18 - 3x - 4y $. 根据平移的性质得，没有覆盖的阴影部分的周长为四边形 $ ABCD $ 的周长，所以 $ 2(AB + AD) = 2(18 - 3x - 4y + x + y + 2x + y - x) = 2(18 - x - y) = 2 × (18 - 3) = 30 $. 故答案为 30.

4 [2025 湖北武汉期中，中]如图，在三角形 ABC 中，∠A = 90°，AB = c，AC = b，BC = a，将三角形 ABC 沿某一个方向平移 4 个单位，记三角形 ABC 扫过的面积为 S，则下列说法正确的是。(填写序号)
①线段 AB 的长度是点 A 到 BC 的距离；
②a ＞ c 的依据是垂线段最短；③点 A 到线段 BC 的距离为 $\frac{bc}{a}$；④S 的最大值为 $4a + \frac{1}{2}bc$。

4. ②③④ 【解析】因为点 $ A $ 到 $ BC $ 的距离是点 $ A $ 到 $ BC $ 的垂线段的长度，所以线段 $ AB $ 的长度不是点 $ A $ 到 $ BC $ 的距离，所以①不符合题意；根据垂线段最短可知，$ a ＞ c $，所以②符合题意；设点 $ A $ 到线段 $ BC $ 的距离为 $ h $，则 $ S_{△ ABC} = \frac{1}{2}bc = \frac{1}{2}ah $，所以 $ h = \frac{bc}{a} $，所以③符合题意；在三角形 $ ABC $ 中，$ ∠ BAC = 90^{\circ} $，$ AB = c $，$ AC = b $，$ BC = a $，所以 $ a ＞ b $，$ a ＞ c $，所以当三角形 $ ABC $ 沿垂直于 $ BC $ 的方向平移 4 个单位得到三角形 $ A'B'C' $ 时(如图)，

三角形 $ ABC $ 扫过的面积 $ S $ 最大，此时 $ S = S_{△ ABC} + S_{\mathrm{长方形} BCC'B'} = \frac{1}{2}bc + 4a $，所以④符合题意. 故答案为②③④.

5 [2024 江苏泰州期末，较难]如图，在锐角△ABC 中，∠BAC = 60°，将△ABC 沿着射线 BC 的方向平移得到△A'B'C'(平移后点 A，B，C 的对应点分别是点 A'，B'，C')，连接 CA'，若在整个平移过程中，∠ACA'和∠CA'B'的度数之间存在 2 倍关系，则∠ACA'的度数为。

5. $ 20^{\circ} $ 或 $ 40^{\circ} $ 或 $ 120^{\circ} $ 【解析】第一种情况：如图(1)，当点 $ B' $ 在边 $ BC $ 上时，过点 $ C $ 作 $ CG // AB $.

因为 $ △ A'B'C' $ 由 $ △ ABC $ 平移得到，所以 $ AB // A'B' $. 因为 $ CG // AB $，$ AB // A'B' $，所以 $ CG // AB // A'B' $. ①当 $ ∠ ACA' = 2 ∠ CA'B' $ 时，设 $ ∠ CA'B' = x $，则 $ ∠ ACA' = 2x $. 因为 $ CG // AB // A'B' $，所以 $ ∠ ACG = ∠ BAC = 60^{\circ} $，$ ∠ A'CG = ∠ CA'B' = x $. 因为 $ ∠ ACG = ∠ ACA' + ∠ A'CG $，所以 $ 2x + x = 60^{\circ} $，解得 $ x = 20^{\circ} $，所以 $ ∠ ACA' = 2x = 40^{\circ} $. ②当 $ ∠ CA'B' = 2 ∠ ACA' $ 时，设 $ ∠ CA'B' = x $，则 $ ∠ ACA' = \frac{1}{2}x $. 同理①可得 $ ∠ ACG = 60^{\circ} $，$ ∠ A'CG = ∠ CA'B' = x $. 因为 $ ∠ ACG = ∠ ACA' + ∠ A'CG $，所以 $ \frac{1}{2}x + x = 60^{\circ} $，解得 $ x = 40^{\circ} $，所以 $ ∠ ACA' = \frac{1}{2}x = 20^{\circ} $.
第二种情况：如图(2)，当点 $ B' $ 在边 $ BC $ 的延长线上时，过点 $ C $ 作 $ CG // AB $.

