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18. 为了从甲、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛,现对他们进行一次测验,两个人在相同条件下各射靶10次,为了比较两人的成绩,制作了如下统计图表:
(1)请补全上述图表(请直接在表中填空和补全折线图);甲：中位数
(2)如果规定成绩较稳定者胜出,你认为谁应胜出? 说明你的理由;
(3)如果希望(2)中的另一名选手胜出,根据图表中的信息,应该制定怎样的评判规则? 为什么?
(1)请补全上述图表(请直接在表中填空和补全折线图);甲：中位数
7
，方差4
；乙：平均数7
，中位数7.5
，方差5.4
（折线图补乙第10次10环）(2)如果规定成绩较稳定者胜出,你认为谁应胜出? 说明你的理由;
甲应胜出，理由：甲的方差4小于乙的方差5.4，方差越小成绩越稳定。
(3)如果希望(2)中的另一名选手胜出,根据图表中的信息,应该制定怎样的评判规则? 为什么?
规则一：命中10环次数多者胜出，因为乙命中10环次数（1次）比甲（0次）多；规则二：中位数大的胜出，因为乙的中位数7.5大于甲的中位数7。
答案
【解析】：
### $(1)$ 补全图表
**计算甲的中位数：**
将甲的射击成绩（$9$，$6$，$7$，$6$，$2$，$7$，$7$，$8$，$9$）从小到大排序为$2$，$6$，$6$，$7$，$7$，$7$，$8$，$9$，$9$。
因为数据个数$n = 9$为奇数，所以中位数是第$\frac{n + 1}{2}=\frac{9+1}{2}=5$个数，即甲的中位数是$7$。
**计算甲的方差：**
根据方差公式$s^{2}=\frac{1}{n}[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+\cdots+(x_{n}-\overline{x})^{2}]$，$\overline{x}=7$，$n = 9$，$(9 - 7)^{2}+(6 - 7)^{2}+(7 - 7)^{2}+(6 - 7)^{2}+(2 - 7)^{2}+(7 - 7)^{2}+(7 - 7)^{2}+(8 - 7)^{2}+(9 - 7)^{2}=4 + 1+0 + 1+25 + 0+0 + 1+4 = 36$，$s_{甲}^{2}=\frac{1}{9}\times36 = 4$。
**计算乙的平均数：**
乙的射击成绩（$2$，$4$，$6$，$8$，$7$，$7$，$8$，$9$，$9$，$10$），根据平均数公式$\overline{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}$，$n = 10$，$\overline{x}_{乙}=\frac{2 + 4+6 + 8+7 + 7+8 + 9+9 + 10}{10}=7$。
**计算乙的中位数：**
将乙的成绩从小到大排序为$2$，$4$，$6$，$7$，$7$，$8$，$8$，$9$，$9$，$10$。
因为$n = 10$为偶数，所以中位数是第$\frac{n}{2}=5$个数和第$\frac{n}{2}+1 = 6$个数的平均数，即$\frac{7 + 8}{2}=7.5$。
**计算乙的方差：**
$(2 - 7)^{2}+(4 - 7)^{2}+(6 - 7)^{2}+(8 - 7)^{2}+(7 - 7)^{2}+(7 - 7)^{2}+(8 - 7)^{2}+(9 - 7)^{2}+(9 - 7)^{2}+(10 - 7)^{2}=25+9 + 1+1+0 + 0+1+4+4+9 = 54$，$s_{乙}^{2}=\frac{1}{10}\times54 = 5.4$。
**补全折线图**：根据乙的成绩，在折线图中补充乙第$10$次射击命中$10$环的点（坐标$(10,10)$）。
所以甲的中位数$7$，方差$4$；乙的平均数$7$，中位数$7.5$，方差$5.4$。
### $(2)$ 判断谁应胜出
根据方差的意义，方差越小，数据越稳定。
因为$s_{甲}^{2}=4$，$s_{乙}^{2}=5.4$，$s_{甲}^{2}＜s_{乙}^{2}$，所以甲的成绩较稳定，甲应胜出。
### $(3)$ 制定评判规则
如果希望乙胜出，因为乙命中$10$环的次数比甲多（甲$0$次，乙$1$次），可以制定规则：命中$10$环次数多者胜出。
或者因为乙的中位数$7.5$大于甲的中位数$7$，也可以制定规则：中位数大的胜出 。
【答案】：
$(1)$ 甲：中位数$\boldsymbol{7}$，方差$\boldsymbol{4}$；乙：平均数$\boldsymbol{7}$，中位数$\boldsymbol{7.5}$，方差$\boldsymbol{5.4}$（折线图补乙第$10$次$10$环）。
$(2)$ 甲应胜出，理由：甲的方差$4$小于乙的方差$5.4$，方差越小成绩越稳定。
$(3)$ 规则一：命中$10$环次数多者胜出，因为乙命中$10$环次数（$1$次）比甲（$0$次）多；规则二：中位数大的胜出，因为乙的中位数$7.5$大于甲的中位数$7$。
### $(1)$ 补全图表
**计算甲的中位数：**
将甲的射击成绩（$9$，$6$，$7$，$6$，$2$，$7$，$7$，$8$，$9$）从小到大排序为$2$，$6$，$6$，$7$，$7$，$7$，$8$，$9$，$9$。
