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9. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } - 2 ( m + 1 ) x + m ^ { 2 } = 0 $.
(1) 当 $ m $ 取什么值时, 原方程没有实数根.
(2) 对 $ m $ 选取一个合适的整数, 使原方程有两个不相等的实数根, 并求出这两个实数根的平方和.
(1) 当 $ m $ 取什么值时, 原方程没有实数根.
(2) 对 $ m $ 选取一个合适的整数, 使原方程有两个不相等的实数根, 并求出这两个实数根的平方和.
答案
【解析】：
本题可根据一元二次方程根的判别式来求解$m$的取值范围，再根据根与系数的关系求出两根平方和。
- **（1）求当原方程没有实数根时$m$的取值范围：**
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$），其判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，当$\Delta\lt 0$时，方程没有实数根。
在方程$x^2 - 2(m + 1)x + m^2 = 0$中，$a = 1$，$b = -2(m + 1)$，$c = m^2$，则$\Delta = [-2(m + 1)]^2 - 4\times1\times m^2$，化简可得：
$\begin{aligned}\Delta&= 4(m^2 + 2m + 1) - 4m^2\\&= 4m^2 + 8m + 4 - 4m^2\\&= 8m + 4\end{aligned}$
因为原方程没有实数根，所以$\Delta\lt 0$，即$8m + 4\lt 0$，解这个不等式：
$\begin{aligned}8m + 4&\lt 0\\8m&\lt -4\\m&\lt -\frac{1}{2}\end{aligned}$
所以，当$m\lt -\frac{1}{2}$时，原方程没有实数根。
- **（2）求使原方程有两个不相等实数根的$m$的合适整数值，并求出这两个实数根的平方和：**
当$\Delta\gt 0$时，方程有两个不相等的实数根。
由（1）可知$\Delta = 8m + 4$，则$8m + 4\gt 0$，解这个不等式：
$\begin{aligned}8m + 4&\gt 0\\8m&\gt -4\\m&\gt -\frac{1}{2}\end{aligned}$
取$m = 0$（$m$只要取大于$-\frac{1}{2}$的整数即可），此时原方程为$x^2 - 2x = 0$。
设方程的两个根为$x_1$，$x_2$，根据韦达定理可知，在一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$）中，两根$x_1$，$x_2$有$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
对于方程$x^2 - 2x = 0$，$a = 1$，$b = -2$，$c = 0$，则$x_1 + x_2 = -\frac{-2}{1} = 2$，$x_1x_2 = \frac{0}{1} = 0$。
根据完全平方公式$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$，可得$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，将$x_1 + x_2 = 2$，$x_1x_2 = 0$代入可得：
$x_1^2 + x_2^2 = 2^2 - 2\times0 = 4$
【答案】：
（1）当$m\lt -\frac{1}{2}$时，原方程没有实数根。
（2）取$m = 0$，此时原方程为$x^2 - 2x = 0$，两个实数根的平方和为$4$。
本题可根据一元二次方程根的判别式来求解$m$的取值范围，再根据根与系数的关系求出两根平方和。
- **（1）求当原方程没有实数根时$m$的取值范围：**
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$），其判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，当$\Delta\lt 0$时，方程没有实数根。
在方程$x^2 - 2(m + 1)x + m^2 = 0$中，$a = 1$，$b = -2(m + 1)$，$c = m^2$，则$\Delta = [-2(m + 1)]^2 - 4\times1\times m^2$，化简可得：
$\begin{aligned}\Delta&= 4(m^2 + 2m + 1) - 4m^2\\&= 4m^2 + 8m + 4 - 4m^2\\&= 8m + 4\end{aligned}$
因为原方程没有实数根，所以$\Delta\lt 0$，即$8m + 4\lt 0$，解这个不等式：
