登录
8. 已知$4x^{2} + y^{2} - 4x - 6y + 10 = 0$,求$(\frac{2}{3}x\sqrt{9x} + y^{2}\sqrt{\frac{x}{y^{3}}}) - (x^{2}\sqrt{\frac{1}{x}} - 5x\sqrt{\frac{y}{x}})$的值。
答案
【解析】：
1. 首先对已知条件$4x^{2}+y^{2}-4x - 6y + 10 = 0$进行变形：
将$4x^{2}+y^{2}-4x - 6y + 10 = 0$进行配方，可得$(4x^{2}-4x + 1)+(y^{2}-6y + 9)=0$。
根据完全平方公式$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$，进一步转化为$(2x - 1)^{2}+(y - 3)^{2}=0$。
因为一个数的平方是非负的，要使两个非负数的和为$0$，则这两个非负数都为$0$，即$\begin{cases}2x - 1 = 0\\y - 3 = 0\end{cases}$。
解方程组：
由$2x - 1 = 0$，得$2x=1$，解得$x=\frac{1}{2}$；
由$y - 3 = 0$，解得$y = 3$。
2. 然后化简$(\frac{2}{3}x\sqrt{9x}+y^{2}\sqrt{\frac{x}{y^{3}}})-(x^{2}\sqrt{\frac{1}{x}}-5x\sqrt{\frac{y}{x}})$：
分别化简各项：
$\frac{2}{3}x\sqrt{9x}=\frac{2}{3}x×3\sqrt{x}=2x\sqrt{x}$；
$y^{2}\sqrt{\frac{x}{y^{3}}}=y^{2}×\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y^{3}}}=y^{2}×\frac{\sqrt{x}}{y\sqrt{y}}=y\sqrt{\frac{x}{y}}=\sqrt{xy}$；
$x^{2}\sqrt{\frac{1}{x}}=x^{2}×\frac{1}{\sqrt{x}}=x\sqrt{x}$；
$5x\sqrt{\frac{y}{x}} = 5\sqrt{xy}$。
则原式$=2x\sqrt{x}+\sqrt{xy}-x\sqrt{x}+5\sqrt{xy}$。
合并同类项得：$(2x\sqrt{x}-x\sqrt{x})+(\sqrt{xy}+5\sqrt{xy})=x\sqrt{x}+6\sqrt{xy}$。
3. 最后把$x = \frac{1}{2}$，$y = 3$代入化简后的式子：
$x\sqrt{x}+6\sqrt{xy}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}+6\sqrt{\frac{1}{2}×3}$。
进一步化简：
$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$；
$6\sqrt{\frac{3}{2}}=6×\frac{\sqrt{6}}{2}=3\sqrt{6}$。
所以原式$=\frac{\sqrt{2}}{4}+3\sqrt{6}$。
【答案】：$\frac{\sqrt{2}}{4}+3\sqrt{6}$
1. 首先对已知条件$4x^{2}+y^{2}-4x - 6y + 10 = 0$进行变形：
将$4x^{2}+y^{2}-4x - 6y + 10 = 0$进行配方，可得$(4x^{2}-4x + 1)+(y^{2}-6y + 9)=0$。
根据完全平方公式$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$，进一步转化为$(2x - 1)^{2}+(y - 3)^{2}=0$。
因为一个数的平方是非负的，要使两个非负数的和为$0$，则这两个非负数都为$0$，即$\begin{cases}2x - 1 = 0\\y - 3 = 0\end{cases}$。
解方程组：
由$2x - 1 = 0$，得$2x=1$，解得$x=\frac{1}{2}$；
由$y - 3 = 0$，解得$y = 3$。
2. 然后化简$(\frac{2}{3}x\sqrt{9x}+y^{2}\sqrt{\frac{x}{y^{3}}})-(x^{2}\sqrt{\frac{1}{x}}-5x\sqrt{\frac{y}{x}})$：
分别化简各项：
$\frac{2}{3}x\sqrt{9x}=\frac{2}{3}x×3\sqrt{x}=2x\sqrt{x}$；
$y^{2}\sqrt{\frac{x}{y^{3}}}=y^{2}×\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y^{3}}}=y^{2}×\frac{\sqrt{x}}{y\sqrt{y}}=y\sqrt{\frac{x}{y}}=\sqrt{xy}$；
$x^{2}\sqrt{\frac{1}{x}}=x^{2}×\frac{1}{\sqrt{x}}=x\sqrt{x}$；
