例1 (2025 郑州三模)矩形 $ABCD$ 的边 $AB$ 长为 $1$，$\angle BAD$ 的平分线交边 $BC$ 于点 $E$(点 $E$ 不与点 $C$ 重合)，连接 $DE$，若 $\triangle ADE$ 的形状为等腰三角形，则 $BC$ 边的长为。

$2$ 或 $\sqrt{2}$

解:设矩形 $ABCD$ 中 $AD = BC = x$，$AB = CD = 1$。
∵ $AE$ 平分 $\angle BAD$，$\angle BAD = 90°$，∴ $\angle BAE = \angle DAE = 45°$。
∵ $AD // BC$，∴ $\angle AEB = \angle DAE = 45°$，则 $\triangle ABE$ 为等腰直角三角形，$AB = BE = 1$，$AE = \sqrt{AB^2 + BE^2} = \sqrt{2}$，$EC = BC - BE = x - 1$。
情况①：$AE = DE$
在 $\mathrm{Rt}\triangle DCE$ 中，$DC = 1$，$EC = x - 1$，$DE = AE = \sqrt{2}$。
由勾股定理：$1^2 + (x - 1)^2 = (\sqrt{2})^2$，解得 $x = 2$（$x = 0$ 舍去）。
情况②：$AE = AD$
$AD = AE = \sqrt{2}$，即 $x = \sqrt{2}$，此时 $EC = \sqrt{2} - 1 ＞ 0$，符合题意。
情况③：$AD = ED$
$AD = ED = x$，由勾股定理：$1^2 + (x - 1)^2 = x^2$，解得 $x = 1$，此时 $E$ 与 $C$ 重合，舍去。
综上，$BC$ 的长为 $2$ 或 $\sqrt{2}$。

训练 1. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$AB = BC = 2$，$OA = OB$，点 $P$ 在线段 $CO$ 的延长线上，当 $\triangle ABP$ 为等腰三角形时，$CP$ 的长为。

$\frac{8\sqrt{5}}{5}$或$2\sqrt{5}$

以B为原点，BA为x轴，BC为y轴建立坐标系，B(0,0)，A(2,0)，C(0,2)。OA=OB，O为AB中点(1,0)。直线CO：y=-2x+2，设P(t,-2t+2)(t＞1)。
情况1：AB=AP=2
AP²=(t-2)²+(-2t+2)²=4，解得t=2（t=0.4舍去），P(2,-2)。
CP=√[(2-0)²+(-2-2)²]=2√5。
情况2：AB=BP=2
BP²=t²+(-2t+2)²=4，解得t=8/5（t=0舍去），P(8/5,-6/5)。
CP=√[(8/5-0)²+(-6/5-2)²]=8√5/5。
情况3：AP=BP，解得t=1（P与O重合，舍去）。

2. (2025 许昌二模)如图，正方形 $ABCD$ 的边长为 $4$，点 $G$ 为边 $AB$ 上的动点(不与点 $A$，$B$ 重合)，将 $\triangle ADG$ 沿 $DG$ 折叠，点 $A$ 的对应点为点 $H$，连接 $BH$，$CH$，若 $\triangle BCH$ 为等腰三角形，则 $AG$ 的长为。

4√3/3或8-4√3

设正方形ABCD中，A(0,4),B(4,4),C(4,0),D(0,0)，G(g,4)(0＜g＜4)，AG=g。折叠后H坐标为(32g/(g²+16),4(16-g²)/(g²+16))。△BCH为等腰三角形分三种情况：
1. BC=BH：解得g=4（舍去，G与B重合）。
2. BC=CH：CH=4，得方程(g-4)⁴=64g²，解得g=8-4√3（0＜8-4√3＜4，有效）。
3. BH=CH：H纵坐标n=2，即4(16-g²)/(g²+16)=2，解得g=4√3/3（0＜4√3/3＜4，有效）。
综上，AG=4√3/3或8-4√3。

3. 如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$E$ 为边 $AB$ 上一点，以 $AE$ 为直径的半圆 $O$ 与 $BC$ 相切于点 $D$，连接 $AD$。已知 $BE = 3$，$BD = 3\sqrt{5}$，$P$ 是边 $AB$ 上的动点，当 $\triangle ADP$ 为等腰三角形时，$AP$ 的长为。

6或2√30

设半圆O半径为r，AE=2r，AB=AE+BE=2r+3。由切割线定理得BD²=BE·BA，即(3√5)²=3·(2r+3)，解得r=6，故AB=15，AE=12。
∵OD⊥BC，∠C=90°，∴OD//AC，△BOD∽△BAC。OB=AB-AO=15-6=9，相似比OB/AB=9/15=3/5，OD=6，∴AC=OD÷(3/5)=10。BC=√(AB²-AC²)=5√5，DC=BC-BD=2√5，AD=√(AC²+DC²)=2√30。
设AP=m，P在AB上，分三种情况：
1. AP=AD：m=2√30（0＜2√30＜15，成立）；
2. AP=DP：P坐标( (√5/3)m,10-(2/3)m )，D(2√5,0)，由DP²=m²得m²-20m+120=m²，解得m=6；
3. AD=DP：DP²=120，即m²-20m+120=120，解得m=0（舍）或20（舍）。
综上，AP=6或2√30。

4. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$AB = 2\sqrt{3}$，$\angle ABC = 60^{\circ}$，$E$ 为 $BC$ 的中点，$F$ 为线段 $OD$ 上一动点(不与点 $O$ 重合)，当 $\triangle AEF$ 为等腰三角形时，$DF$ 的长为。

3 - √6或(9 - √33)/2

以O为原点，AC为x轴，BD为y轴建立坐标系。菱形ABCD中，AB=2√3，∠ABC=60°，则AC=AB=2√3，AO=√3，BO=3，故A(-√3,0)，C(√3,0)，B(0,3)，D(0,-3)。E为BC中点，坐标为(√3/2, 3/2)。设F(0,t)(-3＜t＜0)。
AE²=(-√3 - √3/2)² + (0 - 3/2)²=9，AE=3。
AF²=(-√3 - 0)² + (0 - t)²=3 + t²，EF²=(√3/2 - 0)² + (3/2 - t)²=t² - 3t + 3。
分情况讨论：
1. AE=AF：3 + t²=9，t=-√6，DF=3 - √6；
2. AE=EF：t² - 3t + 3=9，t=(3 - √33)/2，DF=(9 - √33)/2；
3. AF=EF：3 + t²=t² - 3t + 3，t=0（舍去）。

5. (2025 南阳一模)如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$AB = 6$，$BC = 4$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$M$ 为 $BC$ 的中点，点 $P$ 为平面内一动点，且 $PM = BM$，射线 $AP$ 交 $BC$ 于点 $D$，在点 $P$ 的运动过程中，当 $\triangle BPC$ 为等腰三角形时，$BD$ 的长为。

3或3/2

以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，B(0,0)，C(4,0)，A(0,6)，M为BC中点，M(2,0)，P在以M为圆心，2为半径的圆上：(x-2)²+y²=4。
情况1：BP=PC
BC垂直平分线为x=2，与圆交于P(2,2)或(2,-2)。
P(2,2)：直线AP：y=-2x+6，交BC于D(3,0)，BD=3。
P(2,-2)：直线AP：y=-4x+6，交BC于D(3/2,0)，BD=3/2。
情况2：BP=BC=4
P满足x²+y²=16且(x-2)²+y²=4，解得P(4,0)与C重合，舍去。
情况3：PC=BC=4
P满足(x-4)²+y²=16且(x-2)²+y²=4，解得P(0,0)与B重合，舍去。
综上，BD=3或3/2。