$\begin{aligned}8m + 4&\lt 0\\8m&\lt -4\\m&\lt -\frac{1}{2}\end{aligned}$
所以，当$m\lt -\frac{1}{2}$时，原方程没有实数根。
- **（2）求使原方程有两个不相等实数根的$m$的合适整数值，并求出这两个实数根的平方和：**
当$\Delta\gt 0$时，方程有两个不相等的实数根。
由（1）可知$\Delta = 8m + 4$，则$8m + 4\gt 0$，解这个不等式：
$\begin{aligned}8m + 4&\gt 0\\8m&\gt -4\\m&\gt -\frac{1}{2}\end{aligned}$
取$m = 0$（$m$只要取大于$-\frac{1}{2}$的整数即可），此时原方程为$x^2 - 2x = 0$。
设方程的两个根为$x_1$，$x_2$，根据韦达定理可知，在一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$）中，两根$x_1$，$x_2$有$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
对于方程$x^2 - 2x = 0$，$a = 1$，$b = -2$，$c = 0$，则$x_1 + x_2 = -\frac{-2}{1} = 2$，$x_1x_2 = \frac{0}{1} = 0$。
根据完全平方公式$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$，可得$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，将$x_1 + x_2 = 2$，$x_1x_2 = 0$代入可得：
$x_1^2 + x_2^2 = 2^2 - 2\times0 = 4$
【答案】：
（1）当$m\lt -\frac{1}{2}$时，原方程没有实数根。
（2）取$m = 0$，此时原方程为$x^2 - 2x = 0$，两个实数根的平方和为$4$。
10. (1) 解答下列问题:
① 方程 $ x ^ { 2 } - 2 x + 1 = 0 $ 的解为 ______.
② 方程 $ x ^ { 2 } - 3 x + 2 = 0 $ 的解为 ______.
③ 方程 $ x ^ { 2 } - 4 x + 3 = 0 $ 的解为 ______.
……
(2) 根据以上方程特征及其解的特征, 请猜想:
① 方程 $ x ^ { 2 } - 9 x + 8 = 0 $ 的解为 ______.
② 关于 $ x $ 的方程 ______ 的解为 $ x _ { 1 } = 1, x _ { 2 } = n $.
(3) 请用公式法验证 (2) 中 ② 的结论.
① 方程 $ x ^ { 2 } - 2 x + 1 = 0 $ 的解为 ______.
② 方程 $ x ^ { 2 } - 3 x + 2 = 0 $ 的解为 ______.
③ 方程 $ x ^ { 2 } - 4 x + 3 = 0 $ 的解为 ______.
……
(2) 根据以上方程特征及其解的特征, 请猜想:
① 方程 $ x ^ { 2 } - 9 x + 8 = 0 $ 的解为 ______.
② 关于 $ x $ 的方程 ______ 的解为 $ x _ { 1 } = 1, x _ { 2 } = n $.
(3) 请用公式法验证 (2) 中 ② 的结论.
答案
【解析】：
1. 首先求解（1）中各方程的解：
①对于方程$x^{2}-2x + 1 = 0$，根据完全平方公式$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$，可将方程变形为$(x - 1)^{2}=0$，则$x-1 = 0$，解得$x_{1}=x_{2}=1$。
②对于方程$x^{2}-3x + 2 = 0$，分解因式，根据$x^{2}+(a + b)x+ab=(x + a)(x + b)$，这里$a=-1$，$b=-2$，则$x^{2}-3x + 2=(x - 1)(x - 2)=0$，所以$x-1 = 0$或$x - 2 = 0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=2$。
③对于方程$x^{2}-4x + 3 = 0$，分解因式，$x^{2}-4x + 3=(x - 1)(x - 3)=0$，所以$x-1 = 0$或$x - 3 = 0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=3$。
2. 然后进行（2）的猜想：
①观察前面方程的规律，方程$x^{2}-(n + 1)x + n = 0$的解为$x_{1}=1$，$x_{2}=n$。对于方程$x^{2}-9x + 8 = 0$，这里$n = 8$，所以其解为$x_{1}=1$，$x_{2}=8$。
②根据上述规律，关于$x$的方程$x^{2}-(n + 1)x + n = 0$的解为$x_{1}=1$，$x_{2}=n$。
