6.如图，在$□ ABCD$中，连接BD，E为边AD的中点，连接BE并延长，交CD的延长线于点F，连接AF，$∠ BDF=90°$。
(1)求证：四边形ABDF是矩形；
(2)若$AD=5$，$DF=3$，求四边形ABCF的面积S。

(1)证明:
∵四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴$BA// CD$。
∴$∠BAE=∠FDE$。
∵$E$ 是边 $AD$ 的中点，
∴$AE=DE$。
在$△BEA$ 和$△FED$ 中，
∵$∠BAE=∠FDE$，$AE=DE$，
$∠BEA=∠FED$，
∴$△BEA≌△FED(\mathrm{ASA})$。
∴$EF=EB$。
∴四边形 $ABDF$ 是平行四边形。
∵$∠BDF=90°$，
∴四边形 $ABDF$ 是矩形。
(2)解:由(1)得四边形 $ABDF$ 是矩形，
∴$∠AFD=90°$，$AB=DF=3$，$AF=BD$。
∴$AF=\sqrt{AD^2-DF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
∴$S_{\mathrm{矩形}ABDF}=DF·AF=3×4=12$，$BD=AF=4$。
∵四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴$CD=AB=3$。
∵$∠BDC=∠BDF=90°$，
∴$S_{△BCD}=\frac{1}{2}BD·CD=\frac{1}{2}×4×3=6$。
∴四边形 $ABCF$ 的面积 $S=S_{\mathrm{矩形}ABDF}+S_{△BCD}=12+6=18$。

7. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°$,通过尺规作图得到的直线 $MN$ 分别交 $AB$,$AC$ 于点 $D$,$E$,连接 $CD$。若 $CE=\dfrac{1}{3}AE=1$,则 $CD=$ 。

7. $\sqrt{6}$

8.如图,在正方形ABCD中,点E在CD上,连接AE,BE,F为BE的中点,连接CF。若$CF=\frac{\sqrt{29}}{2}$,$\frac{DE}{EC}=\frac{3}{2}$,则AE的长为。

8. $\sqrt{34}$

9. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点。如图，正方形EFGH与正方形OABC的顶点均为整点。若只将正方形EFGH平移，使其内部（不含边界）有且只有A，B，C三个整点，则平移后点E的对应点坐标为（）。

A.$( \dfrac{7}{5}, \dfrac{11}{5} )$
B.$( \dfrac{8}{5}, \dfrac{23}{10} )$
C.$( \dfrac{3}{2}, 2 )$
D.$( \dfrac{3}{2}, \dfrac{9}{4} )$

9. A

10.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=40°，连接AC，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是。

10. 80°或10° 解析:分两种情况讨论。
①以点 $A$ 为圆心，$AC$ 的长为半径作弧，交射线 $AD$ 于点 $E$，连接 $CE$，如图所示。
易得$∠DAC=∠BAC$。
∵$∠DAB=40°$，
∴$∠DAC=20°$。
∵$AC=AE$，
∴$∠AEC=(180°-20°)÷2=80°$。
②以点 $A$ 为圆心，$AC$ 的长为半径作弧，交射线 $DA$ 于点 $E'$，连接 $CE'$，如图所示。
∵$AE'=AC$，$∠DAC=20°$，
∴$∠AE'C=∠ACE'=10°$。
综上所述，$∠AEC$ 的度数是 $80°$ 或 $10°$。

11.在矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN=AB=1。当以点D,M,N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为。

11. 2或$1+\sqrt{2}$ 解析:以点 $D,M,N$ 为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况讨论。

①如图①，当$∠MND=90°$时。
∵四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴$∠A=90°$，
∴$MN// AB$。
∵$M$ 为对角线 $BD$ 的中点，
∴易得 $AN=DN$。
∵$AN=AB=1$，
∴$AD=2AN=2$。
②如图②，连接 $BN$，当$∠NMD=90°$时。
∵$M$ 为对角线 $BD$ 的中点，
∴$BM=DM$，
∴$MN$ 垂直平分 $BD$，
∴$BN=DN$。
∵$∠A=90°$，$AB=AN=1$，
∴$BN=\sqrt{2}$，
∴$AD=AN+DN=1+\sqrt{2}$。
综上所述，$AD$ 的长为 $2$ 或 $1+\sqrt{2}$。