19.已知正方形ABCD的边长是7,点E为正方形内一动点。
(1)当点E在对角线BD上时。
①如图1,连结AE,CE,求证:AE=CE;
②若AE=5,点F是正方形ABCD边上一点,当AE=EF时,求线段DF的长;
(2)如图2,若BE=7,点P是线段BE上一点,当BP=5时,求DE+CP的最小值。

(1)①因为四边形ABCD是正方形，所以$AB=BC$，$∠ ABD=∠ CAD=45°$。因为$BE=BE$，所以$△ ABE ≌ △ CBE(\mathrm{SAS})$，所以$AE=CE$；②如图1，作$EG⊥ AD$于点G，作$EH⊥ AB$于点H。因为四边形ABCD是正方形，所以$∠ EDC=45°$，所以$∠ DEG=∠ EDG=45°$，所以$DG=EG$。在$\mathrm{Rt}△ AEG$中，$AG=AD-DG=7-EG$。因为$EG^2+AG^2=AE^2$，所以$EG^2+(7-EG)^2=5^2$，所以$EG=3$或4。当$EG=3$时，$AG=4$。因为$AE=EF$，所以$AF=2AG=8＞7$，故舍去。当点F在AB上时，$AF=2AH=2EG=6$，所以$DF=\sqrt{AF^2+AD^2}=\sqrt{6^2+7^2}=\sqrt{85}$。当点F在CD上时，由(1)知，点F在C点处，此时$DF=7$。当点F在BC上时，此时$CF=2CW=2DG=6$，$DF=\sqrt{85}$，当$EG=4$时，点F在AD上时，$AG=3$，所以$AF=2AG=6$，$DF=AD-AF=1$，点F在AB上时，$AF=2EG=8＞7$，故舍去；当点F在CD上时，点F仍在点C处，$DF=7$。当点F在BC上时，$AF=2EG=8＞7$，故舍去。综上所述，$DF=1$或$\sqrt{85}$或7；
(2)如图2，在BC上取一点Q，使$BQ=BP=5$，连结DQ。因为$BC=BE=7$，$∠ EBQ=∠ CBP$，所以$△ EBQ ≌ △ CBP(\mathrm{SAS})$，所以$EQ=CP$，所以$DE+CP=DE+EQ≥ DQ$。当D，E，Q共线时，$DE+EQ$最小，最小值是DQ，在$\mathrm{Rt}△ DCQ$中，$CD=7$，$CQ=BC-BQ=7-5=2$，所以$DQ=\sqrt{7^2+2^2}=\sqrt{53}$，所以$DE+CP$的最小值为$\sqrt{53}$。

【分析】
本题为正方形的综合题，分步骤拆解思路：
(1)①要证AE=CE，利用正方形的边相等、对角线平分内角的性质，结合公共边，通过SAS证全等即可；
(1)②已知AE=5，E在正方形对角线BD上，作辅助线构造等腰直角三角形，用勾股定理求出E到边的距离，再分情况讨论点F在正方形各边上时AE=EF的条件，计算DF并舍去不符合边长的情况；
(2)求DE+CP的最小值，通过构造全等三角形将CP转化为EQ，利用两点之间线段最短，将问题转化为求线段DQ的长度，计算得最小值。
【解析】
(1)①
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，
又
∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE=CE；
②如图1，作EG⊥AD于G，EH⊥AB于H，
∵四边形ABCD是正方形，BD为对角线，
∴∠EDG=45°，△DEG为等腰直角三角形，故DG=EG，
设EG=x，则AG=7-x，
在Rt△AEG中，由勾股定理得：
x²+(7-x)²=5²，
整理得x²-7x+12=0，解得x=3或x=4；
当EG=3时，AG=4：
若F在AB上，AF=2EG=6，DF=√(6²+7²)=√85；
若F在BC上，CF=2DG=6，DF=√(7²+6²)=√85；
若F在AD上，AF=8＞7，舍去；
当EG=4时，AG=3：
若F在AD上，AF=6，DF=7-6=1；
若F在AB上，AF=8＞7，舍去；
若F在CD上，F与C重合，DF=7；
综上，DF的长为1或√85或7；
(2)如图2，在BC上取点Q，使BQ=BP=5，连接DQ，
∵BE=BC=7，∠EBQ=∠CBP，BQ=BP=5，
∴△EBQ≌△CBP（SAS），故EQ=CP，
∴DE+CP=DE+EQ，当D、E、Q共线时，DE+EQ最小，最小值为DQ，
在Rt△DCQ中，CD=7，CQ=7-5=2，
∴DQ=√(7²+2²)=√53，即DE+CP的最小值为√53；
【答案】
(1)①证明见解析；②DF的长为1或√85或7；
(2)DE+CP的最小值为√53；

【知识点】正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、最短路径问题
【点评】本题综合考查正方形的性质、全等三角形、勾股定理及最短路径问题，需掌握转化思想和分类讨论方法，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】0.5