3. 最后用公式法验证（2）中②的结论：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
在方程$x^{2}-(n + 1)x + n = 0$中，$a = 1$，$b=-(n + 1)$，$c = n$。
先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=[-(n + 1)]^{2}-4\times1\times n=n^{2}+2n + 1-4n=n^{2}-2n + 1=(n - 1)^{2}$。
再代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{(n + 1)\pm\sqrt{(n - 1)^{2}}}{2}=\frac{(n + 1)\pm(n - 1)}{2}$。
当取$+$号时，$x_{1}=\frac{(n + 1)+(n - 1)}{2}=\frac{n + 1 + n - 1}{2}=n$；当取$-$号时，$x_{2}=\frac{(n + 1)-(n - 1)}{2}=\frac{n + 1 - n + 1}{2}=1$。
【答案】：
(1) ①$x_{1}=x_{2}=1$；②$x_{1}=1$，$x_{2}=2$；③$x_{1}=1$，$x_{2}=3$；
(2) ①$x_{1}=1$，$x_{2}=8$；②$x^{2}-(n + 1)x + n = 0$；
(3) 证明过程如上述解析，验证了方程$x^{2}-(n + 1)x + n = 0$的解为$x_{1}=1$，$x_{2}=n$。
1. 首先求解（1）中各方程的解：
①对于方程$x^{2}-2x + 1 = 0$，根据完全平方公式$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$，可将方程变形为$(x - 1)^{2}=0$，则$x-1 = 0$，解得$x_{1}=x_{2}=1$。
②对于方程$x^{2}-3x + 2 = 0$，分解因式，根据$x^{2}+(a + b)x+ab=(x + a)(x + b)$，这里$a=-1$，$b=-2$，则$x^{2}-3x + 2=(x - 1)(x - 2)=0$，所以$x-1 = 0$或$x - 2 = 0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=2$。
③对于方程$x^{2}-4x + 3 = 0$，分解因式，$x^{2}-4x + 3=(x - 1)(x - 3)=0$，所以$x-1 = 0$或$x - 3 = 0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=3$。
2. 然后进行（2）的猜想：
①观察前面方程的规律，方程$x^{2}-(n + 1)x + n = 0$的解为$x_{1}=1$，$x_{2}=n$。对于方程$x^{2}-9x + 8 = 0$，这里$n = 8$，所以其解为$x_{1}=1$，$x_{2}=8$。
②根据上述规律，关于$x$的方程$x^{2}-(n + 1)x + n = 0$的解为$x_{1}=1$，$x_{2}=n$。
3. 最后用公式法验证（2）中②的结论：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
在方程$x^{2}-(n + 1)x + n = 0$中，$a = 1$，$b=-(n + 1)$，$c = n$。
先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=[-(n + 1)]^{2}-4\times1\times n=n^{2}+2n + 1-4n=n^{2}-2n + 1=(n - 1)^{2}$。
再代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{(n + 1)\pm\sqrt{(n - 1)^{2}}}{2}=\frac{(n + 1)\pm(n - 1)}{2}$。
当取$+$号时，$x_{1}=\frac{(n + 1)+(n - 1)}{2}=\frac{n + 1 + n - 1}{2}=n$；当取$-$号时，$x_{2}=\frac{(n + 1)-(n - 1)}{2}=\frac{n + 1 - n + 1}{2}=1$。
【答案】：
(1) ①$x_{1}=x_{2}=1$；②$x_{1}=1$，$x_{2}=2$；③$x_{1}=1$，$x_{2}=3$；
(2) ①$x_{1}=1$，$x_{2}=8$；②$x^{2}-(n + 1)x + n = 0$；
(3) 证明过程如上述解析，验证了方程$x^{2}-(n + 1)x + n = 0$的解为$x_{1}=1$，$x_{2}=n$。
11. 甲、乙两家手机店对同一款单价为 $ 1600 $ 元的手机实行促销:
甲商店规定: 购买一部, 单价为 $ 1560 $ 元; 购买两部, 每部为 $ 1520 $ 元. 依此类推, 即每多买一部, 手机单价均减少 $ 40 $ 元, 但最低单价不得低于 $ 880 $ 元.