$5x\sqrt{\frac{y}{x}} = 5\sqrt{xy}$。
则原式$=2x\sqrt{x}+\sqrt{xy}-x\sqrt{x}+5\sqrt{xy}$。
合并同类项得：$(2x\sqrt{x}-x\sqrt{x})+(\sqrt{xy}+5\sqrt{xy})=x\sqrt{x}+6\sqrt{xy}$。
3. 最后把$x = \frac{1}{2}$，$y = 3$代入化简后的式子：
$x\sqrt{x}+6\sqrt{xy}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}+6\sqrt{\frac{1}{2}×3}$。
进一步化简：
$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$；
$6\sqrt{\frac{3}{2}}=6×\frac{\sqrt{6}}{2}=3\sqrt{6}$。
所以原式$=\frac{\sqrt{2}}{4}+3\sqrt{6}$。
【答案】：$\frac{\sqrt{2}}{4}+3\sqrt{6}$
9. 如图所示,矩形$ABCD$中,$O是AC与BD$的交点,过$O点的直线EF与AB$,$CD的延长线分别交于点E$,$F$。
(1)求证：$\triangle BOE \cong \triangle DOF$。
证明：因为四边形$ABCD$是矩形，所以$OB = OD$（矩形的对角线互相平分），$AE// CF$（矩形的对边平行）。根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle E=\angle F$，$\angle OBE=\angle ODF$。在$\triangle BOE$和$\triangle DOF$中，$\begin{cases}\angle E=\angle F\\\angle OBE=\angle ODF\\OB = OD\end{cases}$，根据
(2)当$EF与AC$满足什么关系时,以$A$,$E$,$C$,$F$为顶点的四边形是菱形？证明你的结论。
当$EF$与$AC$满足
证明：由(1)知$\triangle BOE\cong\triangle DOF$，所以$OE = OF$。又因为四边形$ABCD$是矩形，所以$OA = OC$（矩形的对角线互相平分）。所以四边形$AECF$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。又因为$EF\perp AC$，所以平行四边形$AECF$是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
(1)求证：$\triangle BOE \cong \triangle DOF$。
证明：因为四边形$ABCD$是矩形，所以$OB = OD$（矩形的对角线互相平分），$AE// CF$（矩形的对边平行）。根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle E=\angle F$，$\angle OBE=\angle ODF$。在$\triangle BOE$和$\triangle DOF$中，$\begin{cases}\angle E=\angle F\\\angle OBE=\angle ODF\\OB = OD\end{cases}$，根据
AAS
（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），所以$\triangle BOE\cong\triangle DOF$。(2)当$EF与AC$满足什么关系时,以$A$,$E$,$C$,$F$为顶点的四边形是菱形？证明你的结论。
当$EF$与$AC$满足
$EF\perp AC$
关系时，以$A$,$E$,$C$,$F$为顶点的四边形是菱形。证明：由(1)知$\triangle BOE\cong\triangle DOF$，所以$OE = OF$。又因为四边形$ABCD$是矩形，所以$OA = OC$（矩形的对角线互相平分）。所以四边形$AECF$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。又因为$EF\perp AC$，所以平行四边形$AECF$是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
答案
【解析】：
(1) 因为四边形$ABCD$是矩形，所以$OB = OD$（矩形的对角线互相平分），$AE// CF$（矩形的对边平行）。
根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle E=\angle F$，$\angle OBE=\angle ODF$。
