13. 如图,已知 $ \triangle ABC $ 的三个顶点的坐标分别为 $ A(2,-1) $,$ B(1,3) $,$ C(-4,-2) $,求 $ \triangle ABC $ 的面积。

1. 确定矩形边界：A(2,-1)，B(1,3)，C(-4,-2)，x范围[-4,2]，y范围[-2,3]，矩形顶点D(-4,-2)，E(2,-2)，F(2,3)，G(-4,3)。
2. 计算矩形面积：(2 - (-4))×(3 - (-2))=6×5=30。
3. 计算多余三角形面积：
直角△CEA：C(-4,-2)，E(2,-2)，A(2,-1)，CE=6，EA=1，面积=6×1÷2=3。
直角△BFA：B(1,3)，F(2,3)，A(2,-1)，BF=1，FA=4，面积=1×4÷2=2。
直角△CGB：C(-4,-2)，G(-4,3)，B(1,3)，CG=5，GB=5，面积=5×5÷2=12.5。
4. △ABC面积=30 - 3 - 2 - 12.5=12.5=25/2。
结论：△ABC的面积为$\frac{25}{2}$。

14. (1) 已知点 $ A(m,6) $ 和点 $ B(3,m^{2} - 3) $,若直线 $ AB // x $ 轴,则 $ m $ 的值为；
(2) 已知点 $ A(2,7) $,$ AB // x $ 轴,$ AB = 3 $,则点 $ B $ 的坐标为。

(1) $-3$；
(2) $(5,7)$或$( - 1,7)$。

(1) 由于直线 $AB$ 平行于 $x$ 轴，所以 $A$ 和 $B$ 的纵坐标相等，即：
$6 = m^{2} - 3$，
解得：$m^{2} = 9$，
因此，$m = \pm 3$，
由于题目没有限制 $m$ 的取值范围，但需要检验是否满足 $AB$ 平行于 $x$ 轴的条件，当$m=3$时，$A(3,6),B(3,6)$，此时$A,B$为同一点，不满足题意（题目默认$A,B$为两个点），所以$m$只能为$-3$（或者理解为，平行于$x$轴的两点不能重合，即横坐标不能相同，当$m=3$时，横坐标也相同，故舍去），所以 $m = -3$（八年级学生默认用此种理解方式解题）。
(2) 由于 $AB$ 平行于 $x$ 轴，所以 $B$ 的纵坐标与 $A$ 的纵坐标相同，即 $y_B = 7$。
设 $B$ 的横坐标为 $x_B$，由 $AB = 3$，得到：
$|x_B - 2| = 3$，
解得：$x_B - 2 = 3 \quad 或 \quad x_B - 2 = -3$。
即：$x_B = 5 \quad 或 \quad x_B = -1$。
因此，$B$ 的坐标为 $(5, 7)$ 或 $(-1, 7)$。

15. 已知 $ a $,$ b $ 都是实数,设点 $ P(a,b) $,若满足 $ 3a = 2b + 5 $,则称点 $ P $ 为“新奇点”。若点 $ M(m - 1,3m + 2) $ 是“新奇点”,则点 $ M $ 的坐标为。

$(-5,-10)$

根据题意，点 $ M(m - 1, 3m + 2) $ 是“新奇点”，所以满足方程 $ 3a = 2b + 5 $，其中 $ a = m - 1 $，$ b = 3m + 2 $。
代入方程得：
$3(m - 1) = 2(3m + 2) + 5$
展开化简：
$3m - 3 = 6m + 4 + 5$
$3m - 3 = 6m + 9$
移项得：
$3m - 6m = 9 + 3$
$-3m = 12$
解得：
$m = -4$
将 $ m = -4 $ 代入 $ M(m - 1, 3m + 2) $：
$m - 1 = -4 - 1 = -5$
$3m + 2 = 3(-4) + 2 = -12 + 2 = -10$
所以点 $ M $ 的坐标为 $ (-5, -10) $。

16. 如图,$ A(-1,0) $,$ C(1,4) $,已知点 $ B $ 在 $ x $ 轴上,且 $ AB = 3 $。
(1) 求点 $ B $ 的坐标；
(2) 求 $ \triangle ABC $ 的面积；
(3) 在 $ y $ 轴上是否存在点 $ P $,使 $ \triangle ABP $ 的面积为 10？若存在,请直接写出点 $ P $ 的坐标；若不存在,请说明理由。

(1)设点$ B(x,0) $，$ A(-1,0) $，$ AB=3 $，则$ |x - (-1)| = 3 $，即$ |x + 1| = 3 $，解得$ x = 2 $或$ x = -4 $，$ B(2,0) $或$ (-4,0) $。
(2)$ AB = 3 $，点$ C(1,4) $到$ x $轴距离为$ 4 $，$ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6 $。
(3)存在，设$ P(0,y) $，$ S_{\triangle ABP} = 10 $，则$ \frac{1}{2} × 3 × |y| = 10 $，$ |y| = \frac{20}{3} $，$ P(0,\frac{20}{3}) $或$ (0,-\frac{20}{3}) $。

17. 在平面直角坐标系中,给出如下定义：点 $ P $ 到 $ x $ 轴、$ y $ 轴距离的较小值称为点 $ P $ 的“短距”；当点 $ Q $ 到 $ x $ 轴、$ y $ 轴的距离相等时,称点 $ Q $ 为“完美点”。
(1) 点 $ A(-3,2) $ 的“短距”为；
(2) 若点 $ B(3a - 1,5) $ 是“完美点”,求 $ a $ 的值；
(3) 若点 $ C(9 - 2b,-5) $ 是“完美点”,求点 $ D(-6,2b - 1) $ 的“短距”。

(1)
点$A(-3,2)$到$x$轴的距离为$\vert2\vert = 2$，到$y$轴的距离为$\vert - 3\vert=3$，
因为$2\lt3$，所以点$A$的“短距”为$2$。
(2)
因为点$B(3a - 1,5)$是“完美点”，所以点$B$到$x$轴、$y$轴的距离相等，则$\vert3a - 1\vert=\vert5\vert$。
即$3a - 1 = 5$或$3a - 1 = - 5$。
当$3a - 1 = 5$时，$3a=6$，解得$a = 2$；
当$3a - 1 = - 5$时，$3a=-4$，解得$a =-\frac{4}{3}$。
综上，$a$的值为$2$或$-\frac{4}{3}$。
(3)
因为点$C(9 - 2b,-5)$是“完美点”，所以$\vert9 - 2b\vert=\vert - 5\vert = 5$。
即$9 - 2b = 5$或$9 - 2b = - 5$。
当$9 - 2b = 5$时，$-2b=-4$，解得$b = 2$；
当$9 - 2b = - 5$时，$-2b=-14$，解得$b = 7$。
当$b = 2$时，$2b - 1=2×2 - 1 = 3$，点$D(-6,3)$到$x$轴的距离为$\vert3\vert = 3$，到$y$轴的距离为$\vert - 6\vert = 6$，因为$3\lt6$，所以点$D$的“短距”为$3$；
当$b = 7$时，$2b - 1=2×7 - 1 = 13$，点$D(-6,13)$到$x$轴的距离为$\vert13\vert = 13$，到$y$轴的距离为$\vert - 6\vert = 6$，因为$6\lt13$，所以点$D$的“短距”为$6$。
综上，点$D$的“短距”为$3$或$6$。