乙商店规定: 一律按原单价打 $ 7.5 $ 折.
两店促销活动期间, 某公司在同一家店购买了若干部该款手机恰好花费 $ 15000 $ 元, 问: 该公司在哪家店购买了多少部手机?
甲商店规定: 购买一部, 单价为 $ 1560 $ 元; 购买两部, 每部为 $ 1520 $ 元. 依此类推, 即每多买一部, 手机单价均减少 $ 40 $ 元, 但最低单价不得低于 $ 880 $ 元.
乙商店规定: 一律按原单价打 $ 7.5 $ 折.
两店促销活动期间, 某公司在同一家店购买了若干部该款手机恰好花费 $ 15000 $ 元, 问: 该公司在哪家店购买了多少部手机?
答案
【解析】：
### 1. 先考虑在甲店购买的情况
设该公司在甲店购买了$x$部手机。
甲店手机单价为$1600 - 40x$元，但最低单价不得低于$880$元，即$1600-40x\geqslant880$，解不等式$1600 - 40x\geqslant880$，
$-40x\geqslant880 - 1600$，
$-40x\geqslant - 720$，
$x\leqslant18$。
根据总价$=$单价$\times$数量，可得方程$(1600 - 40x)x=15000$，
展开方程得$1600x-40x^{2}=15000$，
两边同时除以$- 40$化为标准的一元二次方程形式：$x^{2}-40x + 375 = 0$，
分解因式得$(x - 15)(x - 25)=0$，
解得$x_{1}=15$，$x_{2}=25$。
当$x = 25$时，单价为$1600-40\times25=1600 - 1000 = 600\lt880$，不符合甲店规定，舍去。
当$x = 15$时，单价为$1600-40\times15=1600 - 600 = 1000\gt880$，符合甲店规定。
### 2. 再考虑在乙店购买的情况
乙店一律按原单价打$7.5$折，那么乙店手机单价为$1600\times0.75 = 1200$元。
设该公司在乙店购买了$y$部手机，根据总价$=$单价$\times$数量，可得方程$1200y = 15000$，
解得$y=\frac{15000}{1200}=12.5$。
因为手机的数量$y$必须是整数，所以$y = 12.5$不符合实际情况，舍去。
【答案】：该公司在甲店购买了$15$部手机。
### 1. 先考虑在甲店购买的情况
设该公司在甲店购买了$x$部手机。
甲店手机单价为$1600 - 40x$元，但最低单价不得低于$880$元，即$1600-40x\geqslant880$，解不等式$1600 - 40x\geqslant880$，
$-40x\geqslant880 - 1600$，
$-40x\geqslant - 720$，
$x\leqslant18$。
根据总价$=$单价$\times$数量，可得方程$(1600 - 40x)x=15000$，
展开方程得$1600x-40x^{2}=15000$，
两边同时除以$- 40$化为标准的一元二次方程形式：$x^{2}-40x + 375 = 0$，
分解因式得$(x - 15)(x - 25)=0$，
解得$x_{1}=15$，$x_{2}=25$。
当$x = 25$时，单价为$1600-40\times25=1600 - 1000 = 600\lt880$，不符合甲店规定，舍去。
当$x = 15$时，单价为$1600-40\times15=1600 - 600 = 1000\gt880$，符合甲店规定。
### 2. 再考虑在乙店购买的情况
乙店一律按原单价打$7.5$折，那么乙店手机单价为$1600\times0.75 = 1200$元。
设该公司在乙店购买了$y$部手机，根据总价$=$单价$\times$数量，可得方程$1200y = 15000$，
解得$y=\frac{15000}{1200}=12.5$。
因为手机的数量$y$必须是整数，所以$y = 12.5$不符合实际情况，舍去。
【答案】：该公司在甲店购买了$15$部手机。
