1. 如图,在一幅长为 80 cm,宽为 50 cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边,制成一幅矩形挂图. 如果要使整个挂图的面积是 5400 cm^2,设金色纸边的宽为$x$ cm,那么$x$满足的方程是( )

A.$x^2 + 130x - 1400 = 0$
B.$x^2 + 65x - 350 = 0$
C.$x^2 - 130x - 1400 = 0$
D.$x^2 - 65x - 350 = 0$

B

挂图的长为$(80 + 2x)$cm，宽为$(50 + 2x)$cm。
根据面积公式：$(80 + 2x)(50 + 2x) = 5400$
展开得：$4000 + 160x + 100x + 4x^2 = 5400$
化简：$4x^2 + 260x - 1400 = 0$
两边同除以4：$x^2 + 65x - 350 = 0$
B

2. 要用一条长 24 cm 的铁丝围成一个斜边是 10 cm 的直角三角形,则这个直角三角形的直角边长分别为______.

6 cm 和 8 cm

设这个直角三角形的一条直角边长为$x\ cm$，则另一条直角边长为$(24 - 10 - x)\ cm=(14 - x)\ cm$。
根据勾股定理，得$x^{2}+(14 - x)^{2}=10^{2}$。
展开并化简方程：$x^{2}+196 - 28x + x^{2}=100$，$2x^{2}-28x + 96=0$，$x^{2}-14x + 48=0$。
因式分解：$(x - 6)(x - 8)=0$。
解得$x_{1}=6$，$x_{2}=8$。
当$x=6$时，另一条直角边为$14 - 6=8\ cm$；当$x=8$时，另一条直角边为$14 - 8=6\ cm$。
6 cm 和 8 cm

3. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠BAC = 90°$,$AB = AC = 16$ cm,$AD为BC$边上的高,动点$P从点A$出发,沿$A→D方向以\sqrt{2}$ cm/s 的速度向点$D$运动. 设$△ABP的面积为S_1$,矩形$PDFE的面积为S_2$,运动时间为$t$ s($0≤t≤8$),则$t = $______ s 时,$S_1 = 2S_2$.

6

某同学有一块长$a$ m,宽$b$ m 的矩形场地,计划在该场地上修筑宽都为 2 m 的两条互相垂直的道路,余下的 4 块矩形小场地建成草坪.
(1)如图,请分别写出每条道路的面积；
(2)已知$a : b = 2 : 1$,并且 4 块草坪的面积之和为 312 m^2,试求原来矩形场地的长与宽各是多少.
]

(1)$2a\ m^2,2b\ m^2$；（2）长为 28 m,宽为 14 m

(1)水平道路面积为 $2a \, m^2$，竖直道路面积为 $2b \, m^2$。
(2)设 $b = x \, m$，则 $a = 2x \, m$。
矩形场地面积为 $2x \cdot x = 2x^2 \, m^2$，
两条道路面积和为 $2a + 2b - 2 × 2 = 4x + 2x - 4 = 6x - 4 \, m^2$，
草坪面积为 $2x^2 - (6x - 4) = 312$，
即 $2x^2 - 6x - 308 = 0$，化简得 $x^2 - 3x - 154 = 0$，
解得 $x_1 = 14$，$x_2 = -11$（舍去），
则 $a = 2x = 28$，$b = x = 14$。
原来矩形场地的长为 $28 \, m$，宽为 $14 \, m$。