6. （2025 潍坊）如图，在平面直角坐标系中，二次函数$y = ax^{2} + bx(a ＜ 0)$与正比例函数$y = kx$的图象都经过点$A(3, 3)$，点$P$为二次函数图象上点$O$与点$A$之间的一点，过点$P$作$x$轴的垂线，交$OA$于点$C$，交$x$轴于点$D$。
（1）若点$A$为该二次函数图象的顶点，
①求二次函数的表达式；
②求线段$PC$长度的最大值。
（2）若该二次函数图象与$x$轴的一交点为$B(m, 0)$，且$m ＞ 4$，求$a$的取值范围。

（1）①$y = -\frac{1}{3}x^{2} + 2x$；②$\frac{3}{4}$（2）$-1 \lt a \lt 0$

（1）①由题意，点$A(3,3)$为二次函数的顶点，二次函数的表达式可以写成顶点式：
$y = a(x - 3)^{2} + 3$，
由于点$O(0,0)$在二次函数上，代入得：
$0 = a(0 - 3)^{2} + 3$，
$0 = 9a + 3$，
解得：
$a = -\frac{1}{3}$，
因此，二次函数的表达式为：
$y = -\frac{1}{3}(x - 3)^{2} + 3$，
化简得：
$y = -\frac{1}{3}x^{2} + 2x$。
②设点$P$的横坐标为$t$，其中$0 \lt t \lt 3$，则点$P$的坐标为$(t, -\frac{1}{3}t^{2} + 2t)$。
由于$PD$垂直于$x$轴，所以点$C$的横坐标也为$t$。
又因为点$C$在直线$OA$上，且$OA$的方程为$y = x$，所以点$C$的坐标为$(t, t)$。
因此，线段$PC$的长度为：
$PC = |(-\frac{1}{3}t^{2} + 2t) - t|$
$ = |-\frac{1}{3}t^{2} + t|$
$ = \frac{1}{3}|-t^{2} + 3t|$
$ = \frac{1}{3}|-(t - \frac{3}{2})^{2} + \frac{9}{4}|$
由于二次项系数为负，这是一个开口向下的抛物线，因此当$t = \frac{3}{2}$时，$PC$取得最大值，即：
$PC_{\mathrm{max}} = \frac{1}{3} × \frac{9}{4} = \frac{3}{4}$。
（2）由于二次函数$y = ax^{2} + bx$经过点$A(3,3)$，代入得：
$3 = 9a + 3b$，
解得：
$b = 1 - 3a$，
因此，二次函数的表达式为：
$y = ax^{2} + (1 - 3a)x$，
令$y = 0$，得到二次函数与$x$轴的交点为：
$ax^{2} + (1 - 3a)x = 0$，
$x(ax + 1 - 3a) = 0$，
解得：
$x_{1} = 0$，$x_{2} = \frac{3a - 1}{a}$，
由题意知，其中一个交点为$B(m,0)$，且$m \gt 4$，所以：
$\frac{3a - 1}{a} \gt 4$，
由于$a \lt 0$，我们可以将不等式两边同时乘以$a$（注意这样会改变不等号的方向）：
$3a - 1 \lt 4a$，
解得：
$a \gt -1$，
结合$a \lt 0$，得到$a$的取值范围为：
$-1 \lt a \lt 0$。