因为数据个数$n = 9$为奇数，所以中位数是第$\frac{n + 1}{2}=\frac{9+1}{2}=5$个数，即甲的中位数是$7$。
**计算甲的方差：**
根据方差公式$s^{2}=\frac{1}{n}[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+\cdots+(x_{n}-\overline{x})^{2}]$，$\overline{x}=7$，$n = 9$，$(9 - 7)^{2}+(6 - 7)^{2}+(7 - 7)^{2}+(6 - 7)^{2}+(2 - 7)^{2}+(7 - 7)^{2}+(7 - 7)^{2}+(8 - 7)^{2}+(9 - 7)^{2}=4 + 1+0 + 1+25 + 0+0 + 1+4 = 36$，$s_{甲}^{2}=\frac{1}{9}\times36 = 4$。
**计算乙的平均数：**
乙的射击成绩（$2$，$4$，$6$，$8$，$7$，$7$，$8$，$9$，$9$，$10$），根据平均数公式$\overline{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}$，$n = 10$，$\overline{x}_{乙}=\frac{2 + 4+6 + 8+7 + 7+8 + 9+9 + 10}{10}=7$。
**计算乙的中位数：**
将乙的成绩从小到大排序为$2$，$4$，$6$，$7$，$7$，$8$，$8$，$9$，$9$，$10$。
因为$n = 10$为偶数，所以中位数是第$\frac{n}{2}=5$个数和第$\frac{n}{2}+1 = 6$个数的平均数，即$\frac{7 + 8}{2}=7.5$。
**计算乙的方差：**
$(2 - 7)^{2}+(4 - 7)^{2}+(6 - 7)^{2}+(8 - 7)^{2}+(7 - 7)^{2}+(7 - 7)^{2}+(8 - 7)^{2}+(9 - 7)^{2}+(9 - 7)^{2}+(10 - 7)^{2}=25+9 + 1+1+0 + 0+1+4+4+9 = 54$，$s_{乙}^{2}=\frac{1}{10}\times54 = 5.4$。
**补全折线图**：根据乙的成绩，在折线图中补充乙第$10$次射击命中$10$环的点（坐标$(10,10)$）。
所以甲的中位数$7$，方差$4$；乙的平均数$7$，中位数$7.5$，方差$5.4$。
### $(2)$ 判断谁应胜出
根据方差的意义，方差越小，数据越稳定。
因为$s_{甲}^{2}=4$，$s_{乙}^{2}=5.4$，$s_{甲}^{2}＜s_{乙}^{2}$，所以甲的成绩较稳定，甲应胜出。
### $(3)$ 制定评判规则
如果希望乙胜出，因为乙命中$10$环的次数比甲多（甲$0$次，乙$1$次），可以制定规则：命中$10$环次数多者胜出。
或者因为乙的中位数$7.5$大于甲的中位数$7$，也可以制定规则：中位数大的胜出 。
【答案】：
$(1)$ 甲：中位数$\boldsymbol{7}$，方差$\boldsymbol{4}$；乙：平均数$\boldsymbol{7}$，中位数$\boldsymbol{7.5}$，方差$\boldsymbol{5.4}$（折线图补乙第$10$次$10$环）。
$(2)$ 甲应胜出，理由：甲的方差$4$小于乙的方差$5.4$，方差越小成绩越稳定。
$(3)$ 规则一：命中$10$环次数多者胜出，因为乙命中$10$环次数（$1$次）比甲（$0$次）多；规则二：中位数大的胜出，因为乙的中位数$7.5$大于甲的中位数$7$。
天黑·桥险·电少
有四个人要在夜里穿过一条悬索桥回到宿营地.可是他们只有一支手电,电池只够再亮17分钟.过桥必须要有手电,否则太危险.桥最多只能承受两个人同时通过的重量.这四个人的过桥速度都不一样:A需要1分钟,B需要2分钟,C需要5分钟,D需要10分钟.他们如何才能在17分钟之内全部过桥?
有四个人要在夜里穿过一条悬索桥回到宿营地.可是他们只有一支手电,电池只够再亮17分钟.过桥必须要有手电,否则太危险.桥最多只能承受两个人同时通过的重量.这四个人的过桥速度都不一样:A需要1分钟,B需要2分钟,C需要5分钟,D需要10分钟.他们如何才能在17分钟之内全部过桥?
答案
【解析】：因为要使得四个人在 17 分钟内全部过桥，且桥最多承受两人同时通过，过桥必须有手电。为了节省时间，让用时短的人来回送手电比较合理。首先让 A 和 B 一起过桥，因为按两人中用时较长的 B 的速度，所以这一步用时 2 分钟；然后让 A 带手电返回，A 用时 1 分钟；接着让 C 和 D 一起过桥，按 D 的速度，这一步用时 10 分钟；再让 B 带手电返回，用时 2 分钟；最后 A 和 B 再次一起过桥，用时 2 分钟。这样总共花费的时间为 2+1+10+2+2 = 17 分钟。
【答案】：A 和 B 先过用 2 分钟，A 带手电筒返回用 1 分钟，C 和 D 过用 10 分钟，B 带手电筒返回用 2 分钟，A 和 B 一起过用 2 分钟。
【答案】：A 和 B 先过用 2 分钟，A 带手电筒返回用 1 分钟，C 和 D 过用 10 分钟，B 带手电筒返回用 2 分钟，A 和 B 一起过用 2 分钟。