因为 $ △ A'B'C' $ 由 $ △ ABC $ 平移得到，所以 $ AB // A'B' $. 因为 $ CG // AB $，$ AB // A'B' $，所以 $ CG // AB // A'B' $. ①当 $ ∠ ACA' = 2 ∠ CA'B' $ 时，设 $ ∠ CA'B' = x $，则 $ ∠ ACA' = 2x $. 因为 $ CG // AB // A'B' $，所以 $ ∠ ACG = ∠ BAC = 60^{\circ} $，$ ∠ A'CG = ∠ CA'B' = x $. 因为 $ ∠ ACA' = ∠ ACG + ∠ A'CG $，所以 $ 2x = 60^{\circ} + x $，解得 $ x = 60^{\circ} $，所以 $ ∠ ACA' = 2x = 120^{\circ} $. ②当 $ ∠ CA'B' = 2 ∠ ACA' $ 时，分析图形可知，$ ∠ CA'B' ＜ ∠ ACA' $，故不存在这种情况. 综上所述，$ ∠ ACA' $ 的度数为 $ 20^{\circ} $ 或 $ 40^{\circ} $ 或 $ 120^{\circ} $.

6 思想方法 数形结合 [2025 江苏淮安期中，较难]如图，在△ABC 中，∠ACB = 70°，△ABC 的周长为 12 cm，边 AB 在直线 l 上，将△ABC 沿着直线 l 平移得到△DEF(A，B，C 的对应点分别为 D，E，F)。
(1)如图(1)，连接 CF，若平移距离为 2 cm，则阴影部分的周长为 cm；
(2)如图(2)，当 BC⊥BF 时，求∠BFD 的度数；
(3)在平移过程中，当∠BFD = 3∠CBF 时，∠BFD 的度数为。


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6. 【解】(1) 依题意得，$ CF = AD = 2 \, \mathrm{cm} $，$ DF = AC $. 因为 $ △ ABC $ 的周长为 $ 12 \, \mathrm{cm} $，所以 $ AC + AB + BC = 12 \, \mathrm{cm} $，所以阴影部分的周长为 $ CF + DB + DF + BC = (AD + DB) + AC + BC = AB + AC + BC = 12 \, \mathrm{cm} $，故答案为 12.
(2) 因为 $ BC ⊥ BF $，所以 $ ∠ CBF = 90^{\circ} $. 依题意得 $ ∠ EFD = ∠ C = 70^{\circ} $，$ BC // EF $，所以 $ ∠ EFB = ∠ CBF = 90^{\circ} $，所以 $ ∠ BFD = ∠ BFE - ∠ DFE = 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ} $.
(3) 设 $ ∠ BFD = x $. 因为 $ ∠ BFD = 3 ∠ CBF $，所以 $ ∠ CBF = \frac{1}{3}x $. 当 $ △ ABC $ 沿直线 $ l $ 向右平移时，如图(1).

依题意得 $ BC // EF $，$ ∠ DFE = ∠ C = 70^{\circ} $，所以 $ ∠ CBF = ∠ EFB = ∠ DFE - ∠ DFB = 70^{\circ} - x $，所以 $ 70^{\circ} - x = \frac{1}{3}x $，解得 $ x = 52.5^{\circ} $，即 $ ∠ BFD = 52.5^{\circ} $. 当 $ △ ABC $ 沿直线 $ l $ 向左平移时，如图(2).

依题意得 $ BC // EF $，$ ∠ DFE = ∠ C = 70^{\circ} $，所以 $ ∠ EFB = ∠ CBF = \frac{1}{3}x $，所以 $ ∠ DFE = ∠ BFD - ∠ EFB = x - \frac{1}{3}x = 70^{\circ} $，解得 $ x = 105^{\circ} $，即 $ ∠ BFD = 105^{\circ} $. 故答案为 $ 52.5^{\circ} $ 或 $ 105^{\circ} $.