15. 学校准备购进一批节能灯,已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元.
(1) 求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元；
(2) 学校准备购进这两种型号的节能灯共50只,设购进A型节能灯m只,总费用为W元,求W与m之间的函数关系式；
(3) 在(2)的条件下,若A型节能灯的数量不超过37只,请设计出最省钱的购买方案.

答题卡：
(1) 设1只A型节能灯售价为$x$元，1只B型节能灯售价为$y$元。
根据题意，列出方程组：
$\begin{cases}x + 3y = 26, \\3x + 2y = 29.\end{cases}$
解方程组，得：
$\begin{cases}x = 5, \\y = 7.\end{cases}$
答：1只A型节能灯售价为5元，1只B型节能灯售价为7元。
(2) 设购进A型节能灯$m$只，则购进B型节能灯$50 - m$只。
总费用$W$可表示为：
$W = 5m + 7(50 - m) = -2m + 350$。
(3) 根据条件，A型节能灯的数量不超过37只，即：
$m \leq 37$，
由于$W = -2m + 350$，且$-2 \lt 0$，$W$随$m$的增大而减小。
因此，当$m = 37$时，$W$取得最小值，此时$W = -2 × 37 + 350 = 276$。
此时，B型节能灯数量为$50 - 37 = 13$。
答：最省钱的购买方案是购进A型节能灯37只，B型节能灯13只。

16. 引理：如图1,已知Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,则CD = AD = DB = $\frac{1}{2}$AB；
应用格式为：∵ CD是斜边AB上的中线,
∴ CD = AD = DB = $\frac{1}{2}$AB.
如图2,已知△ABC中,AC = BC,∠ACB = 90°,D为AB的中点,若E是直线AC上任意一点,连接DE,作DF⊥DE交直线BC于点F. 连接EF,G为EF的中点,连接CG并延长交直线AB于点H.
(1) 若点E在边AC上,(本题需要用引理)
(i) 试说明DE = DF；
(ii) 试说明CG = GH；
(2) 若AE = 3,CH = 5,求边AC的长.

7

(1)(i)
∵△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，∴∠A=∠B=45°，AB为斜边。
∵D为AB中点，由引理得CD=AD=DB=1/2AB，且CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°。
∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，又∠ADC=90°（CD⊥AB），
∴∠ADE+∠EDC=∠CDF+∠EDC=90°，∴∠ADE=∠CDF。
在△ADE和△CDF中：
∠A=∠DCF=45°，AD=CD，∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（ASA），∴DE=DF。
(1)(ii)
连接DG。
∵∠ECF=90°，G为EF中点，由引理得CG=1/2EF。
∵∠EDF=90°，G为EF中点，由引理得DG=1/2EF，∴CG=DG。
∴∠GCD=∠GDC。
∵∠HGD=∠CGF（对顶角），∠GFC=∠GCF（CG=GF），
∴∠GHD=∠GDC=∠GCD，∴GH=DG，∴CG=GH。
(2)
当E在AC边上时，设AC=BC=x，AE=3，则CE=x-3。
由(1)(i)知△ADE≌△CDF，∴CF=AE=3。
∵∠ECF=90°，G为EF中点，由引理得CG=1/2EF，又CG=GH，∴CH=2CG=EF。
∵CH=5，∴EF=5。
在Rt△ECF中，EF²=EC²+FC²，即5²=(x-3)²+3²，
解得(x-3)²=16，x=7（x=-1舍去）。
当E在AC延长线上时，同理可证无解。
综上，AC=7。