13. (2025·武侯) 如图,在$\square ABCD$中,$AB= 10$,$BC= 6\sqrt {2}$,对角线$AC与BD相交于点O$,过点$O作OE⊥BD交DA的延长线于点E$,交$AB于点F$。若$\frac {OF}{EF}= \frac {3}{2}$,则对角线$BD$的长为____。

$4\sqrt{7}$

14. (2025·编写) 如图,在正方形$ABCD$中,点$E$,$F在射线BC$上,$∠EAF= 45^{\circ }$,求$\frac {BE}{EF}$的最大值。

[解]如图,过点E作EG⊥AE交AF于点G,过点G 作GH⊥EF于点H.
　　　　　　
　设BE=x,正方形ABCD的边长为a,$\frac{BE}{EF}=k$，其中$x＞0$，$a＞0$，$k＞0$。
　∵EG⊥AE,∠EAF=45°,
　∴△AEG为等腰直角三角形,∴AE=EG;
　∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=90°,
　又∵EG⊥AE,GH⊥EF,
　∴∠B=∠AEG=∠EHG=90°,GH//AB,
　∴∠BAE+∠AEB=90°,∠AEB+∠HEG=90°,
　∴∠BAE=∠HEG.
　在△ABE和△EHG中，$\begin{cases}\angle BAE=\angle HEG\\\angle B=\angle EHG = 90^{\circ}\\AE = EG\end{cases}$
　∴△ABE≌△EHG(AAS),
　∴AB=EH=a,BE=GH=x,
　∴BH=BE+EH=x+a,
　∴FB=FH+BH=FH+x+a.
　∵GH//AB,∴△FGH∽△FAB,
　∴GH:AB=FH:FB,
　即$x:a=FH:(FH+x+a)$，∴$FH=\frac{x^{2}+ax}{a-x}$，
　∴$EF=FH+EH=\frac{x^{2}+ax}{a-x}+a=\frac{x^{2}+a^{2}}{a-x}$，
　∴$\frac{BE}{EF}=\frac{ax-x^{2}}{x^{2}+a^{2}}=k$，
　整理,得$(1+k)x^{2}-ax+ka^{2}=0$。
　由题意可知,关于x的方程$(1+k)x^{2}-ax+ka^{2}=0$有两个实数根，
　∴$\Delta=(-a)^{2}-4(1+k)\times ka^{2}\geq 0$。
　∵$a＞0$，
　∴将上式两边同时除以$a^{2}$，得$1-4k-4k^{2}\geq 0$。
　整理,得$(k+\frac{1}{2})^{2}\leq \frac{1}{2}$。
　∵$k＞0$，∴$k+\frac{1}{2}\leq \frac{\sqrt{2}}{2}$，
　∴$0＜k\leq \frac{\sqrt{2}-1}{2}$，∴$k$的最大值为$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$，
　∴$\frac{BE}{EF}$的最大值为$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$。

15. (2022·泸州) 如图,在边长为3的正方形$ABCD$中,$E是边AB$上的点,且$BE= 2AE$,过点$E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F$,交边$BC于点M$,连接$DF交边BC于点N$。求$MN$的长。

[解]如图,过点F作FH⊥BG于点H,作FK⊥BC 于点K.∵BF平分∠CBG,∠KBH=90°,
　　　　　　　　　　　
　∴KF=FH,四边形BHFK是正方形
　∵DE⊥EF,∠EHF=90°,
　∴∠DEA+∠FEH=90°，∠EFH+∠FEH=90°，∴∠DEA=∠EFH,
　∵∠A=∠EHF=90°,∴△DAE∽△EHF,
　∴$\frac{AD}{HE}=\frac{AE}{HF}$。
　∵正方形ABCD的边长为3,BE=2AE,
　∴AE=1,BE=2.
　∵BF为∠CBG的平分线，∴∠CBF=∠FBH=45°,∴BH=FH;
　设FH=a,则BH=a,HE=BE+BH=2+a,
　∴$\frac{3}{2+a}=\frac{1}{a}$，解得$a=1$。
　∵FK⊥CB,DC⊥CB,∴△DCN∽△FKN,
　∴$\frac{DC}{FK}=\frac{CN}{KN}$。
　∵BC=3,BK=FH=1,
　∴CK=BC-BK=2,设CN=b,则NK=CK -CN=2-b,
　∴$\frac{3}{1}=\frac{b}{2-b}$，解得$b=\frac{3}{2}$，即$CN=\frac{3}{2}$。
　由题易得∠AED=∠BME,∠A=∠EBH,
　∴△ADE∽△BEM,∴$\frac{AD}{BE}=\frac{AE}{BM}$，
　∴$\frac{3}{2}=\frac{1}{BM}$，解得$BM=\frac{2}{3}$，
　∴$MN=BC - CN - BM=3-\frac{3}{2}-\frac{2}{3}=\frac{5}{6}$。