在$\triangle BOE$和$\triangle DOF$中，$\begin{cases}\angle E=\angle F\\\angle OBE=\angle ODF\\OB = OD\end{cases}$，根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），所以$\triangle BOE\cong\triangle DOF$。
(2) 当$EF\perp AC$时，以$A$，$E$，$C$，$F$为顶点的四边形是菱形。
证明：由(1)知$\triangle BOE\cong\triangle DOF$，所以$OE = OF$。
又因为四边形$ABCD$是矩形，所以$OA = OC$（矩形的对角线互相平分）。
所以四边形$AECF$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
又因为$EF\perp AC$，所以平行四边形$AECF$是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
【答案】：
(1) 证明见上述解析。
(2) 当$EF\perp AC$时，以$A$，$E$，$C$，$F$为顶点的四边形是菱形，证明见上述解析。
(1) 因为四边形$ABCD$是矩形，所以$OB = OD$（矩形的对角线互相平分），$AE// CF$（矩形的对边平行）。
根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle E=\angle F$，$\angle OBE=\angle ODF$。
在$\triangle BOE$和$\triangle DOF$中，$\begin{cases}\angle E=\angle F\\\angle OBE=\angle ODF\\OB = OD\end{cases}$，根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），所以$\triangle BOE\cong\triangle DOF$。
(2) 当$EF\perp AC$时，以$A$，$E$，$C$，$F$为顶点的四边形是菱形。
证明：由(1)知$\triangle BOE\cong\triangle DOF$，所以$OE = OF$。
又因为四边形$ABCD$是矩形，所以$OA = OC$（矩形的对角线互相平分）。
所以四边形$AECF$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
又因为$EF\perp AC$，所以平行四边形$AECF$是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
【答案】：
(1) 证明见上述解析。
(2) 当$EF\perp AC$时，以$A$，$E$，$C$，$F$为顶点的四边形是菱形，证明见上述解析。
10. $A市有某种型号的农用车50$辆,$B市有40$辆,现要将这些农用车全部调往$C$,$D$两县,$C县需要该种农用车42$辆,$D县需要48$辆。从$A市运往C$,$D两县农用车的费用分别为每辆300元和150$元,从$B市运往C$,$D两县农用车的费用分别为每辆200元和250$元。
(1)设从$A市运往C县的农用车为x$辆,此次调运总费用为$y$元,求$y与x$的函数关系式,并写出自变量$x$的取值范围。
(2)若此次调运的总费用不超过$16000$元,有哪几种调运方案？哪种方案的费用最低？并求出最低费用。
(1)设从$A市运往C县的农用车为x$辆,此次调运总费用为$y$元,求$y与x$的函数关系式,并写出自变量$x$的取值范围。
(2)若此次调运的总费用不超过$16000$元,有哪几种调运方案？哪种方案的费用最低？并求出最低费用。
答案
【解析】：
(1)已知从$A$市运往$C$县的农用车为$x$辆，因为$A$市有农用车$50$辆，所以从$A$市运往$D$县的农用车为$(50 - x)$辆。
又因为$C$县需要$42$辆农用车，$A$市运往$C$县$x$辆，所以从$B$市运往$C$县的农用车为$(42 - x)$辆。
而$D$县需要$48$辆农用车，$A$市运往$D$县$(50 - x)$辆，所以从$B$市运往$D$县的农用车为$48-(50 - x)=x - 2$辆。
根据总费用$y =$从$A$市运往$C$县的费用$+$从$A$市运往$D$县的费用$+$从$B$市运往$C$县的费用$+$从$B$市运往$D$县的费用，可得：
$y = 300x+150(50 - x)+200(42 - x)+250(x - 2)$
$y = 300x + 7500-150x + 8400 - 200x+250x - 500$
$y=(300x-150x - 200x+250x)+(7500 + 8400 - 500)$
$y = 200x+15400$。
因为车辆数不能为负数，所以$\begin{cases}x\geqslant0\\50 - x\geqslant0\\42 - x\geqslant0\\x - 2\geqslant0\end{cases}$，
解$x\geqslant0$；解$50 - x\geqslant0$得$x\leqslant50$；解$42 - x\geqslant0$得$x\leqslant42$；解$x - 2\geqslant0$得$x\geqslant2$。
所以自变量$x$的取值范围是$2\leqslant x\leqslant42$，且$x$为整数。
(2)已知此次调运的总费用不超过$16000$元，则$y = 200x+15400\leqslant16000$，
$200x\leqslant16000 - 15400$，
$200x\leqslant600$，
$x\leqslant3$。
又因为$2\leqslant x\leqslant42$且$x$为整数，所以$x = 2$或$x = 3$。
当$x = 2$时：
从$A$市运往$C$县$2$辆，运往$D$县$50 - 2 = 48$辆；
从$B$市运往$C$县$42 - 2 = 40$辆，运往$D$县$2 - 2 = 0$辆。
此时费用$y=200×2 + 15400=15800$元。
当$x = 3$时：
从$A$市运往$C$县$3$辆，运往$D$县$50 - 3 = 47$辆；
从$B$市运往$C$县$42 - 3 = 39$辆，运往$D$县$3 - 2 = 1$辆。
此时费用$y=200×3+15400 = 16000$元。
因为$15800\lt16000$，所以当$x = 2$时费用最低，最低费用是$15800$元。
【答案】：
(1)$y = 200x + 15400$，$2\leqslant x\leqslant42$且$x$为整数；
(2)有两种调运方案：方案一，从$A$市运往$C$县$2$辆，运往$D$县$48$辆，从$B$市运往$C$县$40$辆，运往$D$县$0$辆；方案二，从$A$市运往$C$县$3$辆，运往$D$县$47$辆，从$B$市运往$C$县$39$辆，运往$D$县$1$辆；方案一费用最低，最低费用是$15800$元。
(1)已知从$A$市运往$C$县的农用车为$x$辆，因为$A$市有农用车$50$辆，所以从$A$市运往$D$县的农用车为$(50 - x)$辆。
又因为$C$县需要$42$辆农用车，$A$市运往$C$县$x$辆，所以从$B$市运往$C$县的农用车为$(42 - x)$辆。
而$D$县需要$48$辆农用车，$A$市运往$D$县$(50 - x)$辆，所以从$B$市运往$D$县的农用车为$48-(50 - x)=x - 2$辆。
根据总费用$y =$从$A$市运往$C$县的费用$+$从$A$市运往$D$县的费用$+$从$B$市运往$C$县的费用$+$从$B$市运往$D$县的费用，可得：
$y = 300x+150(50 - x)+200(42 - x)+250(x - 2)$
$y = 300x + 7500-150x + 8400 - 200x+250x - 500$
$y=(300x-150x - 200x+250x)+(7500 + 8400 - 500)$
$y = 200x+15400$。
因为车辆数不能为负数，所以$\begin{cases}x\geqslant0\\50 - x\geqslant0\\42 - x\geqslant0\\x - 2\geqslant0\end{cases}$，
解$x\geqslant0$；解$50 - x\geqslant0$得$x\leqslant50$；解$42 - x\geqslant0$得$x\leqslant42$；解$x - 2\geqslant0$得$x\geqslant2$。
所以自变量$x$的取值范围是$2\leqslant x\leqslant42$，且$x$为整数。
(2)已知此次调运的总费用不超过$16000$元，则$y = 200x+15400\leqslant16000$，
$200x\leqslant16000 - 15400$，
$200x\leqslant600$，
$x\leqslant3$。
又因为$2\leqslant x\leqslant42$且$x$为整数，所以$x = 2$或$x = 3$。
当$x = 2$时：
从$A$市运往$C$县$2$辆，运往$D$县$50 - 2 = 48$辆；
从$B$市运往$C$县$42 - 2 = 40$辆，运往$D$县$2 - 2 = 0$辆。
此时费用$y=200×2 + 15400=15800$元。
当$x = 3$时：
从$A$市运往$C$县$3$辆，运往$D$县$50 - 3 = 47$辆；
从$B$市运往$C$县$42 - 3 = 39$辆，运往$D$县$3 - 2 = 1$辆。
此时费用$y=200×3+15400 = 16000$元。
因为$15800\lt16000$，所以当$x = 2$时费用最低，最低费用是$15800$元。
【答案】：
(1)$y = 200x + 15400$，$2\leqslant x\leqslant42$且$x$为整数；
(2)有两种调运方案：方案一，从$A$市运往$C$县$2$辆，运往$D$县$48$辆，从$B$市运往$C$县$40$辆，运往$D$县$0$辆；方案二，从$A$市运往$C$县$3$辆，运往$D$县$47$辆，从$B$市运往$C$县$39$辆，运往$D$县$1$辆；方案一费用最低，最低费用是$15800$元。
